1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 42及答案与解析一、单项选择题1 计算极限： ( )。（A）0（B） 1（C） e（D）e 22 设常数 0， 0，则级数 的收敛性( )。（A）既与 又与 的取值有关（B）仅与 的取值有关（C）仅与 的取值有关（D）与 和 的取值都无关3 曲线 x=t， y=t2，z=t 3 在点(1，1，1) 处的法平面方程是( )。（A）（B） x+2y+3z 一 6=0（C）（D）x+y+z 一 3=04 设 其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是( )。（A）2（B） 2（C） 2（D）25 已知矩阵 则下列选项中不是矩阵 A 的特征
2、值的是( )。（A）一 1（B） 0（C） 3（D）96 事件 A、B 相互独立，且 P(AB)=08，P(A)=04，则 等于( )。7 义务教育数学课程标准(2011 年版)要求评价结果的呈现采用定性和定量相结合的方式，第一学段的评价是指以( )评价为主。（A）描述性（B）等级（C）百分制（D）描述性和等级相结合8 下列说法中不正确的是( )。（A）教学活动是教师单方面的活动，教师是学习的领导者（B）评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程（C）为了适应时代发展对人才培养的需要，新课程标准指出：义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的应用意识和创新意识（D）总体目标是义务教育阶段数
3、学课程的终极目标，而学段目标则是总体目标的细化和学段化二、简答题9 在空间直角坐标系中，求直线 夹角的余弦值。10 求齐次线性方程组 的通解及基础解系。10 某一汽车前进途中要经过 3 个红绿灯路口。已知汽车在第一个路口，遇到红灯和遇到绿灯的概率都是 ；从第二个路口起，若前次遇到红灯，则下一次遇到红灯的概率是 ，遇到绿灯的概率是。求：11 汽车在第二个路口遇到红灯的概率是多少?12 在第三个路口中，汽车遇到一次红灯，两次绿灯的概率是多少?13 义务教育数学课程标准(2011 年版)在各个学段中安排了 4 个部分的课程内容：“数与代数 ”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践 ”，其中“综合
4、与实践” 内容设置的目的在于什么?14 数学教学是师生交往互动、共同发展的过程，是教师引导学生开展积极的数学活动的过程。树立正确的数学教学观，掌握合理的数学教学策略，是进行中小学数学教育改革、完成数学教学的根本保障。请简述现代数学教学观。三、解答题14 1=(1，0，0，0)， 2=(0，1，0，0)， 3=(0，0，1，0)， 4=(0，0，0，1)；1=(2， 1，一 1，1) ， 2=(0，3，1，0) ， 3=(5，3， 2，1)， 4=(6，6，1，3)。15 试求由前一组基到后一组基的过渡矩阵：16 求向量(x 1，x 2，x 3，x 4)在后一基下的坐标；17 求在两个基下有相同
5、坐标的向量。四、论述题18 函数知识一直是中学代数内容的主线。是研究代数、三角函数、数列、方程和不等式等初等数学内容的基础，函数思想又是数学解题中的重要思想，这就决定了函数在中学数学中的重要地位。请说明初中函数内容教学的要求，并结合自己的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么?并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。五、案例分析题19 两位学生分别在实数范围内解方程 x2+3x 一 4=0 和 x4+3x2 一 4=0。 第一位学生的解法如下： x 2+3x 一 4=0 (x 一 1)(x+4)=0 x 一 1=0 或 x+4=0 x1=1，x 2=一 4 第二位学
6、生的解法如下： x 4+3x2 一 4=0 令 x2=y，原方程变成 y2+3y 一 4=0 (y 一 1)(y+4)=0 y1=1 y2=一 4(舍去) 由 x2=1 得 x=1 根据以上材料，回答下列问题： (1)这两位学生在解方程时分别运用了什么数学方法? (2) 这些方法体现了数学思想是什么? 请对该数学思想进行简要的描述。 (3)如果用某种型号的代数计算器解以上两个方程，学生只需输入 x2+3x 一 4=0 和 x4+3x2 一 4=0，在功能菜单中选择 “解方程”然后按回车键，屏幕上就会出现方程的解。 请问，如果从渗透数学思想方法的角度看，应如何在教学中让学生合理使用计算器?六、教
7、学设计题19 在“一元二次方程根与系数的关系” 一课上，某教师设计如下的教学过程：一、探究规律先填空，再找规律：思考：观察表中 x1+x2 与 x1x2 的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系?从中你能发现什么规律? 二、得出定理并证明 (韦达定理) 若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根为 x1、x 2，则20 请为此教学片段设计一个导入过程，并写出设计意图。21 分析该教师设计这两个环节的意图。22 请为此教学片段设计课堂练习并写出理由。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 42答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2
8、【正确答案】 C【试题解析】 根据正项级数的比式判别法知，当01 时，级数 的敛散性仅与 的取值有关。3 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 在点(1，1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1 ，l ，1) 处的法平面方程为 1.(x 一 1)+2.(y 一 1)+3(z 一 1)=0，化简得x+2y+3z 一 6=0。4 【正确答案】 A【试题解析】 A 是参变量，x 是函数f(x)的自变量要使该式成立，必须 即1。当 x(一，0)(0，+)时， 要使在 f(x)在 x=0 处连续，由函数连续的定义应有 由该式得出 2。所以f(x)在 x=0 处连
