1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 8及答案与解析一、单项选择题1 已知命题 p： x1，x 2R，(f(x 2)-f(x1)(x2x1)0，则p 是( )。（A）彐 x1，x 2R，(f(x 2)-f(x1)(x2-x1)0（B） x1，x 2R，(f(x 2)-f(x1)(x2-x1)0（C）彐 x1，x 2R，(f(x 2)-f(x1)(x2-x1)0（D） x1，x 2R，(f(x 2)-f(x1)(x2-x1)02 如图，=，A ，B，A，B 到 的距离分别是 a 和 b，AB 与 ， 所成的角分别是 和 ，AB 在 ， 内的射影分别是 m 和 n，若 ab，
2、则( )。 （A），m n（B） ，mn（C） ，mn（D），m n3 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设定原信息为 a0a1a2，a i0，1(i=0，1，2)，传输信息为 h0a1a2h1，其中 h0=a0a1，h 1=h0a2， 运算规则为：00=0，01=1，10=1 ，11=0，例如原信息为 111，则传输信息为 01111。传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )。（A）11010（B） 01100（C） 10111（D）000114 若 ，则在 S1，S 2，S 100 中，正数的个数是(
3、 ) 。（A）16（B） 72（C） 86（D）1005 设随机变量 X 服从正态分布 N(， 2)，则随着 的增大，概率 Px-应该( )。（A）单调增大（B）单调减少（C）保持不变（D）增减不变6 在ABC 中，C=90，且 CA=CB=3，点 M 满足 =( )。（A）2（B） 3（C） 4（D）67 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)。可得出这个几何体的体积是( )cm 3。 8 下列说法不正确的是( )。（A）数学作业除了习题计算、解答与证明形式外，还可以考虑数学建模与数学实验报告等形式（B）备课主要是备习题（C）教学过程既包括教师教的过程，也包括学生学的过
4、程（D）教学评价既包括对学生学业成绩的评价，也包括对教师教学质量的评价二、简答题9 已知函数 f(x)=lg(x+1)。(1)若 0f(1-2x)-f(x)1，求 x 的取值范围；(2)若 g(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 0x1 时，有 g(x)=f(x)，求函数 y=g(x)(x1，2) 的反函数。10 计算不定积分11 设 ，已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，求，a 。12 对数学概念数学的认识与提高应从哪几方面人手?13 在现阶段基础教育课程改革中，教师的角色应发生哪些变化?三、解答题14 已知向量 a，b，满足a= b=1，且 ，其中 k0。 (1) 试用 k 表示a
5、b，并求出 ab 的最大值及此时 a 与 b 的夹角 的值； (2)当 ab 取得最大值时，求实数 ，使a+b的值最小，并对这一结论作出几何解释。四、论述题15 试论述如何与时俱进地认识“双基” 。五、案例分析题16 案例：阅读下列两位教师有关“对数函数及其性质” 的教学片段。 教师甲的教学过程： 师：当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题? 生 1：对数函数的图象和性质。 师：你能类比前面研究指数函数的思路，提出研究对数函数图象和性质的方法吗? 生 2：先画图象，再根据图象得出性质。 师：画对数函数的图象是否像指数函数那样也需要分类? 生 3：按 a1 和 0a1 分类讨论。
6、师：观察图象主要看哪几个特征? 生 4：从图象的形状、位置、升降、定点等角度去识图。 师：在明确了探究方向后，下面，按以下步骤共同探究对数函数的图象： 步骤一：(1)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 (2)用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象 步骤二：观察对数函数 y=1og2x、y=1og 3x 与 的图象特征，看看它们有哪些异同点。 步骤三：利用计算器或计算机，选取底数 a(a0，且 a1)的若干个不同的值，在同一个平面直角坐标系中作出相应对数函数的图象。观察图象，它们有哪些共同特征? 步骤四：归纳出能体现对数函数的代表性图象。 步骤五：作指数函数与对数函数图象的比较
