1、教师公开招聘考试小学数学（计数原理）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题1 用数字 1、2 组成四位数，且数字中至少出现一次 1、2，则这样的四位数有( )个（A）10（B） 12（C） 14（D）162 一个箱子里面有 12 个大小相同的球，编号分别为 1，2，3，411，12，其中 1号到 6 号球是黄球，剩下的为白球从箱子中一次取出两个球，求取出的两个球都为白球，且至少有 1 个球的号码是奇数的概率是( )（A）（B）（C）（D）3 6 个学生站成一排，甲、乙两个学生必须相邻的排法共有( )种（A）60（B） 120（C） 240（D）4804 8 名男生和 4 名女生站成一排，4 名女
2、生都不相邻的排法共有( )种（A）A 88.A94（B） A88.C94（C） A88.C74（D）A 88.A745 将 4 个大小不同的西瓜放到 3 个不同颜色的篮子里，每个篮子至少放一个，则不同的放置方法有 ( ) 种（A）12（B） 24（C） 36（D）486 外语学院安排 A、B、C、D、E X 名学生在奥运会期间从事翻译志愿者工作他们需要分别进行英语、日语、法语和俄语的翻译工作，但 A、B 不会法语，C、D、E 四种语言都会，则不同的安排方案有( )（A）36（B） 68（C） 94（D）1267 (2 一 )7 的二项展开式中，不含 3 的项的系数的和为( )（A）13（B）
3、5（C） 0（D）88 某教师要为两名参加全国奥林匹克数学竞赛的学生各选择一本参考教材和一本习题集进行备考，该教师现在手上有 12 本备选教材和 6 本备选习题集，该教师打算给两名学生选择同一本参考教材，以及两人每人一本不同的习题集，则共有( )种选法（A）42（B） 180（C） 360（D）4329 某学校派出 2 位教师 6 名学生参加市文艺汇演，演出结束后，8 名师生要合影留念考虑到拍照场地和画面协调的问题，准备排成两行，前 5 后 3，教师要排在前排不靠边的位置，且两位教师不挨着，则共有( )种排法（A）864（B） 1440（C） 8640（D）1440010 已知集合 M3，2，
4、1，0，1，2，3，5，直线 AByC0 中的系数 A、B、C 为集合 M 中的三个元素，则不经过原点的直线有( )（A）200（B） 204（C） 210（D）29411 由 0，1，2，3，4，5 六个数字中的数字组成的，没有重复数字，且大于 23000的五位数共有( ) 种（A）120（B） 360（C） 432（D）72012 在 的展开式中的常数项是( )（A）448（B） 1120（C） 448（D）112013 (21) 7 的展开式的系数的和为( )（A）3 7（B） 27（C） 1（D）014 0997 7 的计算结果精确到 O001 的近似值是 ( )（A）0979（B）
5、0980（C） 0983（D）102115 有三个学生要去四个工厂实习，现有 A、B、C、D 四个工厂供学生自由选择，但是 A 工厂必须有学生去，则不同的选择方案有( )种（A）30（B） 37（C） 45（D）6416 小明有 2 本相同的相册和 3 本相同的笔记本，从中取出 4 本送给 4 个好朋友，每个朋友一本，则不同的赠送方法有( )种（A）6（B） 8（C） 10（D）2017 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中选出三个不同的数使之成等比数列，则这样的数列共有( ) 个（A）3（B） 6（C） 8（D）1018 红星小学为了美化学校环境，欲把教学楼后的空地修建成花园，其形状如
6、图所示，其 5 块地打算分别栽种树、花和草，要求每块地栽种一种，且相邻两块地栽种的不能是同一类植物(即不能都是树，或都是花，或都是草)，现有 4 种树、6 种花和 2 种草可供选择，则共可有 ( )种栽种方案（A）1104（B） 2208（C） 12240（D）9504019 某班级需从班级 10 名中、小队干部中选派人员参加周末两天的公益活动，要求每天有 2 人参加，而甲同学周六要参加学校军乐团的演出，乙和丙同学周日要参加区运动会，则不同的选派方法有 ( )种（A）940（B） 1008（C） 3704（D）403220 在( 22) 5 的展开式中 4 的系数是( )（A）10（B） 10
