1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 45及答案与解析一、单项选择题1 直线 l： 与平面 xy+2z+1=0 的夹角 是( )。2 若级数 an(x2)n 在 x=1 处收敛，则此级数在 x=4 处( )。（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）不确定是否收敛3 设 4 阶矩阵 A 与 B 仅有第 3 行不同，且|A|=1， |B|=2，则|A+B|=( )。（A）3（B） 6（C） 12（D）244 设曲线 则该曲线的渐近线的条数为( )。（A）3（B） 2（C） 1（D）05 若线性方程组 有唯一解，则( )。（A）=1（B） 1（C） =2（D）26 设两个互
2、相独立的随机变量 X 和 Y 的方差分别为 2 和 4，则随机变量 2X3Y的方差是( ) 。（A）28（B） 8（C） 8（D）447 我国古代关于求解一次同余式组的方法被西方称作“中国剩余定理” ，这一方法的首创者是( ) 。（A）贾宪（B）刘徽（C）朱世杰（D）秦九韶8 选取与所授内容有关的生活实例或某种经历，通过对其分析、引申、演绎归纳出从特殊到一般、从具体到抽象的规律来导入新课的方法是( )。（A）直接导入法（B）复习导入法（C）悬念导入法（D）实例导入法二、简答题9 求曲面 x2+2y2+3z2=21 的切平面，使它平行于平面 x+4y+6z=0。10 求出齐次线性方程组的一个基础
3、解系并用它表示出全部解。11 袋中有 1 个红色球、2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(1)求 PX=1|Z=0；(2)求二维随机变量(X，Y)的概率分布。12 简述高中数学课程的地位和作用。13 简述当前中学数学教学评价的基本理念。三、解答题14 讨论函数 的连续性。四、论述题15 结合实例说明中学生是怎样学习数学概念，数学命题的。五、案例分析题15 案例：某教师的例题解题课如下：环节一：教师给出例题，已知椭圆 C 的左焦点 F(l，O)，且点在椭圆 C 上，求椭圆 P（1， ）C 的标准方程，接
4、着老师请学生做大约 30 秒，教师站在讲台上观察。环节二：教师请学生甲站起来说解题过程，同时板书学生甲的过程，并及时矫正如图一。环节三：教师请学生乙站起来说解题过程，同时板书学生乙的过程，并及时矫正如图二。解：设椭圆方程为又c=1 a 2b2=1，解得 a=2，b 2=3椭圆标准方程为图一解：2a=PF 1+PF2= a=2，c=1 b2=3椭圆方程为 图二环节四：教师结合板书总结出关于椭圆方程两种方法：待定系数法、定义法，并板书在黑板上。环节五：学生做课堂练习，求与椭圆方程4x2+9y2=36 有相同焦点，且过（一 3，2）的椭圆标准方程。随堂观察学生的课堂练习情况发现一种现象：学生求解例题
5、用哪种方法，课堂练习依然使用同种方法，说明案例中的教学并没有促进学生对解题方法进行优化。问题：16 说明案例中这位教师在教学过程中哪些做法符合教学规律？17 你认为这位老师还可以做哪些改进？18 本节内容蕴含了哪些数学思想方法？六、教学设计题18 在弧度制的教学中，教材在介绍了弧度制的概念时，直接给出“1 弧度的角” 的定义，然而学生难以接受，常常不解地问：“怎么想到要把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角？”如果老师照本宣科，学生便更加感到乏味：“ 弧度，弧度，越学越糊涂。”“弧度制 ”这类学生在生活与社会实践中从未碰到过的概念，直接给出它的定义，学生会很难理解。问题：19 谈谈“
6、弧度制 ”在高中数学课程中的作用；20 确定“弧度制 ”的教学目标和教学重难点；21 根据教材，设计一个“弧度制概念” 引入的教学片段，引导学生经历从实际背景抽象概念的过程。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 45答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 直线 l 的方向向量k=(2，4，2)，平面的法向量n=（ 1，1，2），记直线 l 与平面夹角为 ，则 sin=cosmn =，所以2 【正确答案】 A【试题解析】 由级数在 x=1 处收敛知，该级数的收敛半径 r1121=3。又|42|3，所以 x=4 在级数的收敛区间内，因此级数 n(x2)n 在
7、 x=4 处绝对收敛。3 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意，设 所以C=A+B= 行列式|A|和|B|第 3 行元素所对应的代数余子式对应相等，记为 A3j，j=1，2，3，4。则|C|的第 3 行元素所对应的代数余子式为 8A3j，j=1，2，3，4。于是有|C|=|A+B|=8A 31(a31+b31)+8A32(a32+b32)+8A33(a33+b33)+8A34(a34+b34)=8(a33A31+a32A32+a33A33+a34A34+b33A31+b32b32+b33A33+b34A34)=8(|A|+|B|)=83=24。4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 =1，所
