1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 4及答案与解析一、单项选择题1 若 ，则 sin2=( )。 2 观察下列各式：a+b=1，a 2+b2=3，a 3+b3=4，a 4+b4=7，a 5+b5=11，则 a10+b10=( )。（A）28（B） 76（C） 123（D）1993 在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则( )。（A）2（B） 4（C） 5（D）104 设 a，b 是两个非零向量，则下面说法正确的是( )。（A）若a+a= a-b，则 ab（B）若 ab，则a+b=a- b（C）若 a+b=a-b，则存在实
2、数 ，使得 a=b（D）若存在实数 ，使得 a=b，则a+b= a-b5 有矩阵 A32，B 23，C 33，下列运算正确的是( )。（A）AC（B） ABC（C） AB-BC（D）AC+BC6 设函数 f(x)在 x0 处可导，则 =( )。（A）-f(x 0)（B） f(-x0)（C） f(x0)（D）2f(x 0)7 若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 可导且 f(a)=f(b)，则( )。（A）至少存在一点 (a，b) ，使得 f()=0（B）一定不存在一点 (a，b)，使得 f()=0（C）恰存在一点 (a，b)，使得 f()=0（D）对任意的 (a，b)，不一定能使 f()=
3、08 数学建模属于( ) 试题类型。（A）客观性（B）探究性（C）开放性（D）应用性二、简答题9 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，然后由乙回答剩余 3 道题，每人答对其中 2 道题就停止作答，即闯关成功，已知在 6 道备选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都是 (1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率； (2)设甲答对题目的个数为 ，求 的分布列及数学期望。10 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0) ，方程 f(x)-x=0 的两个根 x1，x 2 满足0x 1x 2 (1)当 x(0，x 1)时，
4、证明 xf(x)x 1； (2)设函数 f(x)的图象关于直线 x=x0 对称，证明11 已知等差数列a n满足： a3=7，a 5+a7=26。a n的前 n 项和为 Sn。 (1)求 an 及Sn； (2)令 (nN*)，求数列b n的前 n 项和 Tn。12 强调数据处理能力是高中数学课程的一个变化，有人说统计的概念不难掌握，请谈谈在教学中应如何看待统计概念的定义。13 在高中数学课程中为什么要讲微积分初步?三、解答题14 ，(1)求 An；(2) 求(A+2E) n。四、论述题15 根据新课程标准的要求，论述如何选择合适的素材帮助学生掌握集合的性质与运算。五、案例分析题16 案例： 阅
5、读下列两位教师有关“数列前 n 项和” 的教学片段。 教师甲的教学过程：等差数列前 n 项和 问题 1：世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层，你知道这个图案一共画了多少宝石吗? 图案中，第 1 层到第 51 层一共有多少颗宝石? 组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现。 生 1：原式：(1+2+3+50)+51 生 2：原式 =0+1+2+50+51 生 3：原式=(1+2+25+27+51)+26 问题 2：求图案中从第 1 层到第 n 层(1n100，n N*)共有多少颗宝石? 学生通过激烈
6、的讨论后，发现 n 为奇数时不能配对，可能需要分n 为奇数、偶数的情况分别求解，教师引导学生，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形如图。 通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法： 问题 3：在公差为 d 的等差数列a n中，定义前 n 项和 Sn=a1+a2+an，如何求 Sn? 由前面的大量铺垫，学生容易得出如下过程： S n=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d 组织学生讨论： 在公式 l 中若将 an=a1+(n-1)d代入又可得出哪个表达式? 即： 教师乙的教学过程：等比数列前 n
7、 项和 师：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢? 同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? (教师引导学生写出麦粒总数 1+2+22+23+263。) 师：1+2+2 2+23+263 是什么数列求和?有何特征?应归结为什么数学问题呢? 探讨 1：设 S64=1+2+22+23+263，记(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生
