1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 51及答案与解析一、单项选择题1 设 f(x）连续， F(x)= f(t2）dt，则 F（x）等于( )。（A）f(x 4)（B） x2f(x4)（C） 2xf(x4)（D）2xf(x 2)2 设 1， 2， 3 是三维向量，则对任意常数 k，l ，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关是向量组 1， 2， 3 线性无关的( )。（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件3 设直线 平面 为 4x2y+z2=0则( )。（A）l 平行于 （B） l 在 上（C） l 垂直于 （D）l 与 斜交
2、4 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =2，则( )。（A）f(0）=1 且 f(0)=2（B） f(0）=0 且 f(0)=2（C） f(0）=1 且 f+(x)=2（D）f(0）=0 且 f+(0)=25 矩阵 的属于特征根 4 的特征向量是( )。（A）x=(a，a，a)，a R（B） x=(2a，a，3a)，a R（C） x=(a，a，a)，a R（D）x=(2a，3a，a)， aR6 设随机变量 X，Y 不相关，且 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则 E(X(X+Y2)）=( )。（A）3（B） 3（C） 5（D）57 ( )是中国古典数学最重要的著作，分为方田、粟米
3、、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章。（A）九章算术（B） 孙子算经（C） 数书九章（D）代数学8 普通高中数学课程标准（实验）设置了四个选修系列，其中选修系列 2 是为希望在理工、经济等方面发展的学生而设置的，下列内容不属于选修系列 2 的是( )。（A）导数及其应用（B）圆锥曲线与方程（C）统计案例（D）框图二、简答题9 求椭球面 x2+y2+z2/a2+b2+c2，在点 处的切平面和法线。10 把向量 表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合，其中 =(i，2，1，1)，1=(1， 1，1， 1)， 2=(1， 1，一 1，1) ， 3=(1，一 1，1，1)， 4=(1，1
4、，1，1)。10 从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：11 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）。12 由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2。利用正态分布，求P(187822122)；某用户从该企业买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数，利用的结果，求EX。附： 若 ZN（ ， 2），则 P（ Z+）=0682
5、6，P(13 高中数学课程为什么要加入“微积分初步” ？14 书面检测是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“圆与方程” 一章为例，说明设计数学测验时试卷应关注的主要问题。三、解答题15 求幂级数 （|x|1）的和函数 f(x)及其极值。四、论述题16 “巩固与发展相结合 ”是数学教学的基本原则。谈谈“巩固”与“ 发展”的关系，教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。五、案例分析题16 案例：下面是学生小刘在解答一道题目时的解法：已知实数 x 满足的值为( )。A、1 或2B 、1 或 2C、1D 、2答案A。解析 得关于 t 的一元二次方程t2+t2=0，解得 t=2 或 t=1。
6、所以 x+ 的值为2 或 1。问题：17 请指出学生小刘的错误，并分析出现错误的原因；18 写出正确的解析；19 分析本题中运用的数学思想。六、教学设计题19 下面是人教版普通高中数学教科书必修，5 的内容，据此回答下列问题。国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第 1 个格子里放上 1 颗麦粒，第 2 个格子里放上 2 颗麦粒，第3 个格子里放上 4 颗麦粒，依此类推，每个格子里放的麦粒效都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到第 64 个格子，请给我足够的麦粒以实现上述要求。”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了，假定千粒麦子的质量为
