1、2010 年山东专升本（数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= arccos 的定义域是( )（A）3，1（B） 8，1)（C） 8，1（D）1，12 极限 等于( )（A）0（B） 1（C） 1/3（D）33 已知 (1)=1，则 等于( )（A）1（B） 1（C） 2（D）24 设 (x)= ，则 (x)等于( )（A） （B）（C）（D）5 曲线 y=x2 与直线 y=1 所围成的图形的面积为 ( )（A）2/3（B） 3/4（C） 4/3（D）16 定积分 xcos xdx 等于( )（A）1（B） 0（C） 1（D）1/27
2、 已知向量 =(1，2，1) 与向量 =(1，2，t)垂直，则 t 等于( )（A）1（B） 1（C） 5（D）58 曲线 y=x2 在点 (1，1)处的法线方程为 ( )（A）y=x（B） y= +（C） y= +（D）y= 9 设函数 f(x)在点 x0 处不连续，则( )（A） (x0)存在（B） (x0)不存在（C） f(x)必存在（D）f(x)在点 x0 处可微10 =0 是级数 收敛的( )（A）必要条件（B）充分条件（C）充分必要条件（D）不确定二、填空题11 若函数 f(x)= 在 x=1 处连续，则 a=_.12 x=0 是函数 f(x)=xcos 的第_类间断点13 若曲线
3、 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线平行于直线 y=2x3，则 (x0)=_14 函数 f(x)=2x39x 2+12x 的单调减区间是_15 设 y=cos(sin x)，则 dy=_16 不定积分df(x)=_17 dx=_ 18 “函数 z=f(x，y) 的偏导数 ， 在点(z ，y)存在”是“函数 z=f(x，y)在点(x，y)可微分”的_ 条件19 微分方程 4 5y=0 的通解为_20 幂级数 的收敛区间为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。21 求极限 ，其中 c 为常数22 求极限 23 设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，求 =024 求函数
4、y=xsinx(x0)的导数25 求不定积分 26 求定积分 xlnxdx27 求由方程 ezxyz=0 所确定的二元函数 z=f(x，y)的全微分 dz28 求微分方程 =xsin x 的通解29 求平行于 y 轴且过点 P(1，2，3)和 Q(3，2，一 1)的平面方程30 求二重积分 dxdy,其中是由 y=1,y=x2，x=2 所围成的闭区域四、证明题31 现有边长为 96cm 的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大?32 设函数 f(x)在0，1上连续，并且对于 0，1上的任意 x 所对应的函数值 f(x
5、)均为 0f(x)1，证明：在0，1 上至少存在一点 ，使得 f()=2010 年山东专升本（数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 因 ，故 ， ，所以1x1，故选项 D 正确2 【正确答案】 D【试题解析】 ，故选项 D 正确3 【正确答案】 D【试题解析】 根据导数的定义， =2 (1)=2，选 D 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 (x)= = = ，选项 C 正确5 【正确答案】 C【试题解析】 曲线 y=x2 与曲线 y=1 的交点坐标为(1，1)和(1，1)，则所围图形的面积为 (1x 2)dx =
6、选项 C 正确6 【正确答案】 B【试题解析】 因被积函数 xcosx 在2，2上为奇函数，故 xcosxdx=0选项B 正确7 【正确答案】 D【试题解析】 因向量 a 与 b 垂直，故 a.b=0，即(1).1+(2).2+1.t=0，也即5+t=0，故 t=5选项 D 正确8 【正确答案】 B【试题解析】 根据导数的几何意义，切线的斜率 k= x=1=2x x=1=2，故法线方程为 y1= (x1)，即 y= + ，选 B 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 根据“可导必连续”，则“不连续一定不可导”，选项 B 正确10 【正确答案】 A【试题解析】 根据收敛级数的性质， =0 是级数
