1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题1 已知全集 U=1，2，3，4 ，集合 A=1，2 ，B=2，3 则 (AB)=( )（A）1 ，3， 4（B） 3，4（C） 3（D）42 命题“对任意 xR，都有 x210”的否定为( )（A）存在 x0R，使得 x020（B）对任意 xR，都有 x20（C）存在 x0R，使得 x020（D）不存在 xR，使得 x203 函数 y= 的定义域是( )（A）(一， 2)（B） (2，+)（C） (2，3) (3，+)（D）(2 ，4)(4，+)4 组合数 C30 的值等于( )（A）0（B） 1（C） 3（D）
2、5 已知 的值为( )6 已知函数 f(x)= ，则 f(log45)等于( )7 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，延长 BA 至 E，使 AE=1，连接 EC，ED，则sinCED=( )8 某班共有 41 名同学，其中有 2 名同学惯用左手写字，其余同学惯用右手写字，老师随机选 1 名同学解答问题，如果每位同学被选到的概率相等，那么习惯用左手写字的同学被选到的概率是( )（A）0（B）（C）（D）1二、填空题9 i 是虚数单位，复数(3i)(12i)=_10 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上，若球的体积为 ，则正方体的棱长为_11 已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 =1(
3、a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为 2，则该双曲线的方程为_12 在平行四边形 ABCD 中，AD=1，BAD=60 ，E 为 CD 的中点，若=1，则 AB 的长为_13 已知不等式 2kx2+kx+ 0 对一切实数 x 都成立，则实数 k 的取值范围是_14 在ABC 中有如下结论：“若点 M 为 ABC 的重心，则 =0”，设a，b，c 分别为ABC 的内角 A，B，C 的对边，点 M 为ABC 的重心，如果=0，则内角 A 的大小为 _；若 a=3，则ABC 的面积为_15 双曲线 =1(ab0)的实轴长为 4，则双曲线上的一点(4， )到两渐近线的距离的乘积等于_三、解答题1
4、5 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=3 ，cosB= 16 求 b 的值；17 求 sin(2B 一 )的值17 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直圆 O 所在的平面， C 是圆 O 上的点18 求证：BC 平面 PAC；19 设 Q 为 PA 的中点，G 为AOC 的重心，求证： QG平面 PBC19 某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是 3 元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为 x 元(7x10)时，一年的产量为(11 一 x)2 万件，但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数 a(1a3)
5、，若该企业所生产的产品全部销售20 求该企业一年的利润 L(x)与出厂价 x 的函数关系式；21 当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润21 设函数 y=f(x)的定义域为(0，+)，且在(0 ，+)上单调递增，若对任意x，y (0，+)都有：f(xy)=f(x)+f(y)成立，数列a n满足：a 1=f(1)+1，=0，设 Sn=a12a22+a22a32a 32a42+a n2an1 222 求数列a n的通项公式，并求 Sn 关于 n 的表达式；23 设函数 g(x)对任意 x，y 都有：g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，若 g(1)=1，正项数列b n
6、满足：b n2=g( )，T n 为数列b n的前 n 项和，试比较 4Sn 与 Tn 的大小23 如图，抛物线 C1：x 2=4y，C 2：x 2=一 2py(p0) ，点 M(x0，y 0)在抛物线 C2 上，过 M 作 C1 的切线，切点为 A，B(M 为原点 0 时，A ，B 重合于 O)，当 x0=1 一时，切线 MA 的斜率为 24 求 P 的值；25 当 M 在 C2 上运动时，求线段 AB 中点 N 的轨迹方程(A，B 重合于 O 时，中点为 O)湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB=1，2，
