1、2012 年山东专升本（数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y= 的定义域为( )（A）1，+)（B） 1， )（C） ( +)（D）1， )( ，+)2 下列各组中，两个函数为同一函数的组是( )（A）f(x)=x 2+3x1，g(t)=t 2+3t 一 1（B） f(x)= ，g(x)=x+2（C） f(x)= ，g(x)=（D）f(x)=3，g(x)=x+ 3x3 函数 y=xtgx 是( )（A）有界函数（B）单调函数（C）偶函数（D）周期函数4 直线 与平面 4x2y+z2=0 的关系为( )（A）直线在平面上（B）直线与平面
2、垂直（C）直线与平面平行（D）直线与平面斜交5 若级数 收敛，下列结论正确的是( )（A） a n收敛（B） (1) nan 收敛（C） 收敛（D） 收敛二、填空题6 函数 y=sinx= 的值域为_7 设 f(x)= ，则 ff(x)=_8 =_9 曲线 y=xln(2+ )的渐近线为_10 函数 y= 的间断点为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 设函数 f(x)=sinx，f(x)=1x 2，求 (x)12 求 13 设 f(x)=ex，求 f(1)f(2)f(n)14 求15 若 =e，试求常数 a16 设 y=ln(1+ax)，(a0)，求 yn17 设 ，求18 设 (1
3、nx)=1+x，求 f(x)19 设 u= ，求20 求 dxdy，其中，D 为 y=x与 y=x3。所围区域四、证明题21 求 22 在曲线 y=x2(x0)上求一点，使得曲线在该点处的切线与曲线以及 x 轴所围图形的面积为23 求 的通解24 证明：双曲线 xy=1 上任一点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积均相等2012 年山东专升本（数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 因此题为选择题，故根据四个选项，只要测试 0， ，1 三个数是否在定义域内即可，选项 D 正确2 【正确答案】 A【试题解析】 两个函数当定
4、义域和对应法则相同时即为同一函数，与自变量用哪个字母表示是没有关系的，故选项 A 正确3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y=x 和 y=tgx(正切函数)都是奇函数，故其乘积为偶函数，选项 C 正确4 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，直线的一般方程为 ，故可得直线的方向向量 =(28，14，7) 7(4，2，1)，显然与已知平面的法向量 =(4，2，1)平行，故直线与平面垂直，选项 B 正确5 【正确答案】 D【试题解析】 由于 收敛，故 也收敛，根据级数收敛的性质可知，收敛，选项 D 正确说明：可举出一反例，证明其他三个选项错误，如级数 (1) n 收敛，但 发散，故选项 A 错
5、误； (1) nan= 发散，选项 B 错误；发散，故选项 C 也错误二、填空题6 【正确答案】 此题考查分段函数的值域，答案为1，0，17 【正确答案】 此题考查复合函数的构成方法，由题意，因 f(x)=8 【正确答案】 9 【正确答案】 因 ，故曲线没有水平渐近线；又因 (x)= ，故曲线没有垂直渐近线；该题考查斜渐近线的求法，k= = (2+ )=ln2， b= f(x)kx= = (1+ )=，故斜渐近线为 y=xln2+10 【正确答案】 求函数的间断点即求不在函数定义域内的点，由 y= 可知，x=0 和 x=2 都不在定义域内，故函数的间断点为 x=0 和 x=2三、解答题解答时应
6、写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 由题意，f(x)=sin(x)=1x 2，(x)=2k+arcsin(1x 2)或 (x)=2k arcsin(1x 2)； (x)2kx+arcsin(1 一 x2)或 (x)=2karcsin(1x 2)12 【正确答案】 =13 【正确答案】 f(1)f(2)f(n)= (e.e2en)14 【正确答案】 当 x1 时， 当 x1 +时，故 不存在15 【正确答案】 由，可得16 【正确答案】 因 y=ln(1+ax)，故17 【正确答案】 18 【正确答案】 令 lnx=t，则 x=et， (t)=1+et，积分得 f(t)=t+et+C，故 f
7、(x)=x+ex+C19 【正确答案】 =20 【正确答案】 画出图形，将积分区域 D 看作 x型区域，0x1 ，x 33x，由此 = =四、证明题21 【正确答案】 22 【正确答案】 由题意，画出图形如下图所示，可没所求点的坐标为(x 0x02)，由于 =2x0，故切线斜率 k=2x0，切线方程为 yx 02=22x0(xx 0)，令 y=0 得x= ，则切线、曲线及 x 轴所同成图形的面积为，即 ，解得 x0=1，故所求点的坐标为(1 ，1).23 【正确答案】 当 x0 时，原方程即为 ，变量代换，令=u，则 y=xu， =u+x ，代人原方程可得 u+ =u+ ，分离变量得 ，两边积分 得arcsinu=lnx+C1，u=sin(1nx+C 1)，也即 sin(1nx+C1)，故通解为 y=xsin(1nx+C1)；当z ，变量代换同上，原方程变为 u+x ，分离变量得 ，两边积分 得arcsinu=ln x+C 2，u=sin(lnx+C 2)，也即 sin(ln x+C 2)，故通解为y=xsin(ln x+C 2)=xsin(lnx+C 3)；两个通解可合并为y=x sin(lnx+C)24 【正确答案】 证明：y= ，则 则任意一点(x 0， 处的切线斜率 k=切线方程为 令 y=0，得 x=2x0，令 x=0，得 y= 则面积 为定值，故题设命题成立
