1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 2及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=x2+2x-3 的定义域为-1，0，1 ，则其值域为( )。（A）-4，-3，0（B） -4，-3（C） yy-4（D）R2 若两圆的半径分别为方程 x2-10x+16=0 的两根，圆心距是 12，则两圆的位置关系是( )。（A）外切（B）相交（C）内切（D）外离3 已知数列 7，77,777，7777，的前四项，则此数列的一个通项公式为( )。 （A）7(10 n-1)（B） 711n（C）（D）4 通过点(2 ，-3 ，-5) 且与平面 6x-3y-5z+2=0 垂直的直线为( ) 。 5
2、 8 个同学排成一排的排列数为 m，8 个同学排成前后两排，其中前排 3 人，后排5 人的排列数为 n，则 m、n 的关系是( )。（A）nm2n（B） mn（C） mn（D）m=n6 设 ，则必有( ) 。（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B7 设 A，B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 使得 P-1AP=B，则称矩阵 A 与矩阵 B( )。（A）等价（B）相似（C）合同（D）正交8 下列哪种学习方式不是普通高中数学课程标准(实验)所提倡的?( )（A）合作学习（B）探究学习（C）机械学习（D）自主学习二、简答题9 求二元函数 f(x,
3、y)=x2(2+y2)+ylny 的极值。10 若方程 x3+px+q=0 的三个根是 a、b、c 球证： 11 设有线性方程组 ，问 m，k 后为何值时，方程组有唯一解 ?有无穷多组解? 有无穷多组解时，求出一般解。12 简述讲授式教学法的优缺点。13 结合教学实际说一说，你认为新课程标准对教师的课堂教学有哪些要求?三、解答题14 已知椭圆 C1、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上，C 1 的中心和 C2 的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中： (1)求 C1、C 2 的标准方程： (2)请问是否存在直线 L 满足条件： 过 C2 的焦点 F； 与 C1 交不同两点M
4、、N，且满足 若存在，求出直线 L 的方程；若不存在，说明理由。四、论述题15 小明家刚刚购买的房子成正方形(如下图)，如果洗手间铺成白色的地砖，厨房与卧室铺浅黄色地砖，那么小明家需要购买多少平方米的白色地砖?多少平方米的浅黄色地砖?这些地砖的面积与小明家购买房子的总面积是什么关系? 这个关系能否推广到一般情形? (1)简述发现式教学法的含义； (2)通过该题谈谈发现法教学对学生的作用。五、案例分析题16 案例：阅读下列两位教师的教学过程。 教师甲的教学过程： 师：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在? 如果沿着
5、线路一小段一小段查找，困难很多。每查一个点要爬一次 10km 长的电线杆子，大约有 200 多根电线杆子呢。想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理? 生 1：直接一个个电线杆去寻找。 生 2：先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点。 师：生 2 的方法是不是对呢?我们一起来考虑一下。 如图，维修工人首先从中点 C 查，用随身带的话机向两个端点测试时，发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 中点 E 来查。每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近。 师：
6、我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件)。 在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围(即二分法思想)。 教师乙的教学过程： 师：大家都看过李咏主持的幸运 52吧，今天咱也试一回(出示游戏：看商品、猜价格)。 生：积极参与游戏，课堂气氛活跃。 师：竞猜中，“高了” 、“低了”的含义是什么?如何确定价格的最可能的范围? 生：主持人“ 高了、低了 ”的回答是判断价格所在区间的依据。 师：如何才能更快的猜中商品的预定价格? 生：回答各异。 老师由此引导学生说出“ 二分法” 的思想，并向同学们引出二分法的概念。 问题： (1)分析两种情景引入的特点。 (2)结合案
