1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 7 及答案与解析一、选择题1 设集合 P=xx1，Q=x x 2 一 x0，则下列结论正确的是( )（A）P=Q（B） PQ=R（C） P Q（D）Q P2 若函数 f(x)的定义域为 R，则“ 函数 f(x)为奇函数”是“ 函数 f(一 x)为奇函数”的( )（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件3 已知函数 f(x)=sin(x+ )(0)的最小正周期为 ，则该函数的图象( )4 双曲线 =1 的离心率等于( )5 若函数 y=sin(x+)(0)的部分图象如图，则 =( )（A）5（B） 4（C
2、） 3（D）26 已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(一 1，+2)处切线的斜率为 8，则 a=( )（A）9（B） 6（C） 9（D）67 已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA 1=2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )8 已知抛物线 C：y 2=8x 与点 M(一 2，2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于A、B 两点，若 =0，则 k=( )二、填空题9 复数 z= 的实部与虚部之和为_10 计算： 2 2(sinx+2)dx=_11 已知a n是各项均为正数的等比数列， a1a2a3=5，a 7a8a9=10，则a4a5a6=_12 已
3、知函数 f(x)= ，则 f(2010)=_13 有算法如图：如果输入 A=144，B=39，则输出的结果是 _14 设函数 f(x)=x2 一 ax+a+3，g(x)=ax 一 2a，若存在 x0R，使得 f(x0)0 与 g(x0)0 同时成立，则实数 a 的取值范围是_15 已知圆 C：(x 一 a)2+(y-2)2=4(a0)及直线 l：x 一 y+3=0，当直线 l 被 C 截得弦长为 2 时，则 a=_三、解答题15 已知 A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，0)，B(0，3)，C(cos，sin) ，其中 16 若 ，求角 的值；17 若 =一 1，求 sin2 的值17 如图
4、，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，AB B1C18 证明：AC=AB 1；19 若 ACAB1，CBB 1=60，AB=BC ，求二面角 AA1B1 一 C1 的余弦值19 为了搞好接待工作，上海世博会组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者，调查发现这 30 名志愿者身高如下(单位：cm)，若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“ 高个子”，身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“ 非高个子”，且只有“女高个子 ”才能担任 “礼仪小姐”20 如果用分层抽样的方法从“高个子” 和“非高个子”中抽取 5 人，再从这 5 人
5、中选2 人，则至少有一人是“ 高个子 ”的概率是多少?21 若从所有“ 高个子” 中选 3 名志愿者，用 来表示所选中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 的分布列，并求出 的数学期望21 设数列a n是有穷等差数列，给出下面数表： a1 a2 a3 an1 an 第 1 行 a 1+a2 a2+a3 an1 +an 第 2 行 第 n 行 上表共有 n 行，其中第 1 行的 n个数为 a1，a 2，a 3，a n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和，记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为 b1，b 2，b n22 求证：数列 b1，b 2，b n 成等比数列；23 若 a
6、k=2k 一 1(k=1，2，n)，求和 akbk23 设函数 f(x)=aexlnx+ ，曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y=e(x 一1)+224 求 a，b；25 证明：f(x)1湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 7 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 对 P 有，P=(1，+)，对于 Q，有 x2 一 x0，解可得 x1 或x0；则 Q=(一，0) (1，+) ；所以 P Q，故选 C2 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)为奇函数，等价于 f(一 x)=-f(x)，等价于 f一(一 x)=一f(一 x)，等价于函数 f(
7、一 x)为奇函数，则“函数 f(x)为奇函数”是“函数 f(一 x)为奇函数”的充要条件，故选 C3 【正确答案】 A【试题解析】 由函数 f(x)=sin(x+ )(0)的最小正周期为 得 =2，由故选 A4 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查双曲线相关知识c 2=a2+b2=16+9=25，e= 5 【正确答案】 B【试题解析】 由函数的图象可得 ，解得 =4，故选B6 【正确答案】 D【试题解析】 y =4x3+2ax，因为曲线在点(一 1，a+2)处切线的斜率为 8，所以y x= 1=一 42a=8，解得 a=-6，故选 D7 【正确答案】 A【试题解析】 如图，连接 AC 与 B
