1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 36及答案与解析一、单项选择题1 ( )。（A）0（B） 1（C） （D）22 假设 n(n2)阶矩阵 A 为非奇异矩阵，则下列等式正确的是 ( )。（A）(A *)*=A n 一 2.A（B） (A*)*=A n 一 1.A（C） (A*)*=A n+1.A（D）(A *)*=A n+2.A3 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1。若坐标原点取在圆心，戈轴正向朝下，则闸门所受压力 P 为( )。4 设 ，则 x=0 是函数 f(x)的( )。（A）连续点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）可
2、去间断点5 设二次型 f(x1，x 2，x 3)在正交变换为 x=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y32，其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，一 e3，e 2)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qs 下的标准型为( )。（A）2y 12 一 y22+y32（B） 2y12+y22 一 y32（C） 2y12 一 y22 一 y32（D）2y 12+y22+y326 设事件 A，B 相互独立，P(B)=05，P(AB)=03，则 P(B 一 A)=( )。（A）01（B） 02（C） 03（D）047 ( )在数学史上第一次将圆周率值计算到小数点后的第 7
3、位，即 3141 592 63141 592 7 之间。（A）祖冲之（B）阿基米德（C）丢番图（D）秦九昭8 义务教育数学课程标准(2011 年版)中指出，学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的( ) ，激励学生学习和改进教师教学。（A）过程和结果（B）过程和方法（C）情感和态度（D）内容和进度二、简答题9 求过直线 且平行于 z 轴的平面方程。10 已知矩阵 求矩阵 A 的特征值和特征向量。10 袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球,以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。11 求 PX=1Z=0；12 求二维随机
4、变量(X，Y)的概率分布。13 简要论述义务教育数学课程标准(2011 年版)中关于“课程内容” 中“图形与几何”的主要内容。14 简述创造性思维的特点，在数学教学中如何培养学生的创造性。三、解答题15 判断 A 与 B 是否相似，这里四、论述题16 “数学学科内涵 ”是影响初中数学课程的主要因素之一。请以一元二次方程为例论述数学学科内涵的主要含义。五、案例分析题16 案例：阅读下列有关“一元一次方程的实践与探索” 教学片段。 (多媒体展示)学校需要制作一块广告牌，请来两名工人。已知师傅单独完成需 4 天，徒弟单独完成需 6 天，两人合作需要几天完成? 解：设两人合作需要 x 天完成，根据题意
5、列方程：解方程，得 x=24。 答：师徒两人合作需要 24 天完成任务。 师：同学们对本题还有疑问么? 生：没有了! ( 情境拓展) 师：真没有了? 同学们想不想试着提出其他的问题来考考大家呢?如果想，请把问题写下来。 17 分析案例中教学过程的特点；18 根据案例内容，结合你的教学经历，说明创造性地使用数学教科书的原则。六、教学设计题18 “一元一次方程 ”是学生通过小学学过的算式到方程概念的引入的关键性知识点，请就初中“一元一次方程 ”内容回答下列问题。19 该课程需要达到怎样的教学目标。20 本课程的教学重点和难点。21 设计一段教学过程。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力
6、）模拟试卷 36答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 用洛必达法则即可求得。2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 故 A*= A A 一 1，(A *)*= AA 一 1( A.A 一 1)一 1=A n.A 一 1. A 一 1.(A 一 1)一 1=A n 一 2.A。3 【正确答案】 C【试题解析】 如图所示， 任取x，x+dx0，R ，相应的小横条所受压力微元 于是，闸门所受压力故选 C。4 【正确答案】 D【试题解析】 ，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。5 【正确答案】 A【试题解析】 由 x=Py，故 f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+
7、y22 一 y32，且所以 f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12+y22 一 y32，故选 A。6 【正确答案】 B【试题解析】 P(A B)=P(A)P(AB)=P(A)一 P(A)P(B)=P(A)一 05P(A)=05P(A)=0 3，所以 P(A)=06，P(BA)=P(B)P(AB)=P(B)一 P(A)P(B)=02。7 【正确答案】 A【试题解析】 阿基米德的数学成就主要是集中探讨面积和体积的计算相关问题；丢番图是第一个对“不定方程”广泛研究的数学家：秦九昭发明了“正负开方术”。8 【正确答案】 A【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)中指出，学习评价的主要目