7、例，说明为什么要学习用二分法求方程的近似解。六、教学设计题17 高中“逻辑联结词 ”设定的教学目标如下：理解逻辑联结词 “或”、“且”、“ 非”的含义，了解“或”、“ 且”、“非” 的复合命题的构成。能熟练判断一些复合命题的真假性。通过逻辑联结词的学习，使学生初步体会数学语言的严密性，准确性，并在今后数学学习和交流中，能够准确运用逻辑联结词。完成下列任务：(1)请设计一个情境导入。(2)根据教学目标，设计至少两个实例，并说明设计意图。(3)相对义务教育阶段的统计教学，本节课的教学重点是什么? (4)其教学难点是什么 ?中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 2答案与解析一、
8、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 直接带入定义域的各个值求得值域。2 【正确答案】 D【试题解析】 由 x2-10x+16=0 得：两个圆的半径之和为 r1+r2=1012，所以两圆外离。3 【正确答案】 C【试题解析】 设等比数列a n，其中 a1=1，q=10 ，则数列 an的前 n 项和，则题目已知数列通项公式 7777=7(1+10+100+1000+)=(10n-1)。4 【正确答案】 A【试题解析】 平面 6x-3y-5z+2=0 的法向量为 n=6，-3，-5 ，则所求直线与法向量平行，由直线的点法式方程可知，此直线的方程为 ，故选 A。5 【正确答案】 D【试题解析】
9、 对于排成前后两排(前排 3 人，后排 5 人)可以理解成 8 个同学排成一排后将 5 个人移到后排，和排成一排的排列数相同。6 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 B 是矩阵 A 将第一行加到第三行，再交换第一行和第二行得到的，而 P1，P 2 分别为交换单位矩阵第一行和第二行以及将单位矩阵的第一行加到第三行所得到的初等矩阵。故根据“左行右列”法则可知 P1P2A=B，故选 C。7 【正确答案】 B【试题解析】 由相似矩阵的定义知 B 正确。故选 B。8 【正确答案】 C【试题解析】 普通高中数学课程标准(实验)提倡高中数学实行多种学习方式。机械学习是一种单纯依靠记忆学习材料，而避免去理解其
10、复杂内部和主题推论的学习方法，平时多称为死记、死背或死记硬背。显然这种学习方式不是新课程标准所倡导的，故选 C。二、简答题9 【正确答案】 f x(x，y)=2x(2+y 2)， f y(x，y)=2x 2y+lny+1。令由于 所以 且 A0。 从而是 f(x，y)的极小值，极小值为10 【正确答案】 证明：由一元三次方程的根与系数的关系，得 a+b+c=0 ， bc+ac+ab=p， abc=-q， 所以 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(bc+ac+ab)=0-2p=-2p。 又由于 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ac-ab)， 所以 a 3+
11、b3+c3-3(-q)=0， 即 a 3+b3+c3=-3q， 所以 11 【正确答案】 对此线性方程组的系数矩阵 A 的增广矩阵进行初等变换如下： (1)当 m-1 时，r(A)-r =3，方程组有唯一解； (2)当，m=-1，k1 时，r(A)r ，方程组无解；(3)当 m=-1，k=1 时，r(A)=r =23，方程组有无穷多解，此时基础解系含解向量个数为 3-r(A)=1。 原方程组对应的齐次方程组经过初等变换后等价于，所以 x2=0。 令 x3=1，得 x1=-1，基础解系的解向量为 =(-1，0，1)T。 原方程组经初等变换后等价的非齐次方程组为 ，所以 令x3=0，得 ，非齐次方
12、程组的一个特解为 通解为12 【正确答案】 讲授法的主要优点是能够保持教师在教学中的主导地位，保证教师讲授知识的主动性、流畅性和连贯性，比较节省时间，且学习过程和教学时间易被教师所控制。其缺点是学生的活动较少，不能及时、正确了解学生对知识的理解、掌握情况，容易造成教与学的分离，不容易面向全体学生，不利于学生能力的培养和提高。13 【正确答案】 (1)创设良好氛围，激励学生学习。(2)围绕教学目标，开展教学活动。(3)突出思维训练，培养思维能力。(4) 着眼学生发展，组织学生活动。(5)运用多种教学方法，选用恰当教学媒体。(6)重视教师的人格力量，规范教师的课堂行为。三、解答题14 【正确答案】
13、 (1)设 ，C 2：y 2=2px(p0) 已知的四个点经过分析： ，(4，-4)在 C2 上；(-2 ，0)， 在 C1 上，分别代入求得 p=2， a=2，b=1，则标准方程为： 。 (2)C 2 的焦点是(1， 0)，假设存在这样的直线 L 且解析式为 y=k(x-1)，联立 C2 和 L 的解析式，化简整理得： x2-2k2x+k2-1=0， 设 M(x1，y 1)，N(x 2，y 2)，由根据韦达定理有于是有k2=4， k=2，因此满足条件的直线存在， L：y=2x-2 或 y=-2x+2。四、论述题15 【正确答案】 (1)发现式教学法又叫问题教学法，是美国著名心理学家布鲁纳于2