7、40g，据查，目前世界年度小麦产量约 6 亿 t，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是 1，公比是 2，求第 1 个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前 64 项的和一般地，对于等比数列 a1，a 2，a 3，a n，它的前 n 项和是 Sn=a1+a2+an+an，根据等比数列的通项公式，上式可写成 Sn=a1+a1q+a1q2+a1q1 我们发现，如果用公比 q 乘的两边，可得 qSn=a1q+a1q2+a 1qn1+a1qn， 的右边有很多相同的项，用的两边分别减去
8、 的两边，就可以消去这些相同的项，得 (1q)Sn=a1a1qn当 q1时，等比数列的前 n 项和的公式为因为 an=a1qn1，所以上面的公式还可以写成有了上述公式，就可以解决本节开头提出的问题由 a1=1，q=2，n=64，可得 =2641。2 641这个数很大，超过了 18410 19估计千粒麦子的质量约为 40g，那么麦粒的总质鬣超过了 7000 亿吨，因此，国王不能实现他的诺言问题：20 请说明教材中引用故事的意图；21 写出这节课的教学重难点；22 在等比数列前 n 项和公式推导的过程中用了什么方法，说明应用这种方法的条件；23 请为教材中第一个思考“当 q=1 时，等比数列的前
9、n 项和 Sn 等于多少”设计一个教学片段。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 51答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 F“（x）= （x 2） f(x 4）=2xf(x 4）。2 【正确答案】 A【试题解析】 设向量组 1， 2， 3 线性无关，假设存在实数 m，n 使得对任意常数 k，l，有 m(1+k3)+n(2+l3)=0，即 m1+n2+(mk+nl)3=0。因为 1， 2， 3线性无关，所以 m=n=mk+nl=0，得向量组 1+k3， 2+l3 线性无关。 如果对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+3 线性无关，当 1=0 时题
10、设仍然成立，而此时，向量组 1， 2， 3 线性相关。即对任意常数 k，l，向量组 1+k3， 2+l3 线性无关不能推出向量组 1， 2， 3 线性无关。3 【正确答案】 C【试题解析】 的方向向量为 a=(1， 3，2)(2，一 1，一 10)=（一28，14，一 7），平面 的法向量为 b=(4，2，1)，a/b，所以直线 l 与平面 垂直。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意首先得 f(0)=O，由导数的定义有，=f+(0)=2（其中 t=x2)。5 【正确答案】 A【试题解析】 对 A=4 求相应的线性方程组(EA)x=0 的一个基础解系，化简求得此方程组的一个基础解系，x=(
11、a ，a，a) ，a R，即得所求。6 【正确答案】 D【试题解析】 E(X(X+Y2)）=E(X 2)+E(XY)2E(X)=DX+(EX)2+EXEY2EX=5。7 【正确答案】 A【试题解析】 九章算术是中国古典数学最重要的著作，分成九章，依次是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股。8 【正确答案】 D【试题解析】 普通高中数学课程标准（实验）中选修系列 2 由 3 个模块组成：选修 21（常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量与立体几何）、选修22(导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入)和选修 23（计数原理、统计案例、概率）。框图属于系列 1 选修
12、 12，故选 D。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 设有线性关系 =k11+k22+k33+k44，代入所给向量，可得线性方程组11 【正确答案】 =002170+009180+022190+033200+024210+008220+002230=200， s2=002(170200) 2+009(180 200)2+022(190200)2+033(200200) 2+0 24(210200)2+008(220200) 2+002(230200)2=150，12 【正确答案】 由(1)知，= =200， 2=s2=150，所以122，P(187822122)=P(2001222
13、200+122)=06826 。100 件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数 X 服从二项分布 B(100，06826)，所以 EX=1000 6826=6826。13 【正确答案】 微积分的思想是非常重要的思想，它可以帮助我们了解函数的变化，刻画现实世界中的规律，在日常生活中，微积分的基本知识已经成为人们认识某些事物的常识。很多中学生中学毕业之后会直接进入工作岗位，希望学生通过微积分的学习，能用变化和运动的观点来看待数学世界和现实世界，能有一个更加广阔的数学视野。在中学阶段所学到的相关的学科，比如物理、化学、生物、地理等，都有很多反映微积分思想的实例和案例，所以在数学上