8、的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。二、简答题9 【正确答案】 平面一的法向量(2，一 4，1)，平面二的法向量(1，3，5)，由所以直线 L 的方向向量 l=(一 23，一 9，10)。 设所求平面的法向量为 n=(x，y，z)，z 轴的方向向量为 m=(0，0，1)，根据题意有ln=0， mn=0，有一 23x 一 9y+10z=0，z=0，所以 n=(9，一 23，0)，且平面过点即所求平面方程为 9x 一 23y 一5=0。10 【正确答案】 11 【正确答案】 12 【正确答案】 X，Y 的可能取值均为 0，1，2，且所以，二维随机变量(X，Y) 的
9、概率分布为13 【正确答案】 “ 图形与几何 ”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。14 【正确答案】 创造性思维具有如下五个重要特点：新颖、独特且有意义的思维活动；思维加想象是创造性思维的两个重要成分；在创造性思维过程中，新形象和新假设的产生有突然性，常被称为“ 灵感”；分析思维和直觉思维的统一；创造性思维是发散思维与辐合思维的统一。在数学教学中培养创造性思维：(1)培养归纳、类比能力，鼓励大胆猜想；(2)一题多解，培养发散思维能力； (3)鼓励质疑提问，培养思维的批判性；
10、(4)重视直觉思维能力培养；(5)引入数学开放题；(6) 指导学生写数学小论文；(7)多一点耐心和宽容。三、解答题15 【正确答案】 考察矩阵 B B 的特征值为 0，3。对于特征值 0，解方程组 可得两个线性无关的特征向量(一 2，1，0)T， (一 2，0， 1)T；对于特征值 3，显然有一个线性无关的特征向量，由此可见 B与对角阵 相似。而矩阵 A 是对称矩阵，且由于四、论述题16 【正确答案】 数学科学本身的内涵，即数学的知识、方法和意义等，如一元二次方程的有关概念、基本解法以及其他相关知识之间的联系，一元二次方程模型的应用等等。学生对于数学科学本身内涵的认识必将会影响数学课程。作为教
11、育任务的数学学科的内涵。如学习一元二次方程内容对学生发展的主要价值，学生在学习一元二次方程中可能存在的主要困难。这些从教育的角度对数学所形成的价值认识，也将影响数学课程。五、案例分析题17 【正确答案】 “ 工程问题 ”虽然在小学就涉及到了，但仍然是七年级学生难以掌握的问题。这个教学片段以“工程问题” 中的基本例题为 “根基”，教师有目的、有意识地筛选出学生们自己提出的问题进行解决：从“两人合作” 到“一人先做再合作”到“先合作再一人单做 ”再到 “报酬的合理分配”。这四个问题，采用 “给出情境，让学生参与”的教学方法，对教科书中的例题进行了合理的变形、转化、拓展与综合，深入挖掘其中潜在的数学
12、思想方法，并揭示其丰富内涵。不但有利于学生掌握基础知识、激发学生的学习兴趣、发挥学生的想象力和创造精神，而且对培养学生的应变能力、开拓思维，提高学生对数学建模思想的认识等都是很有益的。这种训练，也符合目前中考命题“ 源于教科书、高于教科书 ”的原则，与素质教育要求的 “培养学生的创新能力” 相吻合。18 【正确答案】 摒弃陈旧的教材使用观。童话大王郑渊洁说：“ 用一模一样的教材去教育不一样的孩子。简直是童话。”教科书是教学活动的最主要材料。在新一轮课改环境下，虽然教科书越来越科学化，但是，有的教师往往只是照本宣科，教学活动缺乏创造性，并不能最大限度地发挥教科书的作用。作为教师，一定要转变旧的教
13、材使用观，结合学生的实际情况，把教科书作为传授知识锻炼能力的依托，变完全依赖教科书为创造性地使用教科书，为学生积极主动地探求知识创设良好的教学情境。紧扣课程标准。教师要深入研究课程标准，然后结合教学实际，适当对教科书进行取舍整合。教科书是课堂教学的依托，是在国家课程标准指导下经教育专家编写的具有很强科学性的教学载体，不要轻易否定。教师创造性地使用教科书，务必要以课程标准为出发点和立足点，加强对教科书的深入钻研和正确把握，熟谙教学目标，明确重难点，理清知识脉络，力争做到有的放矢，真正实现教科书的创新，为学生服务。抓住学生这个主体。一切教学活动必须落实到学生这一主体。教师要创造性地使用教科书，必须
14、根据学生的实际而定，教师只是整个教学工作的“导演” ，由于每个教师有每个教师的特长，所以，不同的教师会从不同的角度挖掘教科书的内涵，创造性地使用教科书。有的教师善于使用现代教学手段，教学效果好；有的教师擅长用艺术来组织教学。效果也不错。如教学“直线与圆的位置关系” 时运用一首古诗“大漠孤烟直，长河落日圆” 来引课，让学生进行形象思维。通过这种意境抽象出数学模型，初步形成直线与圆的三种位置关系，这是对教科书的拓展，效果很不错。根据具体教学情境活用课程资源。在具体的教学情境中，教师要根据出现的预想之外的许多问题灵活处理教科书，引导学生向教科书的意图靠近，为学生创造良好的学习情境。同时，依据教学环境
15、确定教科书的内容取舍是必要的。课程资源非常广泛，如报刊、电视及日常生活都可以成为课程资源，创造性地使用教科书就必须灵活运用课程资源，从而拓宽学生学习的空间，实现开放的教学模式。六、教学设计题19 【正确答案】 知识与技能：了解一元一次方程等有关概念，体会由算式到方程是数学的一大进步。过程与方法：经历列方程表示实际问题的相等关系的过程，体会数学化的思想方法。通过画示意图、列表格等方法，分析实际问题的数量关系，会用方程表示简单实际问题的相等关系。情感、态度与价值观：结合具体的问题情境，激发学生学习数学的兴趣。结合数学史的知识，激发学生的民族自豪感。20 【正确答案】 教学重点：结合问题情境抽象一元一次方程概念。教学难点：实际问题的数学化过程。21 【正确答案】 教学过程