7、 收敛的必要条件选项 A 正确二、填空题11 【正确答案】 f(x)= (2x+1)= 1， f(x)= (xa)=1a，因 f(x)在点 x=1 处连续，故 f(x)= f(z)，即1=1 a，a=212 【正确答案】 f(x)= =0，故 x=0 是函数 f(x)的第一类间断点13 【正确答案】 切线与直线平行，则切线的斜率与直线的斜率相等，故 (x0)=214 【正确答案】 令 (x)=6x218x+12=6(x 1)(x 2)=0，得驻点 x=1 和 x=2；当 x(x)0，当 1 (x)2 时， (x)0，故函数的单调递减区间为1，215 【正确答案】 dy=dcos(sinx)=
8、sin(sinx)cosxdx16 【正确答案】 根据不定积分与微分的关系可得，df(x)=f(x)+C17 【正确答案】 由定积分的几何意义， dx 表示曲线 y= ，直线x=0，x=1 和 x 轴所围成的图形的面积，即 圆面积，故18 【正确答案】 根据二元函数微分的存在性定理可知，二元函数 z=f(x，y)在点(x，y)处可微分则偏导数一定存在，但反之不一定成立，故“函数 z=f(x，y)的偏导数 、 在点(x，y) 存在” 是“函数 z=f(x，y)在点(x ，y)可微分” 的必要非充分条件19 【正确答案】 原方程的特征方程为 r24r50，有两个不相等的实根r1=1，r 2 5，故
9、原方程的通解为 y= +20 【正确答案】 因 = = 故 R= =所以原幂级数的收敛区间为(，+)三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。21 【正确答案】 = =e2c22 【正确答案】 = = 说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下： = =23 【正确答案】 方程 2xy=x+y 两边对 x 求导，考虑到 y 是 x 的函数，得2xyln2.(y+x )=1+ ，整理得 y2xyln2+x2xyln2. =1+ ，故 = 当x=0 时，代人原方程可得 y=1，所以 x=0= x=0= =ln21说明：当得到 2xyln2.(y+x )=1+ 后，也可直接将 x=0，y=1 代人，得
10、ln2=1+，故 x=0=ln2124 【正确答案】 = = = = (cosxlnx+sinx. )= (cosxlnx+ )说明：此题也可用对数求导法求解25 【正确答案】 = = d(lnx1)= += C= +C26 【正确答案】 xlnxdx= lnxd( ）= d(lnx)=27 【正确答案】 先求二元函数 z=f(x，y)的偏导数设 F(x，y，z)=e 2xyz，则由二元函数的隐函数存在定理可知， = = = ， = ，故 dz=28 【正确答案】 此为一阶线性微分方程，其中 P(x)= ，Q(x)=xsinx ，故原方程的通解为 y= =29 【正确答案】 设平面的法向量为
11、因平面与 y 轴平行，且沿 y 轴正向的单位向量为 =(0，1，0)，故 ；又平面过点 P(1，2，3)和 Q(3，2，1)，且(2 ，0，4) ，故 所以 可取为与 平行的向量因= =(4，0，2)= 2(2，0，1)，故可取 =(2，0，1)，又平面过点 P(1，2，3)( 也可用点 Q(3，2，1) ，故平面方程为 2(x 一 1)+0+(z3)0，即 2x+z5=0说明：此题也可用平面的一般方程来解30 【正确答案】 画出积分区域，将其看成 X型区域， 1x2，1yx 2，故二重积分 = = =四、证明题31 【正确答案】 设剪去的小正方形边长为 x，则纸盒的容积 y=x(962x)2
12、，0x48. =(962x) 2x.2(962x)(2)=(962x)(966x)，令 =0，可得x=16(x=48 舍去).因只有唯一的驻点，且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在，故当剪去的小正方形边长为 16cm 时，做成的无盖纸箱容积最大32 【正确答案】 令 F(x)=f(x)x，由于 f(x)在0，1上连续，故 F(x)在0，1上也连续F(0)=f(0)0=f(0) ， F(1)=f(1)1而对 x0，1，0f(x)1，故 F(0)0，F(1)0 若 F(0)=0，即 f(0)0=0，f(0)=0，则 =0； 若 F(1)=0，即 f(1)1=0， f(1)=1，则 =1； 当 F(0)0，F(1)0 时，F(0).F(1)
