1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题1 已知复数 z 的实部为 1，虚部为一 1，则 表示的点在( )（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2 为了了解甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样方法从甲校的 1260 份高三数学模拟试卷、乙校的 720 份高三数学模拟试卷、丙校的 900份高三数学模拟试卷中抽取试卷进行调研如果从丙校的 900 份试卷中抽取了 50份试卷，那么这次调研一次抽查的试卷份数为( )（A）150（B） 160（C） 200（D）2303 不等式 0 的解集为( )（A）x 1 x2（B） xx2
2、 且 x1（C） xx1 或 1x2（D）x 一 1x2 且 x14 若 M=xf(x)=0，N=xg(x)=0 ，则x f(x)g(x)=0为( )（A）M（B） N（C） MN（D）以上都不对5 在等比数列a n中， ，则首项 a1 为( )6 有 5 个座位连成一排，现安排 3 人就座，则有两个空位不相连的不同坐法有( )（A）28 种（B） 36 种（C） 60 种（D）72 种7 已知 x1 是方程 xlnx=50 的根，x 2 是方程 xex=50 的根，则下列关于 x1，x 2 的式子为定值的是( )（A）x 1+x2（B） x1x 2（C） x1x2（D）8 设 a=sin(s
3、in2012)，b=sin(cos2012)，c=cos(sin2012)，d=cos(cos2012)，则a，b，c，d 的大小关系是 ( )（A）ab cd（B） badc（C） cdba（D）dc ab9 在ABC 中， A=120，AB=5 ，BC=7 ，则 的值为( )10 已知 a 是常数， a0，圆 M 的参数方程是 ， 是参数，直线 x-y+3=0 与圆 M 相交于 E、F 两点，如果EF= ，那么 a=( )二、填空题11 已知集合 U=2，3，6，8 ，A=2，3 ，B=2 ，6，8 ，则=_12 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线平行，则常数 a 的值为_13 执行如图
4、所示的程序框图，如果输入 a=1，b=2，则输出的 a 的值为_14 若变量 x，y 满足约束条件 则 x+y 的最大值为_15 设 F1，F 2 是双曲线 C： =1a0，b0)的两个焦点，若在 C 上存在一点P，使 PF1PF2，且 PF1F2=30，则 C 的离心率为 _三、解答题15 如图所示，在ABC 中，AC=2，BC=1，cosC= 16 求 AB 的值；17 求 sin(2A+C)的值17 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) (bR)18 当 b=4 时，求 f(x)的极值；19 若 f(x)在区间(0， )上单调递增，求 b 的取值范围19 如图，在正三棱柱 ABCA1B
5、1C1 中，点 D 是棱 AB 的中点，BC=1 ，A 1C 与平面 ABC 所成的角为 20 求证：BC 1平面 A1DC；21 求二面角 DA1CA 的余弦值21 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y= x2 的焦点，离心率 e= 22 求椭圆 C 的标准方程；23 过椭圆 C 的右焦点，作直线 F 交椭圆 C 于 A、 B 两点，交 y 轴于 M，若， 1+2 为定值吗? 证明你的结论23 已知 f(x)=xlnxax，g(x)=一 x2 一 224 对一切 x(0，+)，f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围；25 当 a=一 1 时，求函数 f(x)
6、在m，m+3(m0)上的最小值湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 4 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 z=1 一 i， 表示的点在第一象限2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查分层抽样相关知识设这次调研一共抽查试卷 x 份，则，解得 x=160。3 【正确答案】 C【试题解析】 当 x0 时， 0，解得 1x2；当 x0 时， 0，解为x2(舍 )或 x一 1，则解集为x x一 1 或 1x2，故选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)g(x)=0 ，f(x)=0 或 g(x)=0，xf(x)g(x)=0=MN，故选C5 【正确答案】 D【试题
7、解析】 由 S3= ，a 3=a1q2，得 q=1 或或 a1=6，故选 D6 【正确答案】 B【试题解析】 A 33C 42=36，故选 B7 【正确答案】 C【试题解析】 x 1 是方程 xlnx=50 的根，x 2 是方程 xex=50 的根，x 1 是方程 lnx=的根，x 2 是方程 ex= 的根，即 x1 是函数 y=lnx 和 y= 交点的横坐标，x 2 是函数 y=ex 和 y= 交点的横坐标又函数 y=ex 和 y=lnx 互为反函数，关于 y=x对称，x 1=y2，即 x1x 2=y2x 2= x 2=50 故选 C8 【正确答案】 B【试题解析】 2012=6360 一