7、4（C） 80（D）80 4二、填空题21 从 3 名男生和 6 名女生中选出 4 名学生参加集体活动，要求至少有 1 名男生和2 名女生，则共有_种选法22 某老年活动中心安排 4 位大爷和 4 位大妈排练舞蹈参加晚会舞会中有一个亮相动作需要 8 人排成一排，且大妈需按从矮到高的顺序排列，则共有_种排法23 (1 2)6 的展开式中 4 的系数是_24 三(1)班有 5 名同学被选中去观看市中小学文艺汇演，主办方预留一排 6 个座位(一排只有 6 个座位) 给这 5 名同学和 1 位带队教师，现需要带队教师安排座位，要求教师要坐在一边，以方便进出，5 名学生中甲和乙要坐在一起，丙和丁不能坐在
8、一起，则可能的座位排法有_种25 已知方程 yz 8，且 ，y，zN +，则该方程解的个数是 _26 的展开式的中间项的系数为_27 某公司开业庆典原本有 5 个节目，临时又加了 2 个，这两个节目不能放在最前面和最后面，共有_种安排方法28 用 0，1，2，3，4 这 5 个数字中的 4 个组成的 4 位数中，能被 6 整除的数有_个29 的展开式中的常数项为_30 (21) 6 的展开式中系数最大的项为_三、解答题31 已知(31) 10a 0a 1a 22a 1010，求： (1)a 1a 4a 6a 8a 10 的值； (2)2a0a 15a 27a 317a 431a 565a 61
9、27a 7257a 8511a 91025a 10 的值32 求证 62621 能被 3 整除33 某班级进行班委会选举，有 7 名候选人(3 男 4 女)，求在下列不同的要求下，可能的选法数(1)选择两名同学作为班长，一男一一女；(2)选择一名班长，一名副班长；(3)选择正、副班长各一人，要一男一女；(4)选择五名同学组成班委会，男女均不少于 2 人34 设 Cm (R，mN +)，且 C01，求证：C mC m-1C +1m35 某市市区绿化面积约 100 平方千米，规划 10 年后人均绿化面积至少比现在提高10，如果人口年增长率为 12，则市区绿化面积每年至少应增加多少平方千米?( 精确
10、到 01 平方千米 )教师公开招聘考试小学数学（计数原理）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 不考虑其他条件，用数字 1，2 共可以组成 222216 个四位数，只由 1 或 2 组成的四位数有两个，即 1111 或 2222，则至少出现一次 1，2 的四位数共有 16214 个【知识模块】 计数原理2 【正确答案】 B【试题解析】 取出两个球总的方法有 C122 种，其中两个球均为白球且至少有一个球号码是奇数的方法数为取出的两个球都是白球的方法数减去取出的两个白球全都是偶数的方法数，即 C62C 32，故取出的两个球，都为白球，且至少有 1 个球的号码是奇数的
11、概率是 【知识模块】 计数原理3 【正确答案】 C【试题解析】 将甲、乙同学捆绑看成一个整体，则可看成 5 个元素的排列问题，有 A55 种排列方法，而甲、乙两个学生又有 A32 种排列方法，根据分步乘法原理可得共有 A55.A22240 种排列方法【知识模块】 计数原理4 【正确答案】 A【试题解析】 8 名男生先排共有 A88 种排法，共产生 9 个空位，4 名女生插空有A94 种排法，故共有 A88.A94 种排法【知识模块】 计数原理5 【正确答案】 C【试题解析】 可以分两步，将四个西瓜分为三组，每组个数为 2、1、1，共有 C42种分法；然后，将这三组西瓜放到三个篮子里，进行全排列
