1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 10及答案与解析一、单项选择题1 （A）0（B） 1（C） （D）22 若函数 ，则 f(f(10)=( )。（A）lg101（B） 2（C） 1（D）O3 下列函数中，与函数 定义域相同的函数为( )。 4 设 ，设有P2P1A=B，则 P2 等于( )。 5 设三次多项式函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 ，则 f(x)的极大值点为( ) 。（A）0（B） 1（C） -1（D）26 设函数 z=x2y，则 等于( )。（A）1（B） 2（C）（D）7 下列命题中，假命题为( )。（A）存在四边相等的四边形不是正方形（B
2、） z1,z2C，z 1+z2 为实数的充分必要条件是 z1、z 2 互为共轭复数（C）若 x，y R，且 x+y2，则 x，y 至少有一个大于 1（D）对于任意 nN，C 0n+C1n+Cnn 都是偶数8 下列关于高中数学课程的变化内容，说法不正确的是( )。（A）高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象（B）高中数学课程中，概率的学习重点是如何计数（C）算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体（D）集合论是一个重要的数学分支二、简答题9 计算二重积分 其中积分区域 D=(x,y)x2+y2。10 求幂级数 的和函数 f(x)及其极值。11 在某次考试中共有 12 道选择题，每
3、道选择题有 4 个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：“ 每题只选一项，答对得 5 分，不答或答错得 0 分。” 某考生每道题都给出一个答案。已确定有 9 道题的答案是正确的，而其余题中，有一道题可判断出两个选项是错误的，有一道可判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：(1)选择题得 60 分的概率；(2)选择题所得分数 的数学期望。12 “数学课程目标 ”从根本上明确了哪些问题 ?13 下列框图反映了数列与其他学科内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。 三、解答题14 在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知点 A
4、 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，且点 A 在直线 上。 (1) 求 a 的值及直线 的直角坐标方程； (2)圆 C 的参数方程为(a 为参数)，试判断直线 与圆 C 的位置关系。四、论述题15 结合实例谈谈，在高中课程教学中，为什么不强调几何概型，而强调随机模拟的思想?五、案例分析题16 案例：下面是一位老师在讲“ 简单几何体的三视图 ”的教学片断，请阅读后回答问题：创设问题情境，从学生熟悉的古诗入手，引出课题。多媒体显示：题西林壁苏轼横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。师：大家看大屏幕，一起朗读这首诗。师：哪位同学能说说苏东坡是怎样观察庐山的吗?都有什么感
5、觉?生：横看，侧看，远看，近看，高看，低看。都得到不同的效果。师：回答得非常好。可能有些同学会纳闷，今天老师上数学课怎么会念起古诗来?其实，这首诗隐含着一些数学知识。它教会了我们怎样观察物体，这也是我们这节课将要学习的内容简单组合体的三视图(写板书)。问题：(1)该教师的课堂引入有什么特色，对教学有什么好处?(2)简单谈谈数学教学过程中怎样调动学生的学习热情激发学习兴趣。六、教学设计题17 请以“三角函数的积化和差与和差化积” 为课题，完成下列教学设计。(1)教学目标；(2)教学重点、难点；(3)教学过程 (只要求写出新课导人和新知探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（高级数学
6、学科知识与教学能力）模拟试卷 10答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则即可求得。2 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查分段函数的求值。因为 101，所以 f(10)=lgl0=1。所以f(f(10)=f(1)=12+1=2。3 【正确答案】 D【试题解析】 函数 的定义域为(-，0)(0，+) ，而答案中只有的定义域为(-，0)(0，+) ，故选 D。4 【正确答案】 B【试题解析】 P 1A 表示互换矩阵 A 的第一、二行，矩阵 B 表示矩阵 A 先互换第一、二行，然后将互换的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行，所以 ，故选 B。5 【正确答案】 C【试
7、题解析】 由题干 f(t)dt=12x2+18x+1 知 f(x+1)-f(x)=12x2+18x+1， 即：3ax2+(3a+2b)x+(a+b+c)=12x2+18x+1， 解方程组： ，可得a=4，b=3，C=-6，即有：f(x)=4x 3+3x2-6x+d，从而可知：f(x)=12x 2+6x-6，f(x)= 24x+6，所以有稳定点 ，可知函数f(x)的极大值点应为 x=-1，故选 C。6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 B【试题解析】 (验证法) 对于 B 项，令 z1=-1+mi，z 2=9-mi(mR)，显然z1+z2=8R，但 z1，z 2 不互为共轭复数，故
8、 B 为假命题，应选 B。8 【正确答案】 B【试题解析】 高中数学课程中的向量既是几何的研究对象，也是代数的研究对象，向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁；算法是培养逻辑推理能力的非常好的载体，在大学和中学数学教育中都发挥着重要的作用；集合论是一个重要的数学分支，教师要准确把握高中数学课程中集合这一内容的定位；在概率课中，学习的重点是如何理解随机现象而不是如何计数。故选 B。二、简答题9 【正确答案】 从被积函数与积分区域可以看出，应利用极坐标进行计算。 作极坐标变换：设 x=rcos，y=sin。有 因此，10 【正确答案】 先对和函数 求导 对上式两边从 0 到 x 积分 由 f(0)=1
