1、教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题1 下列各组向量中满足 a/b 的是( ) （A）a=(1，1，1)，b=(0 ，2，2)（B） a=(1，1，1)，b=(1，0，1)（C）（D）2 已知向量 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)，则下列说法错误的是( )（A）ab 的充要条件是 x1x2+y1y2=0（B） a2=x12+y12（C） a0=0（D）ab 的充要条件是 x1y2-x2y1=03 向量 a=(2，2，1)，b=(2，1，3) ，则|2a+3b|=( ) 4 在ABC 中， 则该三角形是( )（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三
2、角形（D）无法确定5 有向量 a=(x1，y 1，z 1)，b=(x 2，y 2，z 2)，则行列式 表示的是( )（A）a+b（B） ab（C） ab（D）ab6 已知空间内两个平面 ：x2y+2z=4 ， ：x+y-2z=1 ，则 与 的夹角的余弦值为( ) 7 定义平面向量之间的一种运算 如下，对任意的 m=(a，b)，n=(c，d)，令 mn=ac+bd，则下列说法错误的是( ) 8 已知非零向量 a=(x1，y 1)，b=(x 2，y 2)，两向量的夹角为 ，则下列说法错误的是( )（A） 称为向量 a 在 b 方向上的投影，投影的绝对值称为射影（B） (a+b)(a-b)=(x12
3、x 22)+(y12-y22)（C）（D）(a)b=(ab)=a(b)(R)9 已知|a|=3 ， |b|=5，若(ma+2b)(ma-2b)，mR，则 m=( ) 二、填空题10 已知空间内的两点 M(1，3，2)，N(-2，1，1) ，则11 已知点 P1=(x1，y 1)，P 2=(x2，y 2)，O 为坐标原点，若点 P(x，y)分有向线段所成的比例为 , 12 在ABC 中，已知 C=60，则面积 SABC=_.13 如图所示，在四面体 OABC 中，线段 MN，PQ 分别是 OAB 和ABC 的中位线，且 用 a，b，c 表示 =_. 14 若 x，yR ，i，j 是平面直角坐标系
4、内 x，y 轴正方向上的单位向量，若向量a=(x+1)i+yj，b=(x1)i+yj，且|a|+|b|=4，则点 N(x，y)的轨迹方程是_15 已知 a=2i+2j，b=mi+j ，c=4i+nj 是平面内的三个向量，若此三向量共线，则 m+n=_16 若向量 |b|=1， a(a2b)，则向量 a 与 b 的夹角为_17 已知向量 a=2i+2jk，则与其方向相同的单位向量 a=_三、解答题17 如图，平面 ABCD、平面 AFEB、平面 FAD 为三个互相垂直的平面，AB、AD、AF 分别为两两平面的交线， H、G 分别为线段FA、FD 的中点 18 证明：四边形 BCGH 是平行四边形
5、；19 判断 C、D、E、F 四点是否共面 ?为什么?19 点 P 是不等式 所表示的平面区域内的一动点，该点在区域边界所在直线上的投影分别为 M，N若20 求动点 P 的轨迹方程；21 已知点 C(1，0)，F(2，0)，过点 F 作直线 Z 交 P 点轨迹于 A，B 两点，是否存在这样的直线 l，使 ACBC，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由22 已知函数 如图过点 M(0，1)作斜率为 k 的直线 l 交该函数图像于A，B 两点若该函数曲线的焦点 F 与 A，B ，C 三点按图中顺序连接成平行四边形，求点 C 的轨迹方程 教师公开招聘考试中学数学（向量）模拟试卷 3 答案
6、与解析一、选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 空间内任意两个向量 a、b(b0)，a/b 的充要条件是存在实数 ，使得 a=b因此本题选 D.【知识模块】 向量2 【正确答案】 C【试题解析】 两个向量的数量积应为一个数而不是向量，任意非零向量与零向量的数量积均为 0 而不是零向量，故 C 项错误【知识模块】 向量3 【正确答案】 B【试题解析】 2a+3b=2( 2，2，1)+3(2，1，3)=(2 ，1，7)，所以|2a+3b|=【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 所以 故ABC 为直角三角形【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 由题即等于向量的向量
