1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 44及答案与解析一、单项选择题1 曲面 z=4 一 x2 一 y2 上点 P 处的切平面平行于平面 2x+2y+z 一 1=0，则点 P 的坐标是( )。（A）(1 ，1，2)（B） (一 1，1，2)（C） (1，一 1，2)（D）(一 1，一 1，2)2 3 设矩阵 ，若集合 1，2 ，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为( ) 。4 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0 点( )。（A）极限不存在（B）极限存在但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 已知矩阵 ，则下列选项中不是矩阵 A 的特征值的
2、是( )。（A）一 1（B） 0（C） 3（D）96 事件 A、B 相互独立，且 P(AB)=08，P(A)=04，则 等于( )。7 古希腊的三大著名几何尺规作图问题是( )。三等分角立方倍积正十七边形化圆为方（A）（B） （C） （D）8 选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分析、引申、演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课的方法是( )。（A）直接导入法（B）复习导入法（C）实例导入法（D）悬念导入法二、简答题9 设直线 L： 在平面 上，而平面 与曲面 x2+y2=2 相切于点(1，一2，5)，则求 a，b 的值。10 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，
3、a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，求 a。11 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(1)求 PX=1|Z=0；(2)求二维随机变量(X，Y)的概率分布。12 简要论述义务教育数学课程标准(2011 年版)中关于“课程内容” 中“图形与几何”的主要内容。13 简述创造性思维的特点，在数学教学中如何培养学生的创造性。三、解答题14 在 P3 中，求由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵，其中并求 =(x1，x 2，x 3)在 1，
4、 2， 3 下的坐标。问是否存在一非零向量 ，它在基 1， 2， 3 和基 1， 2， 3 下有相同的坐标。若存在，求出该向量的坐标；若不存在，说明理由。四、论述题15 简述数学问题设计的原则。五、案例分析题15 两位学生分别在实数范围内解方程 x2+3x 一 4=0 和 x4+3x2 一 4=0。 第一位学生的解法如下： x 2+3x 一 4=0 (x 一 1)(x+4)=0 x 一 1=0 或 x+4=0 x1=1，x 2=一 4 第二位学生的解法如下： x 4+3x2 一 4=0 令 x2=y，原方程变成 y2+3y 一 4=0 (y 一 1)(y+4)=0 y1=1， y2=一 4(舍
5、去) 由 x2=1 得 x=1 根据以上材料，回答下列问题：16 这两位学生在解方程时分别运用了什么数学方法？17 这些方法体现了数学思想是什么？请对该数学思想进行简要的描述。18 如果用某种型号的代数计算器解以上两个方程，学生只需输入 x2+3x 一 4=0 和x4+3x2 一 4=0，在功能菜单中选择 “解方程”然后按回车键，屏幕上就会出现方程的解。请问，如果从渗透数学思想方法的角度看，应如何在教学中让学生合理使用计算器？六、教学设计题18 “中心对称和中心对称图形” 的教学目的主要有知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。会根据关于中心对称图形，的性质定理
6、 2 的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。此外，通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。通过题干来完成下列教学设计。19 给出本课程的课题引入；20 根据教学目标设计教学环节；给出两个实例以进行知识探究。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 44答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 设切点为 P(x0，y 0，z 0)，故曲面在切点处的切平面的法向量为n=(2x0，2y 0， 1)，平面 2x+2y+z 一 1=0 的法向量 m=(2，2，1)，则
7、 m/n，所以解得 P(1， 1，2)。2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 D【试题解析】 线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为： r(A)=r(A，b)3。 由 r(A)=r(A，b) 3，故 a=1 或 2，d=1 或 2。4 【正确答案】 D【试题解析】 由等价无穷小替换，其中 g(x)用到为有界函数的条件。所以 存在且为 0。而 f(0)=0，f(x)在 x=0 上连续。故 f(x)在 x=0 点可导，且 f(0)=0， D 选项正确。5 【正确答案】 C【试题解析】 =(+1)(一 9)=0，故矩阵的特征值为一 1，0，9。6 【正确答案】 B【试题解析】
8、 事件 A、B 相互独立，则 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(A)P(B)，所以7 【正确答案】 B【试题解析】 大约在公元前 6 世纪至公元前 4 世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何作图三大难题：(1)三等分角问题：将任一个给定的角三等分；(2)立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍；(3)化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。8 【正确答案】 C【试题解析】 题干所描述的是实例导入法。二、简答题9 【正确答案】 设函数 F(x，y，z)=x 2
9、+y2 一 z，F x=2x，F y=2y，F z=一 1，所以x2+y2=z 在点(1，一 2，5)处的切平面的法向量为(2，一 4，一 1)。过直线 L 的平面束方程为(x+y+b)+k(x+ay 一 z 一 3)=0，整理得，(k+1)x+(ak+1)y 一 kz 一 3k+b=0，其法向量为(k+1，ak+1，一 k)。根据题意有， ，k=1，a=一 5。将点(i，一 2，5) ，代入平面 (k+1)x+(ak+1)y 一 kz 一 3k+b=0，得 b=一 2。即得 a=一5，b=一 2。10 【正确答案】 =(a 一 1)(2a 一 1)=0，得 a=1 或 a= ，但题设a1，故