12、，共有 A33 种排法根据分步乘法计数原理，共有 C42.A3336 种排法【知识模块】 计数原理6 【正确答案】 D【试题解析】 若有两个人翻译法语，则安排方案有 C32.A3318 种；若有 1 人翻译法语，则安排方案有 C31.C42.A33108 种故共有 18108126 种不同的安排方案【知识模块】 计数原理7 【正确答案】 A【试题解析】 令 1，则可求出各系数的和为 1 3 项的系数为 C7621(1)614，故不合 3 的系数的和为 11413【知识模块】 计数原理8 【正确答案】 C【试题解析】 完成此事需要两步，第一步是从 12 本备选教材中选 1 本作为两名学生的参考教
13、材，第二步是从 6 本备选习题集中选择 2 本习题集分别给两名学生作为习题集，而此步骤又可分为两步，第一步是从 6 本备选习题集中选择 1 本给一名同学，再从剩下的 5 本中选择 1 本给另一名同学，所以根据分步乘法计数原理可知，完成该件事共有 12(65)360 种方法，即共有 360 种选法【知识模块】 计数原理9 【正确答案】 B【试题解析】 首先从 6 名学生中选出 3 名排在第二排，有 A63120 种排法，然后再排前排，采用插空法，先将 3 名学生的顺序排好，即 A336 种排法，又“教师要排在前排不靠边的位置，且两位教师不挨着”，所以将教师插在 3 名学生之间的两个空挡中，有 A
14、222 种排法，所以其排法共有 A63A33A22120621440 种【知识模块】 计数原理10 【正确答案】 A【试题解析】 直线不经过原点，故 C0当 A0 时，直线为 y ，B、C 均取正数时，有 A4212 条；B、C 均取负数时，所得直线均与 B、C 均取正数时的重合，故不另行计算；当 B 取正数、C 取负数时，由 ，故有直线432 10 条；当 B 取负数、 C 取正数时，除了 C5 的 3 条外，其他取值所得直线均与 B、C 均取正数时的重合，故不另行计算；故当 A0 时，直线有1210325 条同理，当 B0 时，直线有 25 条当 A、B 均不为 0 时，从集合 M 中有序
15、取出不等于 0 的三个元素的方法有 A73210 种，而若采用一种方法取出的有序的三个元素，与另一种方法取出的有序的三个元素，恰好均为相反数时(如 1， 2，3 与1，2，3)，两者作为直线 AByC 0 中的系数得到的直线重合，再计算直线数量时应去掉，又因为集合 M 中没有5，且 A、B、C 不相等，故当 A、B 均不为 0 时，直线有 A73 21060150 条故共有符合条件的直线 2525150200 条【知识模块】 计数原理11 【正确答案】 C【试题解析】 组成的五位数要大于 23000，则该数字万位上不能为 0 或 1，当万位取 2 时，千位只能从 3，4，5 中取一个，其他位上
16、则只要不与万位、千位相同，且互不相同即可，故有 C31A4372 种；当万位取 3，4，5 中的一个时，其他位上则只要不与万位相同，且互不相同即可，故有 C31A54360 种，故符合条件的五位数共有 72360432 种【知识模块】 计数原理12 【正确答案】 D【试题解析】 根据通项公式可得，T r+1C 8r(2)8-r .C8r28-r(1) r8-2，因为求常数项，故令 82r 0，即 r4，所以 T5C 84.(1) 41120【知识模块】 计数原理13 【正确答案】 A【试题解析】 根据二项式定理可知，当 1 时，( 21) 7 的值即是所求的系数和，故( 21) 73 7【知识
17、模块】 计数原理14 【正确答案】 A【试题解析】 因为 0997 7(10003) 717(0003) 121(0003)2(0003) 7，而 T321(0003) 200001890001，且第三项以后的项的绝对值远小于 0001，故从第三项起，以后的项均可忽略，所以0997 717(0003) 1100210979【知识模块】 计数原理15 【正确答案】 B【试题解析】 三个学生去 A、B、C、D 四个工厂实习的分配方案共用444 64(种)，A 工厂没有学生去实习的分配方案共有 33327(种)，则 A 工厂必须有学生去实习的分配方案共有 642737(种)【知识模块】 计数原理16
