1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 16及答案与解析一、单项选择题1 有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11 5，155)215 5，195)419 5，235)9235，275)1827 5，315)1131 5，355)1235 539 5)7395，435)3根据样本的频率分布估计，数据落在315，435)的概率约是( )。（A）16（B） 13（C） 12（D）232 如下图，正六边形 ABCDEF 中， =( )。3 函数 f(x)在点 x=x0 处有定义是 f(x)在点 x=x0 处连续的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分
2、条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件4 数列a n的首项为 3，b n为等差数列且 bn=an+1-an(nN*)。若 b3=-2，b 10=12，则a8=( )。（A）0（B） 3（C） 8（D）115 6 设全集 U=MN=1，2， 3，4，5 ，M N=2，4 ，则 N=( )。（A）1 ，2， 3（B） 1，3，5（C） 1，4，5（D）2 ，3， 47 若 a，bR，i 为虚数单位，且 (a+i)i=b+i，则( )。（A）a=1 ，b=1（B） a=-1，b=1（C） a=1，b=-1（D）a=-1，b=-18 数学课程内容的呈现应注意层次性和( )。（A）实用性（B）延伸
3、性（C）基础性（D）多样性二、简答题9 求极限10 设 f(x)的一个原函数为 x2sinx，求不定积分 dx。11 设 x=xf( ，y) ，其中函数 f 具有二阶连续偏导数，求 。12 数学教师在对信息技术资源进行开发与利用时需要关注哪些方面?13 中学数学教师选择和运用教学方法的基本依据是什么?三、解答题13 设函数 f(x)=ax+ (a，bZ)，曲线 y=f(x)在点 (2，f(2)处的切线方程为 y=3。14 求 f(x)的解析式，并证明：函数 y=f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；15 设直线 l 是曲线 y=f(x)的切线，求直线 l 与直线 x=1 和直线 y
4、=x 所围三角形的面积。四、论述题16 如何在数学教学实践中实现综合实践课的根本目标?五、案例分析题17 【教学片断】教师：同学们已经学过锐角三角函数，什么是锐角三角函数? 学生：(如图) 教师：借助直角三角形，请问锐角三角函数的自变量是什么?函数值是什么? 教师：对于确定的角，是否只有一个直角三角形的边的比值等于其三角函数值? 教师：什么是任意角的三角函数? 怎样定义任意角的三角函数 ? 教师：对于，你能否使表达式变得简单些? 问题：请说出案例中教师接连提出问题的意图，并说出这样设计的原因。六、教学设计题18 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分
5、为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构，发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。教学内容：普通高中课程标准实验教科书(数学)必修 4(人教 A 版)，第三章、第一节、第 145148 页。“二倍角的正弦、余弦、正切” 是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提
6、供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律” ，通过推导还让学生了解高中数学中由“ 一般”到“特殊” 的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：1能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦，正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。2掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形
7、使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。3通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练地掌握了两角和与差的三角函数的基础。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力较弱。教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情境，对和角公式中的角 、 的关系特殊情形 = 时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时
8、让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归(这里是将一般化归到特殊)这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。教学重点、难点：重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。请根据上述针对“ 二倍角的正弦、余弦、正切 ”一课的分析，设计相应的教学过程，并简要表述设计思路。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 16