8、D 交于点 O，连接 OC1，过 C 作 CEOC1，垂足为 E，连接 DE，则 CDE 就是 CD 与平面 BDC1 所成的角，设 AB=1，则AA1=CC1=2，所以sinCDE= ，故选 A8 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，设 F 为焦点，取 AB 中点 P，过 A、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 G、H，连接 MF，MP ，由(AGBH) ，所以 MP为直角梯形 BHGA 的中位线，所以 MPAG BH，所以GAM=AMP=MAP，又AG=AF，AM =AM，所以AMG AMF，所以AFM= AGM=90，则 MFAB，所以 k= =2二、填空题9 【正确答案】 一 1【试
9、题解析】 复数 z= =i，复数 z= 的虚部为一 1，实部为 0，所以复数 z= 的实部与虚部之和为一 1，故答案为：一 110 【正确答案】 8【试题解析】 2 2(sinx+2)dx=一 cosx 2 2+2x 2 2=cos(一 2)一 cos2+24=8，故答案为 811 【正确答案】 【试题解析】 由等比数列的性质知，a 1a2a3，a 4a5a6，a 7a8a9 成等比数列，所以a4a5a6= 故答案为 12 【正确答案】 一 1 【试题解析】 ff(2010)=f(2010100)=f(1910)=2cos=一 1故答案为一 113 【正确答案】 3【试题解析】 (1)A=14
10、4，B=39，C=27，继续循环；(2)A=39，B=27，C=12 ，继续循环；(3)A=27，B=12，C=3 ，继续循环；(4)A=12，B=3，C=0 ，退出循环此时 A=3故答案为 314 【正确答案】 (7，+)【试题解析】 由 f(x)=x2 一 ax+a+3 知 f(0)=a+3，f(1)=4，又存在 x0R，使得 f(x0)0，知=a 2 一 4(a+3) 0，即 a一 2 或 a6，另 g(x)=ax 一 2a 恒过点(2，0)，故由函数的图象知： 若 a=0时，f(x)=x 2 一 ax+a+3=x2+3 恒大于 0，显然不成立 若 a0 时，g(x 0)，如图 若a0
11、时，g(x 0)0 x02，此时函数 f(x)=x2 一 ax+a+3 图象的对称轴 x= 一1，如图故函数在区间( ，+)上为增函数，又f(1)=4， f(x0)0 不成立，故答案为：(7，+)15 【正确答案】 【试题解析】 由题意可得圆 C 的圆心 C(a，2)，半径 r=2，从而有圆心(a，2)到直线 x 一 y+3=0 的距离 d= ，在 RtCBM 中由勾股定理可得d2+BM2=CB2，即 3=4，整理得三、解答题16 【正确答案】 17 【正确答案】 由 =一 1，得(cos 一 3)cos+sin(sin 一 3)=1， sin+cos= 18 【正确答案】 证明：连接 BC1
12、，交 B1C 于点 O，连接 AO因为侧面 BB1C1C为菱形，所以 B1CBC1，且 O 为 B1C 及 BC1 的中点，又 ABB1C，所以 B1C平面 ABO，由于 AO 平面 ABO，故 B1CAO，又 B1O=CO，故 AC=AB119 【正确答案】 因为 ACAB1，且 O 为 B1C 的中点，所以 AO=CO又因为AB=BC，所以BOA BOC故 OAOB，从而 OA，OB ，OB 1 两两互相垂直以 O 为坐标原点， 为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系 O 一 xyz因为CBB 1=60，所以 CBB1 为等边三角形，又 AB=BC，则20 【正确答案】 由题中表格可知，
13、30 人中有“高个子”12 人(4 女 8 男)，“非高个子”18 人(14 女 4 男) ，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是=2(人) ，“非高个子”有 18 =3(人)，用事件A 表示“至少有一名 高个子 被选中”，则它的对立事件为21 【正确答案】 依题意有， 的取值为 0，1，2，3P(=0)= 的分布列如下：E= =122 【正确答案】 证明：由题设易知，b 1= b 2=a1a n设表中的第 k(1kn 一1)行的数为 c1，c 2，c nk1 ，显然 c1，c 2，c nk1 成等差数列，则它的第k+1 行的数是 c1+c2，c 2+c3，c nk +cnk1 也成等差数列
14、，它们的平均数分别是bk= ，b k1 =c1+cnk1 ，于是 =2(1kn 一 1，kN *)故数列b1，b 2，b n 是公比为 2 的等比数列23 【正确答案】 由上问可知，b k=b12 k1 = 2 k1 ，故当 ak=2k 一 1 时，bk=n 2k1 ， akb k=n(2k 一 1)2 k1 (1kn，kN *)于是 (2k 一1)2 k 1设 (2k 一 1)2 k1 =S，则 S=120+321+522+(2n 一 1)2 n1 将该式记为，2S=12 1+322+(2n 一 3)2 n1 +(2n 一 1)2 n，将该式记为一得，一 S=120+2(21+22+2n1
15、)一(2n 一 1)2 n，化简得，S=(2n 一 1)2 n 一2n1 +3，故 akbk=n(2n 一 1)2 n 一 n2 n1 +3n24 【正确答案】 解：函数 f(x)的定义域为(0 ，+)，f (x)=aexlnx+由题意可得 f(1)=2，f (1)=e。故 a=1，b=225 【正确答案】 证明：由上问可知 f(x)=exlnx+ ex1 ，从而 f(x)1 等价于xlnxxe x 一 设函数 g(x)=xlnx，则 g(x)=1+lnx所以当 x(0， )时，g (x)0；当 x( ，+)时，g (x)0故 g(x)在上单调递增，从而 g(x)在(0，+)上的最小值为 设函数 h(x)=xex 一 ，则 h(x)=ex (1 一 x)所以当x(0，1)时，h (x)0；当 x(1，+)时，h (x)0故 h(x)在(0，1) 上单调递增，在(1，+) 上单调递减，从而 h(x)在(0，+)上的最大值为 h(1)=一 综上，当 x0时，g(x)h(x)，即 f(x)1