10、 a= 。11 【正确答案】 (2)X，Y 的可能取值均为 0，1，2，且 所以，二维随机变量(X，Y) 的概率分布为12 【正确答案】 “ 图形与几何 ”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。13 【正确答案】 创造性思维具有如下五个重要特点：新颖、独特且有意义的思维活动；思维加想象是创造性思维的两个重要成分：在创造性思维过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“ 灵感”；分析思维和直觉思维的统一；创造性思维是发散思维与辐合思维的统一。在数学教学中培养创造性思维：(1)
11、培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想；(2)一题多解，培养发散思维能力；(3)鼓励质疑提问，培养思维的批判性；(4)重视直觉思维能力培养；(5)引入数学开放题；(6)指导学生写数学小论文；(7)多一点耐心和宽容。三、解答题14 【正确答案】 ( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) =(1， 2， 3)A，这里A= 即为所求由基 1， 2， 3 到基 1， 2， 3 的过渡矩阵。将上式两边右乘 A 一 1，得( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)A 一 1，于是 =(1， 2， 3)=(1， 2， 3)A 一 1 ，所以向量 在基( 1， 2， 3)下的坐标为 A 一 1其中设 在两组基下的坐标
12、均为(y 1，y 2，y 3)，则 =(1， 2， 3) =(1， 2， 3)=(1， 2， 3)A 有齐次线性方程组=一 20，即方程组只有零解。所以不存在一非零向量 ，它在基 1， 2， 3，和基 1， 2， 3下有相同的坐标。四、论述题15 【正确答案】 可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区” 内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区” ，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力
13、；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，
14、逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。五、案例分析题16 【正确答案】 第一名学生利用了分解因式中的十字相乘法；第二名学生除了十字相乘法外，还利用了换元法。17 【正确答案】 这些方法体现了转化与化
15、归的思想。转化与化归的思想是将一个问题由难变易，由繁化简，由复杂化简单的过程。18 【正确答案】 当学生掌握了利用转化与化归思想解一般方程后，列举出一些不能用分解因式法来解决的方程，在学生比较迷茫时，向学生介绍计算器解方程，并让学生观察方程解的特点；与学生一起讨论区分需要用计算器来求解的方程的特点。最后，让学生体会利用数学思想和计算器解方程这两种方法的优缺点从而能够合理使用计算器。六、教学设计题19 【正确答案】 课题引入：(引导性材料)想一想：怎样的两个图形叫作关于某直线成轴对称？成轴对称的两个图形有什么特点？(帮助学生复习轴对称的有关知识，为中心对称教学做准备) 画一画：如图 1(1)，已
16、知点 P 和直线 l，画出点 P 关于直线 l 的对称点 P；如图 1(2)，已知线段 MN 和直线 a，画出线段 MN 关于直线 a 的对称线段 MN。(通过画图形进一步巩固和加深对轴对称的认识)上述问题由学生回答，教师作必要的提示，并归纳总结成下表：观察与思考：图 2 所示的图形关于某条直线成轴对称吗？如果是，画出对称轴；如果不是，说明理由。 (教师把图 2 的两个图形制成投影片或教具，学生仔细观察后，能发现这两个图形都不是轴对称。然后，教师适时提出问题：这两个图形能不能重合？怎样才能使这两个图形重合呢？让学生观察、探究、讨论，教师可以直观地演示中心对称变换的过程，让学生发现：把其中一个图
17、形统一特殊点旋转 180 度后能与另一个图形重合。)问题 1：你能举出 12 个实例或实物，说明它们也具有上面所说的特性吗？说明：学生自己举例有助于他们感性地认识中心对称的意义。然后，教师指出：具有这种特性的图形叫作中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。问题 2：你能给“中心对称”下一个定义吗？说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：有一个对称中心点；图形绕中心旋转 180 度；旋转后与另一图形重合。把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称” 字样，以利于写 “轴对称”进行比较。20 【正确答案】 教学环节：环节 1
18、：练一练：在图 3 中，已知ABC 和EFG 关于点 O 成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。说明与建议：教师可演示ABC 绕点 O 旋转180 度后与EFG 重合的过程，让学生说出点 E 和点 A，点 B 和点 F，点 C 和点G 是对称点；线段 AB 和 EF、线段 AC 和 EG，线段 BC 和 FG 都是对称线段。教师还可向学生指出，上图中，点 A、O、E 在一条直线上，点 C、O 、G 在一条直线上，点 B、O、F 在一条直线上，且 AO=EO，BO=FO，CO=GO。问题：从上面的练习及分析中，可以看出关于中心对称的两个图形具有哪些性质？说明与建议：引导学生总结出关于中心对
19、称的两个图形的性质：定理 1 一关于中心对称的两个图形是全等形；定理 2 一关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。问题：定理 2 的题设和结论各是什么？试说出它的逆命题。说明与建议：学生解答此题有困难，教师要及时引导。特别是叙述命题时，学生常常照搬“对称点 ”“对称中心”这些词语，教师应指出：由于没有 “两个图形关于中心对称”的前提，所以不能使用“ 对称点”“ 对称中心”这样的词语，而要改为“对应如”“某一点”。最后，教师应完整地叙述这个逆命题如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于点对称。问题：怎样证明这个逆命题是正确的？说明
20、与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。由已知条件对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，可以知道：若把其中一个图形绕着这点旋转 180 度，它必定与另一个图形重合，因此，根据定义可以判定这两个图形关于这一点对称。这个逆命题即为逆定理。根据这个逆定理，可以判定两个图形关于一点对称，也可以画出已知图形关于一点的对称图形。环节 2：练一练：画出图 4 中，线段 PQ 关于点 O 的对称线段 PQ。(画法如下：(1)连结 PO，延长 PO 到 P，使OP=OP，点 P，就是点 P 关于点 O 的对称点。(2)连结 QO，延长 QO 到 Q，使QQ=OQ，点 Q就是点 Q 的对称点，则 PQ就是线段 PQ 关于 O 点的对称线段。教师应指出：画一个图形关于某点的中心对称图形，关键是画“对称点” 。比如，画一个三角形关于某点的中心对称三角形，只要画出三角形三个顶点的对称点，就可以画出所要求的三角形。)