9、答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 从 315 到 435 共有 22 个样本，所以 P=2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 连续必定有定义，有定义不一定连续。4 【正确答案】 B【试题解析】 由题给条件知，b 10=b3+7d d=2，b 1=b3-2d=-2-4=-6，b n=2n-8，a n+1=2n-8，由叠加法(a 2-a1)+(a3-a2)+(a8-a7)=-6+-4+-2+0+2+4+6=0a8=a1=3。5 【正确答案】 A【试题解析】 ，选择 A 项。6 【正确答案】 B【试题解析】 画出维恩图，可知 N=1，3，5。7
10、【正确答案】 C【试题解析】 因为(a+i)i=-1+ai=b+i，根据复数相等的条件可知 a=1，b=-1。8 【正确答案】 C二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 由 f(x)的一个原函数为 x2sinx，可知 f(x)=(x2sinx)=2xsinx+x2cosx，于是 =(2sinx+xcosx)dx=-2cosx+xsinx-sinxdx=-2cosx+xsinx+cosx+C=-cosx+xsinx+C。11 【正确答案】 12 【正确答案】 信息技术资源的开发与利用需要关注三个方面：(1)将信息技术作为教师从事数学教学实践与研究的辅助性工具，为此，教师可以通过网络查阅资
11、料、下载富有参考价值的实例、课件，并加以改进，使之适用于自身课堂教学；可以根据需要开发音像资料，构建生动活泼的教学情境；还可以设计与制作有关的计算机软件、教学课件，用于课堂教学活动研究等。(2)将信息技术作为学生从事数学学习活动的辅助性工具，为此，可以引导学生积极有效地将计算器、计算机用于数学学习活动之中，如，在探究活动中借助计算器(机)处理复杂的数据和图形，发现其中存在的数学规律；使用有效的数学软件绘制图形、呈现抽象对象的直观背景，加深对相关数学内容的理解；通过互联网搜寻解决问题所需要的信息资料，帮助自己形成解决问题的基本策略和方法等。(3)将计算器等技术作为评价学生数学学习的辅助性工具，为
12、此，应当积极开展基于计算器环境的评价方式与评价工具研究，如，哪些试题或评价任务适宜在计算器环境下使用，哪些不适宜等。13 【正确答案】 (1)教学的目的任务；(2)中学课程的性质及其特点；(3)中学生的身心特点；(4)学校的设备条件；(5)教学的时限；(6)教师自身的条件。三、解答题14 【正确答案】 f(x)=a- ，因为(2 ，f(2) 也在直线 y=3 上，故 f(2)=3，因 a，b Z，故 f(x)=x+ 证明：已知函数 y1=x， y2= 都是奇函数。所以函数 g(x)=x+ 也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形。而 f(x)=x-1+ +1 可知，函数 g(x)的图象按
13、向量a=(1，1)平移，即得到函数 f(x)的图象，故函数 f(x)的图象是以点(1，1) 为中心的中心对称图形。15 【正确答案】 在曲线上任取一点(x 0，x 0+ )。由 f(x0)=1- 知，过此点的切线方程为 令 y=x 得y=2x0-1，切线与直线 y=x 交点为(2x 0-1，2x 0-1)，直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1，1)。从而所围三角形的面积为所以，所围三角形的面积为定值 2。四、论述题16 【正确答案】 数学是培养学生综合实践能力的主要阵地，因此，综合实践课的根本目标的实现离不开数学教学活动。(1)利用数学学科资源，以多种方式实现综合实践课的根本目标综合实践
14、活动课的教学资源来源具有多元性，主要来自于各学科资源的整合，教师应充分挖掘数学学科资源，以独立探究、合作交流、课题研究等方式融入综合实践活动中，用于整合的数学学科资源的获取有下面三种途径：教材中现有素材的整编；教材内容的衍生；结合数学在各个领域中的应用，自主提出研究课题。(2)结合综合实践活动的主要特点，以转变教学方式实现综合实践课的根本目标第一，坚持把数学课融合到综合实践课中；第二，坚持把备课和测、改等环节渗透到学生实践活动中；第三，坚持把生活搬进课堂和走出去体验实践生活相结合。综合实践活动能诱导出学生的创造力量，并使学生身心、个性健全发展，综合实践活动不能舍本逐末，抛弃学科教学，要把数学变
15、成主要阵地之一，数学教师应充分利用数学学科资源，结合综合实践的特点，以多种方式培养学生自主探究和合作交流的能力，坚持在数学与综合实践活动课的有效结合中实现其根本目标。五、案例分析题17 【正确答案】 一系列的问题的意图：通过复习直角三角形中的锐角三角函数概念，将锐角三角函数中锐角与线段比的对应，推广到任意角与其相关的线段比值的对应，再通过对 OP 长度的分析，引出任意角的三角函数的定义。如何能让学生理解和掌握三角函数的概念，十分重要的一点是要站在学生的角度去理解这个概念，学生在初中阶段学习过直角三角形中的锐角三角函数，学生对锐角三角函数的理解实际上是停留在形式上的，没有建立以对应的观点来理解三
16、角函数，因此教师在教学过程中，应该在学生理解范围内去设计问题，帮助学生来理解概念。六、教学设计题18 【正确答案】 教学过程一、复习启发、设置情境、引出正题 1(复习性提问)：请同学回顾两角和的公式。(学生回答，教师板书)sin(+)=sincos+cossincos(+)=coscos-sinsintan(+)= 2(探索性提问)当上述公式中角 、 具有特殊化关系 = 时，公式变为什么形式?请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在座位上做。学生板书：sin(+)=sincos+cosasin sin2=2sincoscos(+)=coscos-sinsin cos2=cos2-sin23集体订