7、教师乙的教学过程： 活动一： 1你能说出指数函数的概念、图象、性质吗? 2(课件演示 ) 在 中，P 是古遗址生物体内碳 14 的含量，t 是与之相对应生物死亡年代，请同学们用计算器计算，完成下表： 3你能归纳出这类函数的一般式吗? 教师组织学生计算，注意引导学生从函数的实际出发，解释两个变量之间的关系。 教师提出问题，注意引导学生把解析式概括成 y=logax 形式。 学生思考，归纳概括函数特征。 师：(板书)一般地，我们把函数 y=1ogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，定义域为 x(0，+)。 教学引导学生用对数的定义分析、回答。 问题： (1)分析两个教学过程的特点
8、。 (2)分析该阶段学生的学习情况并给出教学指导建议。六、教学设计题17 “函数图象 ”是高中数学中很重要的知识点，通过复习所学函数模型及其图象特征，可以使学生对函数有一个较直观的把握和较形象的理解，缓解因函数语言的抽象性引起的学生的心理不适应及不自觉的排斥情绪。(1)关于“函数图象及其应用“ 给出你的教学设计目标。(2)确定教学重点、难点。(3)设置两个教学环节 (给出两个以上例题或练习题)并说明设计意图。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 8答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 命题 p 为全称命题，所以其否定 p 应是特称命题，又(f(x 2)
9、-f(x1)(x2-x1)0否定为 (f(x2)-f(x1)(x2-x1)0，故选 C。2 【正确答案】 D【试题解析】 由勾股定理 a2+n2=b2+m2=AB2，又 ab，所以 mn ，而 ab，所以 sin0sin 得 。3 【正确答案】 C【试题解析】 C 选项传输信息 011，h 0=01=1，h 1=h0a2=11=0，应该接收信息 10110。4 【正确答案】 C【试题解析】 依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项。5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Px-，所以 =(1)-(-1)=2(1)-1，该概率与无关，故保持不变。6 【正确答案】 B【试题解析】 AB
10、C 是等腰直角三角形，斜边 ，点 M是 AB 的三等分点，所以。7 【正确答案】 C【试题解析】 根据三视图可知几何图形如下图所示，易得其体积为 。 8 【正确答案】 B【试题解析】 备课不仅要备习题与练习题，而且要学习课程标准的基础知识，深入钻研教材，切实考虑学生的实际情况，预设好教案与学案，故选 B。二、简答题9 【正确答案】 (1)由 ，得-1x1。 由。得 。 因为 x+10。所以x+12-2x10x+10， 。 由 得 。 (2) 当 x1，2时，2-x 0，1 ，因此 y=g(x)=g(x-2)=g(2-x)=f(2-x)=lg(3-x)。 由单调性可得y0，lg2。 因为 x=3
11、-10y，所以所求反函数是 y=3-10x，x 0，lg2 。10 【正确答案】 设 ，则 ， 而 所以11 【正确答案】 写出增广矩阵 ，作初等行变换得线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，可知 Ax=b 有无穷多解，故 r(A)=r(A，b)3。 因此系数矩阵的行列式为零，可知 =1 或-1。 又当=1 时，增广矩阵为 。此时，无论 a 为何值，都有 r(A)=1，r(A，b)=2，线性方程组无解，不符合题意。 故 =-1，此时增广矩阵为 ，r(A)=2，要使得 r(A，b) 也为 2，则必有 a=-2。故12 【正确答案】 目前在数学概念教学中，应注意从以下几个方面认识和提高。(1)重
12、视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响。数学概念具有确定的内涵与外延。教学的迁移要重视深入揭示概念的外延，把新旧概念的由来和发展、区别和联系进行剖析、类比，深刻理解、灵活运用、克服负迁移、发挥正迁移。(2)数学概念教学是素质教育的重要内容。复习旧课，讲授新课，离不开概念。在现代教学的发展中，概念教学不仅不能削弱，而且要更自觉、更有意识、更科学地进行。(3)数学概念教学是一个完整的教学过程，不可有头无尾。(4)数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式。如果教师讲授每个数学概念都从具体出发，进行抽象概括，是不符合数学教学实际的，其中的关键问题，是教师要明确影响概念学习的因素。(5