8、会发现，后一项都是前一项的 2 倍。) 探讨 2：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘以 2 则有2S64=2+22+23+263+264，记为(2)式。比较(1)(2)两式，你有什么发现? 生：(1)、(2)两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：S 64=264-1。 师：对，这就是错位相减法。 (其他过程略。) 教师在讲解过求和公式后，再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列a n，首项为 a1，公比为 q，如何求前 n 项和 Sn?让学生自主完成，并喊一名学生上黑板，然后对个别学生进行指导。 学生推导完成后，师问：由(1-q)S n=a1a1q
9、n 得 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1? q=1 时是什么数列?此时 Sn=? 师追问：结合等比数列的通项公式 an=a1qn-1，如何把 Sn 用 a1、a n、q 表示出来?(引导学生得出公式的另一形式) 师：探究等比数列前 n 项和公式，还有其他方法吗?我们知道， Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1qn-2) 那么我们能否利用这个关系求出Sn 呢?根据等比数列的定义又有 ，能否联想到等比定理从而求出 Sn 呢? 问题： (1)分析甲乙两位教师的教学过程。 (2)通过上述知识的学习过程，说明在此教学过程中培养了学生的哪
10、些能力。六、教学设计题17 高中“对数的概念 ”设定的教学目标如下：理解对数的概念，了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。完成下列任务：(1)根据教学目标，给出至少三个课堂教学环节，并说明设计意图；(2)确定本节课的教学重难点。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能
11、力）模拟试卷 4答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查三角恒等变形以及转化与化归的数学思想，因为，所以2 【正确答案】 C【试题解析】 本题考查归纳推理的思想方法。观察各等式的右边，它们分别为1,3，4，7，11，发现从第 3 项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右边依次为 1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，故 a10+b10=123。3 【正确答案】 D【试题解析】 本题主要考查两点间的距离公式，以及坐标法这一重要的解题方法和数形结合的数学思想。不失一般性，取特殊的等腰直角三角形，不妨令AC=BC=4，则 ，所以4 【正确答案】 C【试题
12、解析】 利用排除法可得选项 C 是正确的， a+b=a-b，则 a,b 共线，即存在实数 ，使得 a=b。如选项 A：a+b=a -b时，a，b 可为异向的共线向量；选项 B：若 ab，由正方形得 a+b=a-b不成立：选项 D：若存在实数 ，使得a=b，a，b 可为同向的共线向量，此时显然 a+b=a-b不成立。5 【正确答案】 B【试题解析】 两个矩阵相乘要求前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相同。矩阵加减要求矩阵要具有相同的行数和列数。所以矩阵 A 和 C 不能相乘，A 错；AB为 33 维的矩阵，BC 为 23 维的矩阵，二者不能做减法运算，所以 C 错；同理D 也错。选项 B 满足要
13、求，故选 B。6 【正确答案】 A【试题解析】 本题主要考查函数 f(x)在 x0 处可导的定义。 故选 A。7 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查罗尔定理。故选 A。8 【正确答案】 D【试题解析】 应用性试题适合考查学生应用数学的意识和数学建模能力，故选D。二、简答题9 【正确答案】 (1)先求甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1，甲没有成功即甲抽取的 3 道题里只有一道能答对 ，乙没有闯关成功的概率为。这两个事件是相互独立事件，所以甲乙两人都没有闯关成功的概率 ，最后得到甲乙至少有一人闯关成功的概率。 (2) 的可能取值为 1，2。 =1 ，即甲答对一题，说明甲抽到的三道题只有一道能答
14、对 ； =2，即甲答对两题，说明甲抽到的三道题至少有两道能答对 ， 所以分布列是： 。10 【正确答案】 (1)f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c=a(x-x1)(x-x2)0，f(x)-x 1=f(x)-x)+(x-x1)=a(x-x1)(x-x2+ )0。(x(0，x 1) (2) ，所以11 【正确答案】 (1)设等差数列a n的首项为 a1，公差为 d，由 a3=7，a 5+a7=26，则a1+2d=7，2a 1+10d=26，解得： a 1=3，d=2，故 an=2n+1，S n=n(n+2)。 (2)由an=2n+1，a 2n-1=4n(n+1)，故，所以数列b n的前 n