17、正后，引导学生观察其结构，并点名回答观察结果。(学生回答：左边角均为 2，右边角均为 ，具有“二倍”关系)4引入正题师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称” 、“和谐”之美。教师板书(放幻灯片)二倍角公式简记为 sin2=2sincosS 2cos2=cos2-sin2C 2tan2= T2即为我们今天要学习的二倍角公式。【设计意图：复习已学公式，对其特殊化让学生学会从“一般” 到 “特殊”的化归方法，从而达到“温故知新”的教学目的】 二、引导探究、深化认识 1回忆推导过程，让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形，知道二者之间的联系。2(探索性提问)对C2：cos2=cos
18、2-sin2 中的平方联想到 sin2+cos2=1，C 2有无其他变式?(学生探索、总结得出两种变式：cos2=2cos 2-1，cos2=1-2sin 2)3(深化性提问)：有了这组二倍角公式，我们是否可以放心大胆的应用呢?(学生：不能，要注意公式成立的条件)引导学生联想和角公式的条件，利用类比的方法，探索出二倍角公式的条件。S2：sin2=2sincos( R)C2：cos2=cos 2-sin2(R)T2：tan2a=指出：尤其注意 T2成立的条件。【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】4(探索性提问)在T2中，当左边的 = +k(kZ)时，虽然右边的 ta
19、n 不存在，但左边的 tan2 存在，能否用 T2求 tan2?该怎样求? 引导学生，改用诱导公式：tan2=tan2( +k)=tan(+k)=tan=0【设计意图：引导学生对特殊情形，另辟蹊径，寻找求解依据，培养学生细致、灵活的探索习惯】5二倍角公式中的倍数关系是相对的，为深化对二倍角公式的理解，出示一组填空题，(放幻灯片)(1)填角sin=2sin_cos_cos2-cos 2_-sin2_-1=1-2sin2_cos =cos2_-sin2_(2)填= 或号一般情况下：sin2_2sin，cos2_2cos ，tan2_2tan【设计意图：通过填空，让学生灵活理解“ 二倍角 ”的含义，
20、根据学生易混点，类比公式，展开训练，达到“跨越障碍、突破难点 ”之目的】三、巩固公式，学习应用出示四道例题，学生分组训练，每组一题，做完后组内交流，订正答案，最后教师引导学生小结方法、技巧、要点、解题规范等放幻灯片。(第一组学生做)例 1不查表，求下列函数值。(1)sin6730cos6730(4)sin15cos15(5)1-2sin 2 (6) 【设计意图：通过直接应用公式、间接应用公式、一题多解，巩固二倍角公式】(第二组学生做)例2已知 sin= ，求 sin2、cos2 、tan2 的值。讲评：此题目中对角有范围限制，做题时应注意什么? 仅知道 sin 值，欲求二倍角正弦、余弦、正切，
21、先需要知道什么?在求 cos2 值时，要灵活应用 C2三种等价形式，并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据，减少错误的可能性。【设计意图：由浅入深，巩固公式，培养学生规范、科学解题的能力，教给学生小结解题经验，做后反思】(第三组学生做)例 3证明 讲评证法 1：等价证 1+sin4-cos4=2tan 证法 2：等价证 证法 3：巧妙应用“1”，即用“1=sin 2+cos2”代换，后略。【设计意图：让学生学会等价证明、转化证题及一题多证，以培养学生数学思维的灵活性、散发性及创造性思维，加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题】(第四组学生做)例 4利用三角公式化简 sin50(1+
22、tan10)讲评此题技巧是先将“切化弦” ，然后用已学过的知识和二倍角公式化简【设计意图：复习应用所学知识解简单三角综合问题，培养学生综合解题应用能力】四、提炼总结放幻灯片(1)在两角和的三角函数公式 S(+)、C (+)、T(+)中，当 = 时，就可得到二倍角的三角函数公式 S2、C 2、T 2，说明：后者是前者的特例。(2)S 2、C 2。中角 没有条件限制，而 T2中，只有 +k，(k Z)时才成立。(3)二倍角公式不仅限于 2 是 的二倍形式，其他如 4 是 2 的二倍， 的二倍，3 是 的二倍等等都适用，要熟悉这些形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活应用公式的
23、关键。cos2 有三种形式： cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2要依据条件灵活应用公式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。【设计意图：使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，抓住重点、难点，关键进行课后复习巩固】五、作业布置必做：教科书 P150。习题 31A 组 14、15【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，查漏补缺】选做：(1)用 sin、cos 表示sin3、cos3(即推导三倍角公式) 。(2)已知： 的值。【设计意图：给学有余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】设计思路 1本节公式比较多，首先要搞清楚各公式之间的内在
24、联系，也就是要很好地理解上面的知识结构图，其次理解如何由和角公式推导倍角公式，然后明确倍角的含义，熟练地运用倍角公式进行求值、化简等三角运算及恒等变形。2在三角式的运算及恒等变形过程中，除了倍角公式外，也离不开前面所学的同角三角函数关系、诱导公式以及和角公式等，它们是一个有机整体在解题过程中要求学生先分析条件与求解目标之间的差异，选择恰当的公式进行转化沟通，然后明确解题思路，设计解题步骤，完善解答过程，培养逻辑思维能力。3我们通过一题多解，使我们学会数学思考与推理，训练发散性思维，培养创造性意识，提高数学素养。4以公式特殊情形 = 化简为切入点，以学生探索、推导、应用为主线，以学生发展能力为目的。