14、给出微积分的表述，对于理解这些实例和案例是必要的。直接介绍微积分思想的难度不大，能为中学生所接受。可以帮助学生了解导数和积分的丰富背景和应用，建立一些具体的、特殊的极限概念，初步形成对极限的感性认识，这些对于进一步学习微积分理论是有帮助的。微积分的产生在人类文明史上有着重要的作用。通过这部分内容的学习可以让学生更好地理解数学在人类进步和发展中不可缺少的作用。14 【正确答案】 (1)对学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握课程内容中的要求。学生在学习“圆与方程” 这一章的时候应该掌握圆的方程的概念、直线与方程的位置关系。在设计题型的时候，考查的知识点应包括以上知识点，达到全面性，以
15、便宏观了解学生对本章知识的掌握程度。(2)在设计试题时，应关注并体现学生对运算能力、方程思想的理解及应用意识的考查。题型练习多样化，可以设置选择、填空、判断、解答多种形式；试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。(3)题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对重难点、易错点的考查。比如“待定系数法 ”“数形结合求直线与圆位置关系”等。三、解答题15 【正确答案】 先对和函数对上式两边从 0 到 x 积分为了求极值，对 f(x)求一阶导数令 f(x)=0，求得唯一驻点 x=0，由于 则 f(0)=1 0，由极值的第二充分条件，得
16、 f(x)在 x=0 处取得极大值，且极大值为 f(0)=1。四、论述题16 【正确答案】 数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新 ”。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传播与能力发展的关系，要求教师做到：将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节。要重视对学生所学知识、技能和方法进行复习巩固工作的研究。在复习巩固
17、过程中，要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上熟记。在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理
18、清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的目的。五、案例分析题17 【正确答案】 小刘没有考虑对勾函数 y=x+ 的值域，即 y2或 y2。而通过一元二次方程解出的两个值中应舍去 1，答案应选 D。错误原因：忽略了隐含条件，没有考虑函数本身的限制。18 【正确答案】 正确,解析：因为 得关于t 的一元二次方程 t2+t2=0解得 t=2 或 t=1。又由 x+ =t 知，t2 或 t2。所以 x+ =t=2。即应选 D 选项。19 【正确答案】 本题中运用的数学思想有：整体思想，把 x+ 作为整体来计算；化归思想，把原方程转化为一元二次方程来求解：方程思想。六、教学
19、设计题20 【正确答案】 教材中用一个古老但又具体的故事，为了让学生了解学习“等比数列求前 n 项和” 在解决生活中问题的必要性，用一个有趣的问题激发学生的好奇心和求知欲。21 【正确答案】 教学重点：掌握等比数列前 n 项和公式及利用公式解决问题；教学难点：数列前 n 项和公式的推导。22 【正确答案】 在等比数列前 n 项和公式推导过程中用的方法是“错位相减法” 。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。比如，在教材中，等比数列前 n 项和公式推导过程中，表示出等此数列a n前 n 项和 Sn=a1+a1q+a1q2+aiqn1，注意到 Sn 的各项是等差数
20、列( 1， 2， 1)和等比数列(1 ，q，q 2，g n1)的形式，所以在等式两边同时乘以等比数列的公比 q，即为 qSn，然后错一位，两式相减即可。23 【正确答案】 教学片段： 师：从上边的推导我们知道，当公比 q1时，等比数列前 n 项和 Sn=a1(1qn)/1q，那么大家想过没有，这里为什么要求 q1呢？ 生：q=1 时，公式里的分母等于零了，没有意义了。 师：没错，只有在 q1时上述公式才成立。那么如果一个等比数列，公比 q=1，那它的前 n 项和怎么求呢？ 生：如果公比 q=1，则这个等比数列就是常数列，每一项都相等 师：所以，当 q=1时，前 n 项和等于 生：na 1 师：很好。所以大家在理解和记忆等比数列前 n 项和的时候，就要明确它是由两部分组成的，一部分是 生：q1 时。 师：另一部分是 生：q=1 时。 师：很好。大家在以后做题时遇到等比数列求和问题就要想想，公比 q 的取值。