7、3，所以 =4，故选 D2 【正确答案】 A【试题解析】 根据定义可知命题的否定为存在 x0R，使得 x020，故选 A3 【正确答案】 C【试题解析】 由题可知 ，所以 x2 且 x3，故选 C4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查组合数的算法C 30= =15 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B6 【正确答案】 B【试题解析】 1log 452， 2+log 452，f(log 45)=f(2+log45)=，故选 B7 【正确答案】 B【试题解析】 由题设及图知CDE= AED 一AEC，又正方形 ABCD 的边长为1，AE=1，tanAED=1，tan AEC= ，tan0CE
8、D=tan(AED 一AEC)=，而CED 是锐角，sin CED= ，故选 B8 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查简单的概率问题习惯用左手写字的同学被选到的概率是P= 二、填空题9 【正确答案】 55i【试题解析】 (3+i)(12i)=55i10 【正确答案】 【试题解析】 设正方体的棱长为 x，其外接球的半径为 R，则由球的体积为11 【正确答案】 x 2 =1【试题解析】 抛物线 y2=8x 的准线 x=一 2 过双曲线的一个焦点，所以 c=2，又离心率为 2，所以 a=1，b= ，所以该双曲线的方程为 x2 一 =112 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 0，4
9、【试题解析】 不等式 2kx2+kx+ 0 对于一切实数 x 都成立， 当 k=0 时，符合题意，当 k0 时，原不等式就是一个一元二次不等式，根据 y=2kx2+kx+ 的图象， ，解得 k(0，4，综上，k 的取值范围是0 ，414 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 【试题解析】 双曲线的实轴长为 4，则 a=2；又点 (4， )在双曲线上，代入双曲线方程可得 b=1，从而双曲线的渐近线方程为 y= 到渐近线的距离分别为：三、解答题16 【正确答案】 在ABC 中，由 ，可得 bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得 a=3c，又 a=3，故 c=1由 b2=
10、a2+c2 一 2accosB，cosB=17 【正确答案】 18 【正确答案】 由 AB 是圆 O 的直径，得 ACBC由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC又 PAAC=A， ，所以BC平面 PAC19 【正确答案】 连 OG 并延长交 AC 于 M，连接 QM，QO，由 G 为AOC 的重心，得 M 为 AC 中点由 Q 为 PA 中点，得 QMPC 又 O 为 AB 中点，得OMBC 因为 QMMO=M，QM 平面 QMO，所以平面 QMO平面 PBC因为 QC 平面 QMO，所以 QG平面 PBC20 【正确答案】 依题意，利润函数 L(x)=一件产品的利润一年的产量
11、一污染治理费用，代入数据得： 利润函数 L(x)=(x 一 3)(11 一 x)2 一 a(11 一 x)2=(x 一 3a)(11一 x)2， x7，10 21 【正确答案】 对利润函数求导，得 L(x)=(11 一 x)2 一 2(x 一 3 一 a)(11 一 x)=(11一 x)(11 一 x 一 2x+6+2a)=(11 一 x)(17+2a3x)；由 L(x)=0，得 x=11(舍去)或 x=；因为 1a3，所以 ；所以， 当 7，即1a2时，L (x)在7，10上恒为负，则 L(x)在7， 10上为减函数，所 L(x)max=L(7)=16(4 一 a) 当 上为正，L(x)是增
12、函数；L (x)在即当 1a2时，则每件产品出厂价为 7 元时，年利润最大，为 16(4 一 a)万元当 2a3 时，则每件产品出厂价为 (8a) 3万元22 【正确答案】 当 x，y(0，+) 时，有 f(xy)=f(x)+f(y)，令 x=y=1 得 f(1)=2f(1)，得 f(1)=0，所以 a1=f(1)+1=1 又因为 y=f(x)在(0，+)上是单调增函数， 所以数列 949是以 1 为首项，4 为公差的等差数列，23 【正确答案】 由于对任意 x，yR 都有 g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy，则 g(2x)=2g(x)+2x2， 当n=1，2 ，3， 4 时，4n+1
13、2n，4S nT n；当 n5时，2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn 1+2n+2 =1+n2n而 n2+n+1 一(4n+1)=n 23n=n(n 一 3) 0，所以 2n4n+1，故 4SnT n24 【正确答案】 因为抛物线 C1：x 2=4y 上任意一点(x，y)的切线斜率为 y= ，且切线 MA 的斜率为因为点 M(1一 ，y 0)在切线 MA 及抛物线 C2 上，于是由得 P=225 【正确答案】 设 N(x，y)， ，x 1x2，由 N 为线段 AB 中点知 切线 MA，MB 的方程为 由 得MA，MB 的交点 M(x0，y 0)的坐标为 因为点 M(x0，y 0)在 C2上，即 x02=一 4y0， 当 x1=x2 时，A ，B 重合于原点O，AB 中点 N 为 O，坐标满足 x2= y因此 AB 中点 N 的轨迹方程为 x2= y