9、续的充要条件是 2。5 【正确答案】 C【试题解析】 故矩阵的特征值为一 1，0，9。6 【正确答案】 B【试题解析】 事件 A、B 相互独立，则 P(A8)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(A)+P(B)一P(A)P(B)，所以7 【正确答案】 A【试题解析】 义务教育数学课程标准(2011 年版)规定在评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描述性评价为主，第二学段采用描述性评价和等级评价相结合的方式，第三学段可以采用描述性评价和等级(或百分制)评价相结合的方式。8 【正确答案】 A【试题解析】 新课程标准明确指出，数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发
10、展的过程，有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者，认为教学活动是教师单方面的活动是完全错误的，故选 A。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 对齐次线性方程组的系数矩阵进行初等行变换取x4=3 得 =(4，一 9，4，3) T 为原方程组的基础解系，故通解为 x=k，kR。11 【正确答案】 第二个路口遇到红灯12 【正确答案】 三个路口中有一次遇到红灯两次遇到绿灯的概率 p2=P(红绿绿)+P(绿红绿)+P(绿绿红)=13 【正确答案】 (1)培养学生综合运用有关知识与方法解决买际问题；(2)培养学生的问题意识、应用意识和创新意识
11、；(3)积累学生的活动经验；(4)提高学生解决实际问题的能力。14 【正确答案】 现代意义下的数学教学观主要体现在以下几个方面：(1)数学教学的交往、互动性。(2)数学教学的过程性。让学生经历一个数学化的过程；让学生进行动手操作。在使用操作学习数学时，应注意如下三点：第一，要留给学生足够的思维空间。第二。操作活动要适量、适度。第三，要注意逐渐从具体操作向形式操作过渡。数学活动是学生自己建构数学知识的活动，数学教学是“ 生成”数学内容的过程；让学生在具体活动中体验数学知识技能和思想方法。让学生在现实的情境中和已有知识的基础上体验数学知识，获得数学发展。(3)数学教学中的师生共同发展。教学促进了学
12、生的发展；教学促进了教师本身的专业成长。三、解答题15 【正确答案】 由于 1=21+2 一3+4， 2=32+3， 3=51+32+23+4， 4=61+62+3+34，即( 1， 2， 3， 4)=(1， 2， 3， 4)A16 【正确答案】 设向量(x 1，x 2，x 3，x 4)在后一基下的坐标为(k 1，k 2，k 3，k 4)，则由坐标变换公式有17 【正确答案】 得 xi=0，i=1，2，3，4。即在两个基下有相同坐标的向量只有零向量。四、论述题18 【正确答案】 初中函数的要求：能探索具体问题中的数量关系和变化规律；了解常量、变量的意义，了解函数概念和表示方法； 能结合图象分析
13、，能用适当函数表示刻画某些实际问题中变量之间的关系；对具体的一次函数、二次函数、反比例函数体会意义，画出图象，确定解析式、能利用函数解决一些实际问题。利用函数思想解决问题时要注意的问题是：函数知识的横向、纵向联系； 把函数、方程、不等式看成一个整体；将函数性质、特征与图象紧密结合； 二次函数的综合运用；实际问题通过建立函数模型解决等。五、案例分析题19 【正确答案】 (1)第一名学生利用了分解因式中的十字相乘法；第二名学生除了十字相乘法外，还利用了换元法。(2)这些方法体现了转化与化归的思想。转化与化归的思想是将一个问题由难变易，由繁化简，由复杂化简学的过程。(3)当学生掌握了利用转化与化归思
14、想解一般方程后，列举出一些不能用分解因式法来解决的方程在学生比较迷茫时，向学生介绍计算器解方程，并让学生观察方程解的特点；与学生一起讨论区分需要用计算器来求解的方程的特点。最后，让学生体会利用数学思想和计算器解方程这两种方法的优缺点从而能够合理使用计算器。六、教学设计题20 【正确答案】 导入过程： 我们知道生活中许多事物存在着一定的规律。有人发现并验证后就得到伟大的定理，比如： 抛出的重物总会落下(万有引力定律牛顿) 电路巾的电流、电压、电阻存存一定关系：U=IR(欧姆定律欧姆) 而我们数学学科中更蕴藏着大量的规律，比如： 直角三角形的三边 a，b，c 满足关系：a2+b2=c2(勾股定理毕
15、达哥拉斯 ) 那么一元二次方程中是否也存在什么规律呢? 今天共同去探究，感受一次当科学家的味道。 设计意图：让学生感受到数学和其他学科一样，里边有很多有价值的规律，等待我们去探索，激发学生的学习兴趣，探究欲望。21 【正确答案】 探究规律环节的设计意图：通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思想方法。得出定理并证明环节的设计意图：让学生自己发现规律，找到成功感，再从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。22 【正确答案】 例 1求下列方程的两根之和与两根之积。 x 26x 一 15=0 5x1=4x2 x2=4
16、2x2=3x x2 一(k+1)x+2k 一 1=0(x 是未知数，k 是常数) 设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根之和与两根之积，比较简便，的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。 例 2若一元二次方程 x2一 4x+2=0 的两根是 x1、x 2，求下列各式的值： (1) (2)x12+x22 设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入” 思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。 若一元二次方程 x2+ax+2=0 的两根满足：x 12+x22=12，求 a 的值。 设计意图：它是例 2 的一个变式，目的是考察学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于 2 等。