18、 【正确答案】 C【试题解析】 共有两种情况：(1)送两本相册和两本笔记本，共有 C426 种方法；(2)送一本相册和三本笔记本，共有 C414 种方法故共有 6410 种赠送方法【知识模块】 计数原理17 【正确答案】 B【试题解析】 这 9 个数能构成等比数列的有 1、2、4，1、3、9 和 2、4、8 三组，但要注意 4、2、1，9、3、1 和 8、4、2 是公比与前面三组不同的等比数列，故共有 6 组等比数列，答案选 B【知识模块】 计数原理18 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A 地与周围四块地均相邻，则该块地所种植物的种类不能再种在其他四块地上如果 A 地种树，则有 4 种，然
19、后 BCDE 应种草和花，再根据题意，分为两种情况：一是 BD 种花，CE 种草，有 A62A2260 种种法；二是 BD 种草，CE 种花，也有 A62A2260 种，则有 4(6060)480 种如果 A 地种花，则有 6 种，然后 BCDE 应种树和草，再根据题意，分为两种情况：一是 BD 种树，CE 种草，有 A42A2224 种；二是 BD 种草，CE 种树，也有 A42A2224 种，则有6(2424)288 种如果 A 地种草，则有 2 种，然后 BCDE 应种树和花，再根据题意，分为两种情况：一是 BD 种树，CE 种花，有 A42A52360 种；二是 BD 种花，CE 种树
20、，有 A62A42360 种，则有 2(360360)1440 种所以学校花园的栽种方案共可有 48028814402208 种【知识模块】 计数原理19 【正确答案】 B【试题解析】 因为题干中没有说明周末两天不能选派相同的人，则第一天的选法有 C92 种，第二天的选法有 C82 种，故共有 C92C821008 种此题较为容易，但有考生可能会理解成两天不能选派相同的人参加，反而将题理解复杂了【知识模块】 计数原理20 【正确答案】 C【试题解析】 根据通项公式可得，T r-1C 5r(2)5-r2rC 5r2r10-2r，当 102r4，即 r3 时， T4C 5323480 4【知识模块
21、】 计数原理二、填空题21 【正确答案】 105【试题解析】 共可分为两种情况：(1)1 名男生和 3 名女生参加：C 31.C6360 种；(2)2 名男生和 2 名女生参加：C 32.C6245 种依据分类计数原理，共有6045105 种选法【知识模块】 计数原理22 【正确答案】 1680【试题解析】 有 8 个位置，先将大爷排在其中的 4 个位置上，有 A84 种排法，剩余四个空位中，大妈的排法固定，故共有 A841680 种排法【知识模块】 计数原理23 【正确答案】 240【试题解析】 二项展开式的通项公式 Tr-1C nran-rbr，则 4 的系数是C64.24240【知识模块
22、】 计数原理24 【正确答案】 48【试题解析】 首先用捆绑法，将甲和乙看成一个整体，与戊进行排列，有 A22 种排法，其中甲和乙的排序也有 A22 种，故甲、乙和戊三人的排法共有 A22A22 种；又由于丙和丁不能坐在一起，采用插空法，将丙和丁插入甲乙整体与戊排列后的三个空中(包括左右两侧) ，有 A32 种插法；插好后再将带队教师安排在最左侧或最右侧即可故座位的排法共有 A22A22A32C21226248 种【知识模块】 计数原理25 【正确答案】 21【试题解析】 该题目可以理解为，将 8 个相同的球放入 3 个不同的盒子中，且不能有盒子为空，于是可将 8 个球排成一排，将两个隔板插入
23、 8 个球之间的 7 个空中，且每个空只插入一个隔板，则有 C72 21 种插法，故原题目中方程的解也是 21 个【知识模块】 计数原理26 【正确答案】 1120【试题解析】 因为 Tr+1C 8r ，故当 r 4 时，T 5 为展开式的中间项所以 T5C 84 ，所以第五项系数 a41120考生需注意，题目所求的是中间项还是中间项的系数【知识模块】 计数原理27 【正确答案】 20【试题解析】 共有两种情况：(1)新加的两个节目不相邻，则有 A4212 种安排方法；(2)新加的两个节目相邻，则有 C41.A228 种安排方法故共有 12820 种安排方法【知识模块】 计数原理28 【正确答