14、0 世纪 50 年代首先倡导的、让学生自己发现问题、主动获取知识的一种教学方法。布鲁纳从青少年好奇、好学、好问、好动手的心理特点出发提出了在教师的指导下，通过演示、实验、解答问题等手段引导学生像当初数学家发现定理那样去发现知识，以便培养他们进行研究、探讨和创造的能力。 通常可以按下述一般步骤进行： 创设问题情境，激发学生学习的积极性和主动性。 寻找问题答案，探讨问题解法。 完善问题解答，总结思路方法。 进行知识综合，充实和改善学生的知识结构。 (2)在思考这个题的过程中，学生能够获得(a+b) 2=a2+2ab+b2 这个猜想，之后引导学生给出证明即可。这个问题的证明既可以从几何的角度利用面积
15、计算得出，也可以从代数角度利用多项式乘法得出，学生怎样证明都可以。通过发现法教学，我们鼓励学生从多个角度解决问题，这对培养学生思维的灵活性非常重要，而思维的灵活性是创造性的基础。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)甲教师从实际问题人手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法原理源于现实生活，并在现实生活中广泛应用。乙教师利用视频与游戏的形式，学生会踊跃参与；商品价格竞猜也是学生熟悉的，竞猜的方法多样，可以进行竞赛；通过问题，启发学生寻找确定区间的依据，为后面探索“用二分法求方程近似解” 埋下伏笔。(2)首先，新课程标准强调函数的应
16、用，用二分法求方程的近似解体现了函数在数学其他方面的应用。概括来说，函数应用表现在两个方面，一是在数学其他方面的应用；二是在其他科学领域和实际问题中的应用。其次，二分法简便而又应用广泛，用在求方程的近似解方面是依据了方程解存在的重要结论，即函数的应用。二分法求方程的解这一内容也是函数思想存在的一个良好载体。二分法还是数学必修 3 中算法学习的一个铺垫。在教学中可以用框图表示二分法求方程近似解的流程。再次，二分法朴素地体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在其他地方运用和推广的朴素的思想，如“整体局部” 、“定性定量”、“精确近似 ”、“计算技术”等。这些数学思想发展的过程，
17、具有萌发数学思想的数学教育价值。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)生活中，我们要经常用到许多有自动控制功能的电器。例如，洗衣机在甩干时，如果“ 到达预定的时间 ”或“机盖被打开”，就会停机，即当两个条件至少有一个满足时，就会停机。与此对应的电路，就叫或门电路。又如，电子保险门在“钥匙插入 ”且“密码正确”两个条件都满足时，才会开启。与此对应的电路，就叫与门电路。随着高科技的发展，诸多科学领域均离不开类似以上的逻辑问题。因此，我们有必要对简易逻辑加以研究。 (2)实例 1：在初中，我们已学过命题，知道可以判断真假的语句叫作命题。 试分析以下 8 个语句，说出哪些是命题，哪些不是命题，哪些是
18、真命题，哪些是假命题。 125 3 是 12 的约数 是整数 是整数吗 ? 10 可以被 2 或 5 整除 菱形的对角线互相垂直且平分 不是整数 (可以让学生回答，教师给出点评) 我们可以看出，是真命题；是假命题；因为 不涉及真假；不能判断真假，所以都不是命题；是真命题。 其中，“ 或”、“且”、“ 非 ”这些词叫作逻辑联结词，像这样的命题，不含逻辑联结词，叫简单命题；像这样，由简单命题与逻辑联结词构成的命题，叫复合命题。 (设计意图：将初中所学知识与本节要学习的知识连接起来，方便学生理解简单命题与复合命题的概念与区别) 实例 2：对于三种复合命题，如何判断其真假呢?下面要求学生自己设计或真或
19、假的命题来填下面表格： 结合学生回答情况，将上面的表格补充完整，并给出真值表的定义。要求学生对每一真值表用一句话总结： “ 非 p”形式的复合命题的真假与 p 的真假相反。 “p 且 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为真时为真，其他情况时为假。 “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同为假时为假，其他情况时为真。 (设计意图：运用图表的形式，形象而直观的将如何判断复合命题的真假展现给学生，学生自己动手填写更能加深印象)(3)重点：了解命题和开语句的区别。 (4) 难点：由于逻辑中的“或”、“ 且”、“ 非”与日常用语中的“ 或” 、“且”、“非” 的意义不完全相同，故要直接讲清楚它们的意义，比较困难。