8、以 y=1 是曲线的水平渐近线。又=+，所以 x=1 是曲线的垂直渐近线。经计算，曲线没有斜渐近线。所以，曲线 共有 2 条渐近线。相关知识点：渐近线的分类及求法。曲线的渐近线可分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。水平渐近线。若=b（其中 b 是常数），则称 y=b 是 y=f(x)的水平渐近线。其求法就是计算上述极限。垂直渐近线。 中至少有一个是无穷大，则称 x=c 为 y=f(x)的垂直渐近线。其求法是：第一步，若 f(x)是初等函数，先求出函数无意义的点（附近或单侧附近有意义）；若 f(x)为分段函数，除求出每段中无意义的点（附近或单侧附近有意义）外，还要考虑分段函数分分段点；第二步，
9、对上述求出的点 c，计算 c 点的两个单侧极限（若只有单侧有意义，则算单侧极限），再依据定义判断。斜渐近线。 存在且不为零，又 f(x)kx=b 也存在（或 =k 存在且不为零，又 f(x)一 kx=b 也存在），则称直线 y=kx+b是 y=f(x)的斜渐近线。5 【正确答案】 B【试题解析】 线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵的行列式不等于 0，即=10所以 1。6 【正确答案】 D【试题解析】 D(2X3Y)=D(2X)+D(3Y)=4D(X)+9D(Y)=44。7 【正确答案】 D【试题解析】 秦九韶(12081261)，著有数书九章。数书九章是一部划时代的巨著，它完整保存了中国算
10、筹式记数法及其演算式，论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根。数书九章还对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等进行了十分深入的研究。8 【正确答案】 C【试题解析】 题于所描述的是实例导入法。二、简答题9 【正确答案】 设曲面上过点(x 0，y 0，z 0)的切平面和平面 x+4y+6z=0 平行。义曲面上过点(x 0，y 0，z 0)的切平面为 2x 0(xx0)+4y0(yy0)+6z0(zz0)=0， 故2x0/1=4y0/4=6z0/6，所以 2x0=y0z0，代入曲面方程得， x 02+8x02+12x02=21， 所以x0=1，
11、可见在点 (1，2，2) 和点（1，2，2）处的切平面与所在平面平行。 在点(1 ，2，2)处切平面为 x+4y+6z=21，在点（一 1，2，2）处切平面为x+4y+6z=21。10 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等变换，有所以 r(A)=35，方程组的基础解系含有 2 个线性无关的解向量，且原方程的同解方程组为 令 x3=1，x 5=0，得 1=(1，一 1，1，2，0) T;令x3=0， x5=1，得 2= 则 1， 2 为原方程组的一个基础解系，且该齐次线性方程组的全部解为 =k11+k22。其中 k1，k 2 为任意实数。11 【正确答案】 (1)在没有取白球的情况下取了一次红
12、球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球、2 个黑球放回摸了两次，其中摸了 1 个红球12 【正确答案】 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学习的基础。同时，它为学生的终身发展，形成科学的世界观、价值观奠定基础，对提
13、高全民族素质具有重要意义。13 【正确答案】 数学教学评价的最终目的在于提高数学教学质量，促进学生的全面健康持续发展。因而，进行数学教学评价，要正确地认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到充分的发展；要关注学生的学习过程，不仅要关注学生观察、分析、自学、表达、操作、与人合作等一般能力的发展，以及运算、空间观念、统计、解决问题等数学能力的发展，更要关注学生在情感、态度与价值观等方面的健康和谐的发展；不仅要关注教学的结果，更要关注教学的过程。评价目标的多元性。评价内容的多维性。评价手段、方式方法的多样性。评价主体的多元性。评价结果处理的科学化。总之，在新理念下，中学数学教学评价
14、的核心目标在于建立合理、科学的评价体系，促进学生的全面发展，加速教师的专业成长。三、解答题14 【正确答案】 因为 从而 f(x，y)=0=f(0，0）。所以函数 f(x，y)在点(0，0)连续。又在 y0 的点(x，y) 处，由于 f(x，y)是初等函数且在这些点处有定义，故 f(x，y)连续。因此，f （x，y）在 D=(x，y)|y0) (0，0)上连续。又函数在任一点(x 0，O)(0，0) 处，由于 f(x0，0)=0，但 f(x，y)0，从而 f 在(x 0， 0)间断。故 f 仅在 D=（x，y）|y0） (0，0)上连续。四、论述题15 【正确答案】 数学概念的学习可分为两种基
15、本形式：概念的形成，概念的同化。(1)概念的形成是通过对概念所反映的事物的不同例子中，学生积极主动地去发现其本质属性，从而形成新概念。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤： 第一，分别作出函数 y=2x，y= 2x 和 y=x2+1 的图像，并且观察函数变化规律。 第二，描述完前两个图像后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。 第三，二次函数的增减性要分段说明提出问题：二次函数是增函数还是减函数？ 第四，能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？ 第五，(以 y=x2+1 在(0，+) 上单调性为例）如何用精确的数学语言来描述函数的单调性。 第六，提问学生什么是“ 随着” ？如