9、，得 为了求极值，对 f(x)求一阶导数令 f(x)=0，求得唯一驻点 x=0，由于 ，则 f(x)=-10， 由极值的第二充分条件，得 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1。11 【正确答案】 (1)得分为 60 分，12 道题必须全做对。在其余的 3 道题中，有 1道题答对的概率为 有 1 道题答对的概率为 ，还有 1 道答对的概率为 。所以得分为 60 分的概率为： (2)依题意，该考生得分的范围为45，50 ，55 ，60 。得分为 45 分表示只做对了 9 道题，其余各题都做错，所以概率为 ；得分为 50 分的概率为：；同理求得得分为 55 分的概率为：得分为
10、60 分的概率为： ，所以得分的分布列为： 数学期望12 【正确答案】 “ 数学课程目标 ”从根本上明确了如下三个问题：(1)学生为什么学数学；(2)学生应当学哪些数学；(3)数学学习将给学生带来什么。13 【正确答案】 推广； 类比；函数；等差数列、等比数列。三、解答题14 【正确答案】 (1)由点 在直线 上，可得 。 所以直线的方程可化为 pcos+psin=2， 从而直线的直角坐标方程为 x+y-2=0。 (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1) 2+y2=1， 所以圆 C 的圆心为(1，0) ，半径r=1， 因为圆心 C 到直线 l 的距离 所以直线 l 与圆 C 相交。四、
11、论述题15 【正确答案】 在高中课程的教学中，应对模拟的思想给予特别的关注，这个思想十分重要。典型的例子是用几何概率来计算平面图形的面积，它很直观地给出了随机模拟的思想。但教师应该清楚，随机模拟应用的范围十分广泛，绝不仅仅限于计算几何图形的面积或体积。事实上，许多不能用数学公式描述的问题，都可以通过模拟来实现。例如，可以让学生在超市收银台前，记录每分钟到达的人数，从而得到到达 0 个人的概率、到达 1 个人的概率，再记录为每个人服务的时间，得到服务时间不足 1 分钟的概率、服务时间不足 2 分钟的概率然后，可以通过模拟，再现收银台前顾客来到的状况。把一个实际问题转化为一个可以模拟的问题是一个非
12、常重要的意识，对于学生以后走向社会是一个重要的本领。在解决实际问题时，通常是用离散的量模拟连续变化的量，这些思想都很重要。几何概型讨论的是连续随机变量中的均匀分布，历史上它的解最早是几何方法来求得。由于积分的出现，这种方法目前意义已经不大。因此，不应该是我们的重点。我们只用它来介绍随机模拟。事实上，在教学中还可以选择不同的工具进行随机模拟，例如随机数表、计算器等等。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)这位老师用语文课的诗句作为引入，内容新鲜方式特别，提起学生的求知欲，达到了一定的效果跨越学科界限，让苏东坡的一首题西林壁把同学们带人了一个如诗如画的境界，再从诗歌中提炼出隐含的数学知识。这样，
13、不但增强了学生的人文意识，还使学生体会到了数学中的“美” 。(2)通过介绍数学史及数学家的光辉事迹，激发学生的兴趣；通过探究情景教学，课堂化枯燥乏味为生动活泼，将单一的练习变为趣味性的教学过程，让学生感受数学的魅力；打破传统教学模式，改革教学方法，理论联系实际，开展丰富多采的课外活动，让书本上的数学知识活起来；正确评价学生，让学生获得成功的喜悦。六、教学设计题17 【正确答案】 一、教学分析三角函数的积化和差与和差化积这两种转化，对于求三角函数值、化简三角函数式以及三角函数式的恒等变换，都有一定作用。在已学过的两角和、两角差的三角函数公式的基础上推导出三角函数的积化和差与和差化积公式较简单，可
14、引导学生自己导出三角函数的积化和差公式。1教学目标(1)知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。(2)能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明。(3)情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。2教学重点、难点本节重点是公式的推导和应用；难点是公式的灵活应用。二、教学过程设计1复习引入教学内容：复习两角和与差的正弦、余弦公式。师生互动：让学生将两角和与差的正弦、余弦公式写出来。(设计意图：复习旧知识，同时为推导积化和差公式作准备。)2积化和差公式的推导教学内容：推导积化和差公式。师生互动：教师：考查写出来的两角和与
15、差的正弦、余弦这四个公式，你能否用 sin(+)，cos(+)，sin(-)，cos(-)来表示 coscos，sinsin，sincos，cossin?学生：两边分别相加和相减除以 2 可以得到。教师：这组公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式 ”化为“和差”，有利于简化计算。(设计意图：培养学生运用已有知识分析问题和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式产生的根源。)3积化和差公式的应用教学内容：例题练习。师生互动：学生做练习题教师巡视检查。(设计意图：让学生初步学会应用公式。)4和差化积公式的推导教学内容：推导和差化积公式。师生互动：教师：从上面的积
16、化和差公式变形可以得到新的公式。左边是和差的形式，右边是积的形式，设 +=x， -=y，请同学自己将上面的四个公式加以整理，把 ，用 x，y 表示出来。学生整理后得到和差化积公式。教师：下面同学们讨论一下如何运用向量的知识来推导和差化积的公式。组织学生讨论。教师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差相辅相成，配合使用。(设计意图：引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了代换法进行角的转化。通过组织学生讨论探究。逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。)5和差化积公式的应用教学内容：例题练习师生互动：利用和
17、差化积这四个公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。教师指导学生练习，并检查学生做的情况，在解题过程中注意引导学生思考。(设计意图：通过例题练习，要让学生明确化积问题对最后结果的要求。对于解题过程的深入探究，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。)6小结教学内容：从知识、方法两个层面来对本节课的内容进行归纳总结。师生互动：(1)本节课重点学习了两组公式，对于公式不要求记住，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决一些求值、化简和证明问题。(2)把一个式子化为积的形式是一类重要题型，尤其是要注意其最后结果的形式是否符合题意要求。(3)在公式的推导过程中我们用到了换元法。要注意该方法在解题中的应用。(设计意图：让学生明确本节课的重点和要达到的要求。)