7、积 ab【知识模块】 向量6 【正确答案】 A【试题解析】 依题意知平面 与 的一个法向量分别为 n1=(1，2，2)，n 2=(1，1 ，2) ，两平面夹角的范围为所以两平面夹角的余弦值为【知识模块】 向量7 【正确答案】 A【试题解析】 若 m 与 n 共线，则 adbc=0 ，故 A 错误其他三项中的运算均正确【知识模块】 向量8 【正确答案】 A【试题解析】 称为向量 b 在向量 a 方向上的投影，故 A 项错误；(a+b)(ab)=a 2b 2=|a|2|b| 2=(x12x 22)+(y12y 22)，B 项正确；C、D 项分别是向量的夹角公式和向量与实数相乘的结合律公式，均正确因
8、此本题选 A【知识模块】 向量9 【正确答案】 C【试题解析】 依题意有(ma+2b)(ma2b)=m 2a24b 2=9m2425=0，解得【知识模块】 向量二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知 所以【知识模块】 向量11 【正确答案】 【试题解析】 根据线段定比分点的向量公式可知 即【知识模块】 向量12 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 则A=C，又因为C=60 ，所以 ABC是边长为 5 的等边三角形，故【知识模块】 向量13 【正确答案】 【试题解析】 依题意知 M、Q 分别是线段 OA、BC 的中点，故【知识模块】 向量14 【正确答案】 【试题解析】 依题意
9、可知点 N(x，y)到 F1(1，0) ，F 2(1，0)距离之和为 4，根据椭圆的定义可知 N 的轨迹是以 F1，F 2 为焦点的椭圆，且 c=1，2a=4，所以 b2=3，因此 N 的轨迹方程为【知识模块】 向量15 【正确答案】 一 3【试题解析】 根据题意知 a=(2，2)，b=(m， 1)，c=(4，n)，因为三向量共线，所以 解得 m=1，n=4，所以 m+n=3【知识模块】 向量16 【正确答案】 【试题解析】 依题意有 a(a2b)=a 22ab=|a| 22|a|b|cos(a，b)= 1cos(a，b)=0 ，所以 cos(a，b)= 又因为 a 与 b 的夹角在0，范围内
10、，所以 a 与 b 的夹角为【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 向量三、解答题【知识模块】 向量18 【正确答案】 因为 所以 BC/AD 且 又因为 H、G 分别为线段 FA、FD 的中点，所以 HG 是ADF 的中位线，即 HG/AD 且 所以 因此四边形 BCGH 是平行四边形【知识模块】 向量19 【正确答案】 同上题可证得四边形 BEFH 也是平行四边形， 所以 EF/BH 由上题知 CG/BH，所以 EF/CG，则 EF 与 CG 共面 又因为 DDF，DF 平面EFGC， 所以 C、D、E、 F 四点共面【知识模块】 向量【知识模块】 向量20 【正
11、确答案】 依题意知 表示的区域边界所在的直线分别为 l1：和 l2： 所以 因为MPl1，NPl 2， 所以MPN=MON= 设点 P 坐标为(x，y)， 因此动点 P 的轨迹方程是以(2 ，0)，(2，0)为焦点的双曲线的右支： 【知识模块】 向量21 【正确答案】 当直线 l 斜率不存在时，直线 l：x=2， 所以 A(2，3)，B(2，3)，显然 当直线 l 斜率存在时，设直线 l：y=k(x2)，A(x 1，y 1)，B(x2，y 2)， 联立 l 与 P 点轨迹方程 消去 y 得：(3k 2)x2+4k2x(3+4k 2)=0 =(4k2)2+4(3+4k2)(3k 2)=36k2+
12、360， 要使ABC 为直角三角形，则必有即(x 11)(x 21)+y 1y2=0， 所以 x1x2(x 1+x2)+1+k2(x12)(x 22)=0 ， 整理得(1+k 2)x1x2(1+2k 2)(x1+x2)+4k2+1=0， 将代入上式， 解得 k=0 当 k=0时，直线 l 与 x 轴重合，与 P 点的轨迹只有一个交点 所以不存在这样的直线，使得 ACBC【知识模块】 向量22 【正确答案】 由题干可知，抛物线焦点坐标为 F(0，1) ， 设 A，B，C 三点坐标分别为 因为 F(0，1)， M(0，1)， 所以又因为 M、A、B 三点共线， 因为 x1x2， 所以x1x2=4 又因为四边形 ACBF 为平行四边形， 又因为 x1=xx 2，即 x=x1+x2， 所以 x2=4y+12 【知识模块】 向量