24、案】 24【试题解析】 整数能被 6 整除，则其个位为偶数，且每一位上的数字之和能被 3整除0，1，2，3，4 中的四个数的和能被 3 整除，则只有两种可能：0，1，2，3和 0，2，3，4；另外，还要千位不能为 0，个位为偶数当取 0，1，2，3 四个数字时：2 在千位，则 0 一定在个位，故有 A222 种排法；2 不在千位上，则要从 1，3 之中取一个数字放在千位，再从 0，2 之中取一个数字放在个位，其他任排，故有 C21C21A222228 种排法当取 0，2，3，4 四个数字时：3 在千位时，其他位可任排，故有 A336 种排法；3 不在千位时，从 2，4 中取一个数字放在千位，在
25、从剩下的两个偶数中取一个放在个位，其他任排，故有C21C21A228 种排法所以能被 6 整除的数共有 286824(个)【知识模块】 计数原理29 【正确答案】 【试题解析】 二项展开式的通项为 Tk+1C nkan-kbkC 6k，题干求展开式的常数项，故令 3k0，解得 k3，故常数项为 T4 【知识模块】 计数原理30 【正确答案】 240 4【试题解析】 本题如果按照标准解法进行过于烦琐，其实因为(21) 6 的次数较低，最简单的方法是将所有系数写出来进行比较，又因为要求最大值，根据Tr+1C 6r(2)6-r(1) r，只要写出 r 为偶数的项的系数即可，即a0C 6026，a 2
26、C 6224，a 4C 6422，a 6C 66，故最大的系数是 a2C 6224，其对应的项是 T3C 62244240 4【知识模块】 计数原理三、解答题31 【正确答案】 (1)因为(31) 10a 0a 1a 22a 1010，故 当 1 时，(311) 10 210a 0a 1a 2a 10， 当 1 时，3( 1)1 10(4)104 10a 0 a1a 2a 9a 10， 两式相加得，2(a 0a 2a 4a 6a 8a 10)2 104 10， 又当 0 时， (301) 101a 0，所以可得 a 2a 4a 6a 8a 1012 92 191 (2)原式(11)a 0(21
27、)a 1(2 21)a 2(2 31)a3(2 101)a 10 (a 02 1a12 2a22 10a10)(a 0a 1a 2a 3a 10) (321) 103( 1) 110 5 104 10【知识模块】 计数原理32 【正确答案】 62 621(602) 621 C 620.6062C 621.6061.2C 622.6060.22C 6261.60.261C 62622621 320m2 621(mN +) 又 2621(2 2)311 (3 1) 311 C 310.331C 311.330C 312.329C 3130.3C 3131 1 3n(n N+) 即原式320m3n
28、3(20mn)，(m，nN +) 故 62621 能被 3 整除【知识模块】 计数原理33 【正确答案】 (1)由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4 名女生中选 1 人，故有 C31C41 3412 种选法 (2)由题意可知，从 7 名候选人中选择 2 人担任不同的职务，故有 A727642 种选法 (3) 由题意可知，从 3 名男生中选 1 人，再从 4 名女生中选 1 人，2 人分别担任班长或副班长之职，故有C31C41A2234224 种选法 (4)由题意可知，从 7 名候选人中选择 5 人，但要去掉只有 1 名男生的情况，故有 C72C 31 318 种选法【知识模块】 计数原理34 【正确答案】 【知识模块】 计数原理35 【正确答案】 设市区绿化面积应每年增加 平方千米，该市人口为 m 人 依题意可知，10010 (110).m(1 12) 10 整理得，111012 101011(10012) 1010 又(10012)101C 1010.0012C 102.0012 2C 1010.0012 101100012112 故23 答：市区绿化面积每年至少要增加 23 平方千米【知识模块】 计数原理