8、148，设 =sin2012，=cos2012，一1 0， sinsin 0，0coscos，故 cdab，故选 B9 【正确答案】 C【试题解析】 由余弦定理得，BC 2=AC2+AB2 一 2ACABcosA，即 49=AC2+2525ACcos120，解得 AC=3根据正弦定理， 10 【正确答案】 A【试题解析】 圆 M 的参数方程化为标准方程为：(x 一 a)2+(y 一 2)2=4圆 M 和直线 x 一 y+3=0 相交于两点 E、F，设 E(x1，y 1)，F(x 2，y 2)，则由得：2x 2+(22a)x+a2 一 3=0，则 x1+x2=a 一 1，x 1x 2=，(x 1
9、 一 x2)2=(a 一 1)2 一 2(a2 一 3)EF 2=(x1 一 x2)2+(y1y2)2=2(x1 一 x2)2=一 2a2 一 4a+14=12解得：a= 一 1 ，a0，a= 一 1二、填空题11 【正确答案】 6，8 【试题解析】 由集合的运算，可得 B=6，82，6，8=6 ，812 【正确答案】 4【试题解析】 把直线的参数方程转化为普通方程，得 l1：x 一 2y 一 1=0；l 2：x 一=0，由两直线平行，可得1( 1)0 ，即 a=413 【正确答案】 9【试题解析】 第一次循环得，a=12=3，第二次循环得，a=3+2=5，第三次循环得，a=5+2=7，第四次
10、循环得，a=7+2=9 ，此时退出循环，输出结果 a=914 【正确答案】 6【试题解析】 画出可行区域，即为五边形区域，平移参照直线 x+y=0，x+y 在点(4，2)处取得最大值，此时(x+y) max=4+2=615 【正确答案】 【试题解析】 由已知可得，PF 1=2ccos30= c，PF 2=2csin30=c，由双曲线的定义，可得 三、解答题16 【正确答案】 由余弦定理，AB 2=AC2+BC2 一 2ACBCcosC=4+1221 =2，AB= 17 【正确答案】 由 cosC= ，0c ，sinC= ，由正弦定理sinA= ，又 ACBC，AB，ABC 中，A 为锐角，co
11、sA= ，由二倍角公式知： sin2A=2sinAcosA= ，且 cos2A=l-2sin2A= ，sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC= 18 【正确答案】 当 b=4 时，f(x)=(x 2+4x+4) (bR)，f (x)= ，由 f(x)=0 得 x=一 2 或 x=0当 x(一 ，一 2)时， f(x)0，f(x)单调递减；当x(一 2，0)时，f (x)0， f(x)单调递增；当 x(0， )时，f (x)0，f(x)单调递减，故 f(x)在 x=一 2 取极小值 f(一 2)=0，在 x=0 取极大值 f(0)=419 【正确答案】 f (x)= 0，依题
12、意当 x(0，)时，有 5x+(3b2)0，从而 +(3b2)0所以 b 的取值范围为( ， 20 【正确答案】 证明：连接 AC1、A 1C 交于点 E，连接 DE D、E 分别为AB、AC 1 的中点， DEBC 1，又DE 平面 A1DC，BC 1 平面A1DC，BC 1平面 A1DC21 【正确答案】 作 DFAC 于 F，在平面 ACC1A1 内作 FGA1C，连接 DG平面 ACC1A1面 ABC，DF面 ACC1A1FG 是 DG 在平面 ACC1A1 上的投影FG A1C，DGA 1C，FGD 为二面角 D 一 A1C 一 A 的平面角22 【正确答案】 设椭圆 C 的方程为
13、=1(ab0)，由题意知 b=1由 e=a2=5故椭圆方程为 +y2=123 【正确答案】 设点 A、B、M 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(0，y 0)，易知点F 的坐标为(2，0)， ，(x 1，y 1 一 y0)=1(2 一 x1，一 y1)，x 1=将点 A 坐标代入椭圆方程得=1整理得 12+101+55y02=0，同理，由可得： 22+102+55y02=0，由可知 1， 2 是方程2+10+55y02=0 的两根， 2+2=一 10 为定值24 【正确答案】 对于一切 x(0，+) ，f(x)g(x)恒成立即证 0 恒成立，即 lnx 一 a+x+ 0 恒成
14、立令 h(x)=lnx 一 a+x+ ，则 h(x)= ，令 h(x)=0，则 h(x)的极小值点为 x=1代入 h(x)，则 lnl 一 a+1+20，即当 a3 时，对于一切 x(0，+)，f(x)一 g(x)0 恒成立25 【正确答案】 当 a=一 1 时，f(x)=xlnx+x ，f (x)=lnx+2， 令 f(x)=lnx+2=0，则x=e2 ，当 xe2 ，+)时，f(x)为增函数，当 x(0，e 2 )时，f(x)为减函数 若e2 m，m+3，则 f(x)最小值为 f(e2 )=一 e2 ； 若 e2 m，则 f(x)最小值为 f(m)=m(lnm+1)； 若 e2 m+3，则 f(x)最小值为 f(m+3)=(m+3)ln(m+3)+1