16、何刻画 “增大”？对“任取” 的理解，进而得到增（减）函数的定义。 在以上几步的基础上，通过初步认识单调性再拓展探究从而抽象概括出准确定义，深入地认识单调性。 (2)概念的同化是以定义的形式给出，由学生主动地与自己认识结构中原有的有关概念相互联系，相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。 如，学习等比数列的概念：“如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示(q0)，等比数列 a10”。这时学生要主动积极地与自己认知结构中原有的概念（如等差数列的概念）区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中；最后通过例
17、题的学习与练习、习题的解答，加深对梯形本质属性的认识，使它在认知结构中得到巩固。五、案例分析题16 【正确答案】 课程的内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果形成的过程和蕴含的数学思想方法，老师让学生独立思考处理好了直接经验与间接经验的关系，在教学活动中师生积极参与、交往互助、共同发展，在教学活动中学生独立思考，激发了学生学习的兴趣，鼓励学生的创造性思维，学生可以培养良好的学习习惯，掌握恰当的学习方法，而教师在学生给出结果后给予矫正，学生获得正确的知识，掌握一题多解的方法。17 【正确答案】 教师在此次教学过程中没有让学生自己总结得出结论，没有起到学生为主体，教师是学习的合作者、组织者和引导者
18、的作用，教师板书总结就缺乏了学生积极参与，而在学习数学的过程中老师并没有给学生足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师应该注重启发式教学和因材施教，教师应当处理好教师教与学生自主学习的关系。引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。18 【正确答案】 数形结合思想、转化化归思想。六、教学设计题19 【正确答案】 关于弧度制的教材分析：选自普通高中课程标准实验教科书 A 版必修 4 第一章第 1 节第 3 课时。一方面初中已经学过角的度量单位“度” ，并且上节课学习了任意角的概念，因此本节课是在学习
19、任意角的基础上的再次延伸，为后面学习任意角的三角函数做准备，有承上启下的作用；另一方面角度制是 60 进制，与实数间的运算不同，在解决很多问题时带来不便，所以学习弧度制是很有必要的。通过本节的学习，掌握另一种度量角的单位制弧度制，理解并认识到角度制和弧度制都是对角度量的方法，角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立一一对应关系，为下一节学习三角函数做好准备。20 【正确答案】 知识与技能：理解并掌握弧度制的定义；掌握角度中度与弧度的互化；理解角的集合与实数之间建立的一一对应关系；掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式。过程与方法：创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理
20、解并掌握弧度制的定义。根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形公式，以具体的实例学习角度制与弧度制的互化。情感态度与价值观：激发对数学强烈的求知欲，养成积极主动地学习和思考并参与数学学习活动的好习惯。教学重点：掌握角度中度与弧度的互化。教学难点：掌握弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式的应用。21 【正确答案】 在课堂教学中，可采用如下设计的教学过程。一、创设故事情境一个生病的小男孩得知自己的体温是“102” 时，十分忧伤地独自一个人躺在床上 “等死”。而他的爸爸对此却一无所知，他以为儿子是想休息，所以才没有陪伴他，等他从外面打猎回来，发现儿子不见好转时，才发现儿子没有吃药。一问才知道，他儿子在
21、学校里听同学说一个人的体温是“44” 度时就不能活。当爸爸告诉他就像英里和千米一样，有两种不同的体温测量标准，一种 37 度是正常，而另一种 98 度是正常时，他才一下子放松下来，委屈的泪水哗哗地流下来。在生活、生产和科学研究中，一个量可以有几种不同的计量单位（老师可以让学生说出如长度、面积、质量等一些量的不同计量单位），并指出对于“角” 仅用 “度”做单位就很不方便。因此，我们要学习角的另一种计量单位弧度。如此引入，很自然引出或鼓励学生猜测“角”还有没有其他度量方式，从而开启思维的闸门。二、探索角新的度量方法可从两种度量实质上的一致之处开始探索：拿两个量角器拼成一个圆，可以看出圆周被分成 3
22、60 份，其中每一份所对的圆心角的度数就是 1 度，然后提出问题“拿” 圆上不同的圆弧，度量圆周时，得到的数值是否一样？为了探索这个问题，把学生分成若干小组，思考下列问题：1 度的角是如何规定的？用一个圆心角所对的弧长来度量一个圆心角的大小是否可行？同一个圆心角在半径不等的圆中所对孤长相等吗？用一个圆的半径来度量该圆一个圆心角的大小是否可行？其值会不会由于圆半径的变化而变化？如何定义圆心角的大小？说明这种度量的好处。要求学生分组讨论以上问题，写出结果，在班内交流结果，师生共同确定答案。这样处理可将弧度概念与度量有机结合起来，有效化解难点，在探索中又注重课堂交流能力的培养，使学生在不断的交流中逐渐明晰自己的思路。
