1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 1及答案与解析一、单项选择题1 在复平面内，复数(2-i) 2 对应的点位于( )。（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2 “=”是“曲线 y=sin(2x+)过坐标原点”的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3 设 f(x)为不恒等于零的奇函数，且 f(0)存在，则函数 ( )。（A）在 x=0 处左极限不存在（B）有跳跃间断点 x=0（C）在 x=0 处右极限不存在（D）有可去间断点 x=04 设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是( )。（
2、A）A+A T（B） A-AT（C） AAT（D）A TA5 已知曲面方程为 x2+y2+z2-2x+8y+6z=10，则过点(5，-2，1)的切平面方程为( )。（A）2x+y+2z=0（B） 2x+y+2z=1 0（C） x-2y+6z=15（D）x-2y+6z=06 已知事件 A 的概率 P(A)=06，则 A 的对立事件 等于( )。（A）03（B） 04（C） 06（D）077 ( )代数学 的出版，标志着近世代数基本理论的建立。（A）范.德.瓦尔登（B）黎曼（C）埃尔米特（D）希尔伯特8 ( )是学生在教师的指导或鼓励下，通过类比、归纳、质疑和反思等思维活动，亲自去探索和发现数学的
3、概念、定理、公式和解题方法等的一种教学方法。（A）发现式教学法（B）讲解式教学法（C）自学辅导法（D）讨论式教学法二、简答题9 已知 ， (1)求 tan2 的值； (2)求 。10 玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，假设各箱含 0、1、2 只残次品的概率分别为08、01 和 0095。一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求：(1)顾客买下该箱玻璃杯的概率 p；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 q。11 已知线性变换 求从变量 x1，x 2，x 3 到变量 y1，y 2，y 3 的线性变换。12 论述实
4、施合作学习应注意的几个问题。13 下列框图反映了函数与相关内容之间的关系，请用恰当词语补充完整。 三、解答题14 已知 A、B、C 是椭圆 上的三个点，O 是坐标原点。 (1)当点 B 是W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由。四、论述题15 论述在解析几何中强调图形的原因。五、案例分析题16 案例：某教师在对基本初等函数进行教学时，给学生出了如下一道练习题： 方程 log2(9x-1-5)一 log2(3x-1-2)-2=0 的解集为_。 某学生的解答过程如下： log2(9x-1-5
5、)-log2(3x-1-2)-2=01og2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-1og24=0 log2(9x-1-5)-log24(3x-1-2)-29x-1-5=4(3x-1-2)(3x-1-1)(3x-1-3)=0 3x-1-1=0 或 3x-1-3=0 所以 x=1 或 x=2，所以解集为1，2。 问题： (1)指出该生解题过程中的错误，分析其错误原因； (2)给出你的正确解答； (3)指出你在解题时运用的数学思想方法。六、教学设计题17 请以“直线与平面平行的判定” 为课题，完成下列教学设计。(1)教学目标(2)本节课的教学重、难点(3)写出新课引入和新知探究、巩固、应用等及
6、设计意图中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 1答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 (2-i) 2=5-4i，对应的点为 (5，-4)，位于第四象限。2 【正确答案】 A【试题解析】 = 时，y=sin(2x+)=-sin2x 过坐标原点。前者可以推出后者，而曲线 y=sin(2x+)过坐标原点，可以得到 =+k，但不能推出 =，故“=”是“曲线 y=sin(2x+)过坐标原点”的充分不必要条件。3 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)为奇函数知 f(0)=0；又由 ，知 g(x)在 x=0 处没定义，显然 x=0 为 g(x)的间断点，为了讨
7、论函数 g(x)的连续性，求函数 g(x)在 x0加的极限。 存在，故 x=0 为可去间断点。4 【正确答案】 B【试题解析】 对任意 n 阶矩阵 M，若 M=MT，则称 M 为反对称矩阵。经计算只有选项 B 满足条件，即 (A-A T)T=AT-(A-AT)，故选 B。5 【正确答案】 B【试题解析】 方法一，设球面方程为 x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x0，y 0，z 0)的切平面方程为： x 0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0。 由曲面方程为 x2+y2+z2-2x+8y+6z=10 可知 p=-1，q=4 ，r
8、=3，d=-10，则过点(5，-2，1)(点在球面上)的切平面为 5x-2y+z-(x+5)+4(y-2)+3(z+1)-10=0 整理得：2x+y+2z=10。故选 B。 方法二：曲面 x2+y2+z2-2x+8y+6z=10 为球面，标准方程为： (x-1)2+(y+4)2+(z+3)2=36 球心为(1，-4，-3) ，半径为 6。由 A，B，C ，D 四个选项中，只有B、C 过点(5，-2，1) 。故 A，D 排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项 B，球心到平面的距离为 等于球半径，满足题意。故选 B。6 【正确答案】 B【试题解析】 其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对
9、立事件。事件 A 与它的对立事 的概率之和为 1，即 。7 【正确答案】 A【试题解析】 范.德.瓦尔登代数学的出版，标志着近世代数基本理论的建立。8 【正确答案】 A【试题解析】 题干给出的是发现式教学法的定义，故选 A。二、简答题9 【正确答案】 (1)由 ，得。故 ，于是 。 (2)由，又由 ，故。由 =-(-)得 cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)= ，所以 。10 【正确答案】 (1)设事件 Ai 表示箱中含有 i 件残次品(i=0，1，2)，则 P(A 0)=08， P(A1)=01，P(A 2)=0095， 事件 B 表示顾客查看的四只玻璃杯没有残次品