13、)要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学。数学概念和其他数学知识一样。是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数学的深层知识，深层知识蕴含于表层知识之中，是表层知识的本质，是分析、处理和解决数学问题的策略和基本方法。只有当学生在数学思想、方法的高度上掌握数学概念、数学知识时，才能较好地形成数学能力，受益终生。(6)不能将数学概念教学简单化，以为学生会利用概念解一两道题就是理解了概念，学生会运用某种方法解题或引用以某种思想为基础的概念，就简单地认为学生已经掌握了这种思想方法。数学概念的掌握靠理解，数学思想、方法的掌握靠领悟。因此，学生通过学习概念等表层知识到对深层知识的领悟，需要一个过程，在
14、这方面，绝不能急于求成，否则，欲速则不达。13 【正确答案】 数学教学活动应当赋予学生以最多的思考、动手和交流的机会。与此相伴的是，教师的角色要作出改变。高中数学课程标准指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者、合作者” 。这就是说，数学课程的一切都是围绕学生的发展展开。所以学生是学习的“ 主人” 。再次明确这一点，意在进一步改变传统的数学教学模式，拓宽学生在数学教学活动中的空间。教师要从一个知识传授者转变为学生发展的促进者；要从教室空间支配者的权威地位，向数学学习活动的组织者、引导者和合作者的角色转换。教师角色转变的重心在于传统意义上的教师教和学生学，不断让位于师生互教互
15、学，彼此形成一个真正的“学习共同体” 。表面上看，似乎教师的空间被 “压缩”了，实际上标准赋予教师更高的要求、更大的责任和更多的期望。教师的作用，特别要体现在引导学生思考和寻找眼前的问题生活中的问题与自己已有的知识体验之间的关联方面，在于提供把学生置于问题情境之中的机会，在于营造一个激励探索和理解的气氛，在于为学生提供有启发性的讨论模式。三、解答题14 【正确答案】 (1) a-kb= ka+b (a-kb)2=3(ka+b)2 即 a2-2kab+k2b2=3(k2a2+2kab+b2) a=b=1 ab的最大值时 即 ab 为最大值 时 a 与 b 的夹角 的值为 (2)由题意知： ，故a
16、+b 2=a2+2ab+2b2=2-+1= 当 时，a+b的值最小。 如图所示：在边长为 1 的正三角形ABC 中，即 D 为线段AC 的中点时， 。 (或：此时 ，即当(a+b) b 时，a+b的值最小。) 四、论述题15 【正确答案】 关于数学基础知识和基本技能，课程目标提得非常明确。具体的课程目标是：第一，要获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念和数学结论的本质；第二，要了解概念、结论产生的背景、应用，要求通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程；第三，要体会其中所蕴涵的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用。这里，既有我们过去所强调的“双基”的要求，又
17、有新的发展。(1)强调概念、结论产生的背景新课程明确提出了要了解概念、结论产生的背景、应用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，希望通过数学知识、数学结论的形成过程，更好地理解数学概念和结论的本质，在反复对数学本质的认识过程中，提高个体的数学素养。之所以这么要求，是因为我们不仅要关注知识本身，而且要关注知识的发生、发展，即通常说的来龙去脉。只有这样才能使学生更好地认识数学，认识数学的价值、数学的教育价值，同时也是对学习者在学习过程中的一种自然要求的体现，学生只有在一定的现实背景下才能有学习的欲望和兴趣，在展现数学的发生、发展中才能感受数学的价值。(2)强调经历知识产生发
18、展的过程强调对结论本质的认识，这是教育的一个发展和进步，有深刻的教育价值，体现了学习者现实的学习过程、人的认识过程。也是对“双基” 内涵更为丰富、更为深刻的认识和要求。学生只有经历实实在在的数学活动的学习过程，才能比较自然地去想一些问题，去认识一些问题，去思考一些问题，经过同化、顺应等心理活动过程、心理变化过程，去理解概念和结论的本质，也才能内化为自己认知结构中的东西，仅仅通过模仿和记忆是不会有这个结果的。(3)强调体会概念和结论中所蕴涵的数学思想方法对“双基”的发展还体现在学习某个概念和结论时，体会其中所蕴涵的数学思想方法，而且过一段时间后，进一步体会它们在后续学习中的作用。尽管在过去的教学