15、项和12 【正确答案】 高中统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习。统计内容的教学不应该单纯地讲授概念的定义。图表的制作，数字特征的计算，机械地套用公式。而应该从提取信息的角度比较各种方法的优劣，了解它们的适用范围，让学生通过对实际问题的解决来理解统计的思想，而不是死背公式和定义。(1)关注三种抽样方法的差别和不同的实用范围；(2)应侧重于了解统计图表能告诉我们何种信息和理解不同统计图表的特点；(3)让学生了解数据的数字特征的作用和意义。13 【正确答案】 (1)微积分的思想是非常重要的思想，它可以帮助我们了解函数的变化，刻画现实世界中的规律。在日常生活中，微积分的基本知识
16、已经成为人们认识某些事物的常识。很多中学生中学毕业之后会直接进入工作岗位，希望学生通过微积分的学习，能用变化和运动的观点来看待数学世界和现实世界，能有一个更加广阔的数学视野。(2)在中学阶段所学到的相关的学科，比如物理、化学、生物、地理等，都有很多反映微积分思想的实例和案例，所以在数学上给出微积分的表述，对于理解这些事例和案例是必要的。(3)直接介绍微积分的难度不大，能为中学生所接受。(4)可以帮助学生了解导数和积分的丰富背景和应用，建立一些具体的、特殊的极限概念，初步形成对极限的感性认识。这些对于进一步学习微积分理论是有帮助的。(5)微积分的产生在人类文明史上有着重要的作用。通过这部分内容的
17、学习可以让学生更好地理解数学在人类进步和发展中不可缺少的作用。三、解答题14 【正确答案】 (1)A 的各行元素是成比例的，故 An=0(n2) (2)由于A2=An=0，故由二项式定理可得 (A+2E) n=(2E)n+C1n(2E)n-1A=2nE+n2n-1A=四、论述题15 【正确答案】 新课程标准就集合的学习指出：“集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过列举丰富的实例，使学生理解集合的含义。” 这就告诉我们，学习集合时重在集合的含义，包括集合之间的关系的含义与表达，集合的运算是什么。在本单元的教学过程中，教师应以学生已有的数学知识为基础，引导学生对
18、以往所学的数学内容用集合的形式来回顾、梳理，例如用集合表述自然数、整数、方程的解或不等式的解等。以这些知识为背景获得学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，同时与自然语言、图形语言进行转换和比较，使学生体会自然语言、图形语言、集合语言各自的特点，进而感受用集合表示数学内容的简洁性和准确性。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)甲教师本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊(自然数的前51 项和)到一般( 自然数的前几项和)，再到一类( 等差数列前几项和)，循序渐进。乙教师在本节课开始，设置了“棋盘上的数学” 一例，让学生
19、感受数学文化的熏陶，引起学生的兴趣，挑起学生探索新知识的欲望，进而提出了等比数列求和的问题。本节课例子设计精巧，使学生既巩固了知识，又形成了技能；通过例题讲解，进一步渗透分类讨论的思想，培养了分类讨论的思想和思维的缜密性。(2)对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握了数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。六、教学设计题17 【正确答
20、案】 环节 1： 设置引入问题(3 分钟)：一尺之棰，日取其半，万世不竭。(1)取 5 次，还有多长 ? (2)取多少次，还有 0125 尺? (设计意图：让学生根据题意，设未知数，列出方程。这两个例子都出现指数是未知数 x 的情况，让学生思考如何表示 x，激发其对对数的兴趣，培养学生的探究意识。生活及科研中还有很多这样的例子，因此引入对数是必要的。) 环节 2：强调两个重要对数(2 分钟) 常用对数： 以 10 为底的对数 log10N，简记为：lgN 自然对数： 以无理数e=271828为底的对数的对数 logeN 简记为：lnN(在科学技术中，常常使用以 e为底的对数) ( 设计意图：这
21、两个重要对数一定要掌握，为以后的解题以及换底公式做准备。) 环节三：对数的性质的认识(12 分钟) 探究活动 1 求下列各式的值： 1og31=( ) lg1( ) loga0.51=( ) ln1=( ) 思考：你发现了什么? 探究活动 2 求下列各式的值： log 33=( ) lglO=( ) log0.505=( ) lne=( ) 思考：你发现了什么? 探究活动 3 求下列各式的值： 2log23=( ) 7log70.6=( ) 04 log0.489=( ) 思考：你发现了什么? (设计意图：探究活动由学生独立完成后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论。通过练习与讨论的方式，让学生自己得出结论，从而更好地理解和掌握对数的性质。培养学生类比、分析、归纳的能力。最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质。) (2)教学重点与难点 重点：对数的概念；对数式与指数式的相互转化。 难点： 对数概念的理解；对数性质的理解。