10、，则 (2)故 q=08511 【正确答案】 则原线性变换可用矩阵表示为x=Ay，即 因为 ，所以 A 可逆，且 故 即12 【正确答案】 (1)确定适当的合作学习内容和问题(任意)，合作学习是一种学习方式，也是一种手段，学习方式与所学内容互相适应，不是所有的学习领域和学习主题都需要合作学习的方式。(2)合作学习的主要目的是加强师生之间的交流与互动。(3)合作学习应在独立思考的基础上进行。(4)要防止合作学习流于形式。13 【正确答案】 类比； 映射；特殊化三、解答题14 【正确答案】 (1)椭圆 的右顶点 B 的坐标为(2，0)。因为四边形OABC 为菱形，所以 AC 与 OB 相互垂直平分
11、。所以可设 A(1，m)，代入椭圆方程得 。所以菱形 OABC 的面积(2)假设四边形 OABC 为菱形，因为点 B 不是 W的顶点，且直线 AC 不过原点，所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k0，m0) 。 由消去 y 并整理得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-4=0。 设 A(x1，y 2)，C(x 2，y 2)，则 所以 AC 的中点为 M因为 M 为 AC 和 OB 的交点，所以直线 OB 的斜率为 因为 ，所以 AC 与 OB 不垂直。所以 OABC 不是菱形，与假设矛盾。 所以当点 B 不是 W 的顶点时，四边形 OABC 不可能是菱形。四、论述题15 【正确答案】 (
12、1)解析几何的研究对象就是图形在初中，学生已经学习了直角坐标系，在直角坐标系中，研究了一些基本的函数图象，同时，从综合几何的角度学习了直线和圆的一些基本性质。在解析几何初步中，主要研究的对象仍然是直线和圆，用解析几何的方法研究直线和圆的性质。(2)解析几何最终是解决几何问题解析几何研究问题的基本思路是：建立直角坐标系；将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；并用代数方法处理这些代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。因为它研究的核心是几何问题，所以必须强调图形，图形可以帮助我们发现解决问题的思路，确定解决代数问题的方向。五、案例分析题16
13、【正确答案】 (1)该生的这种做法产生了增根 x=1，实际上当 3x-1-1=0 时，3 x-1-20 导致对数的真数为负数则原方程无意义。 (2)log 2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)-2=01og2(9x-1-5)-1og2(3x-1-2)-log24=0 所以解集为2。(3)本题所运用的是分类讨论和函数与方程的数学思想方法。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)教学目标 通过直观感知观察操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让
14、学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣。增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。(2)教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 (3)教学过程设计 知识准备、新课引入 提问 1：根据公共点的情况，空间中直线 a 和平面有哪几种位置关系? 并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为 A。 提问 2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行，你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 (设计意
15、图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探寻直线与平面平行判定定理做好准备。) 判定定理的探求过程 1) 直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗? 生 1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生 2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2) 动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印
16、象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 (设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么。使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。) 3) 探究思考 上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢? 通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行
17、。如果平面外的直线 a 与平面内的一条直线 b 平行，那么直线 a 与平面平行吗? 4)归纳确认：(多媒体幻灯片演示) 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：(内外)线线平行线面平行 作用：判定或证明线面平行。 关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。 思想：空间问题转化为平面问题 定理运用，问题探究 (多媒体幻灯片演示) 判断下列命题的真假? 说明理由： 1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。( ) 2)过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。( ) 3)一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线
18、与平面平行。( ) 设 a、b 是二异面直线，则过a、b 外一点 p 且与 a、b 都平行的平面存在吗 ?若存在请画出平面，不存在说明理由? 先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。 (设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。) 总结 先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)： 1) 线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。 2)定理的符号表示： 简述：(内外)线线平行则线面平行。 3) 定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。