19、中，教师也会关注这一问题，但是，现在这是一个明确提出的要求，这是对数学整体认识的需要，也是这次课程结构上模块和专题设计的一种需要。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)旧教材是通过对称变换直接从指数函数的图象得到对数函数图象，这样处理学生虽然接受了这个事实，但对图象的感觉是肤浅的；这样处理也存在着函数教学忽视图象、性质的认知过程而注重应用的“功利” 思想。因此，甲教师本节课的设计注重引导学生用从特殊到一般的方法探究对数函数图象的形成过程，加深了感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。在这个环节，还借助计算机辅助教学作用。增强了学生的直观感受。 教师乙通过回
20、顾旧知识，使知识得到联系。创设问题情境，让学生从生活中发现问题，激发学生的学习兴趣，初步建立对数函数模型。抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展了学生抽象思维能力。 (2)刚从初中升入高一的学生，仍保留着初中生的许多学习特点，能力发展正处于形象思维向抽象思维转折阶段，但更注重形象思维。由于函数概念十分抽象，又以对数运算为基础，同时，初中函数教学要求降低，初中生运算能力有所下降，这双重问题增加了对数函数教学的难度。教师必须认识到这一点，教学中要控制要求的拔高，关注学习过程。在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，
21、通过数形结合，让学生感受 y=logax(a0 且a1)中，a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察，小组讨论，发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)教学目标主要有： 通过练习的设置，从解决简单实际问题的过程中，让学生体会函数模型的广泛适用性，贯穿理论联系实际、学以致用的观点，充分体现数学的应用价值，加强学生的看图识图能力，激发学习兴趣，引导学生自觉自主参与课堂教学活动。结合具体的问题，并从特殊推广到一般，使学生领会函数与方程之间的内在联系，体验函数与方程思想、数形结合思想及等价转化思想的意义和价值。通过对所给问
22、题的自主探究和合作交流，使学生理解动与静，整体与局部的辨证统一关系，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用。 (2)教学重点和难点 教学重点：常见函数模型的图象特征和实际应用。通过课堂师生互动交流，共同完成对相关知识的系统归纳，借助多媒体课件演示，增加学生的直观体验，深化认识，突破重点。 教学难点：利用函数图象研究方程问题的思想和方法。在教学过程中。通过学生自主探究学习，在实际问题的解决中学习将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，实现难点突破。 (3)教学环节及设计意图 试回忆所学并完成表格： 练习 1如图 1 当 a1 时，
23、在同一坐标系中，函数 y=a-x 与 y=logax 的图象是( )。 提问2：若将“a1”改为“a1 且 a1”，又该如何选择? 练习 2某地区电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过 3 分钟收费02 元，超过 3 分钟后，每增加 1 分钟多收费 01 元(不足 1 分钟按 1 分钟收费)。通话收费 S(元)与通话时间 t(分)的函数图象可表示为( )。 提问 3：你能否写出通话收费 S(元)关于通话时间 t(分)(0t6)的函数表达式? 这样的函数称为什么函数? 例 1若定义运算 ，则函数 f(x)=3x3-x 的值域为( )。 A(0， 1 B(1 ，+ C (1，+) D(-，+ 例 2当 k_时，方程x2+2x-3=k 有两解 ?有三解?有四解呢?无解呢? 课堂小结： 本节课复习了常见函数模型及其图象特征，体会到利用函数图象解决函数性质的形象和直观，学习函数和方程的相互等价转化，体会函数方程思想与数形结合思想的意义和价值。 正如华罗庚所说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
