1、随机变量及其分布练习试卷 3 及答案与解析一、单项选择题每题 1 分。每题的备选项中，只有 1 个符合题意。1 设 XN(80，2 2)，则 P(X-803)为( )。（A）2(1.5)-1（B） 1-2(3)（C） 2-2(1.5)（D）2-2(3)2 对于产品的某个质量特性 X 的不合格品率，在计算之前需要知道的条件有 ( )。（A）产品质量特性 X 的分布，在过程受控情况下 X 的分布常为正态分布( ， 2)，这是稳定过程的概括（B）某个公认标准对产品特性的要求（C）企业对产品下达的任务书（D）X 低于下规范限的概率和 X 高于上规范限的概率3 设电阻规范下限为 95，规范上限为 105
2、，一批电阻阻值取自正态总体N(100， 22)，记 (x)为标准正态分布的累积分布函数，则合格品率为 ( )。（A）(2.5)+(-2.5)（B） (2.5)+(2.5)（C） 2(2.5)（D）2(2.5)-14 某产品尺寸规范要求为 706mm，从现场得知该加工尺寸服从正态分布，且均值为 =70mm，=1.5mm，则该加工过程的不合格品率为( )。（A）2-2(4)（B） 1-(4)（C） 2(4)（D）2(4)-15 随机变量 XN(20， 2)，若要求 P(16X24)0.9，则 最大值应为( )。（A）u0.95/4（B） u0.90/4（C） 4/u0.95（D）4/u0.906
3、已知 X 服从均匀分布-4，4，那么 P(0X10)=( )。（A）0.1（B） 0.3（C） 0.5（D）0.77 下列关于“ 右偏分布” 的表述错误的是 ( )。（A）右偏分布是正态分布的形式之一（B）符合右偏分布的随机变量大量取值在左边，少量分布在右边（C）符合右偏分布的随机变量少量取值在左边，大量分布在右边（D）随机变量的分布很散8 对数正态分布所描述的随机变量有许多共同点，其中最重要的特征是( )。（A）这些随机变量都在正半轴上取值（B）这些变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散（C）服从对数正态分布的随机变量经对数变换后服从正态分布（D）为求对数正态变量事件的概率，可经对
4、数变换后求相应正态事件相应概率9 设随机变量 X 服从对数正态分布，E(lnX)=5，Var(lnX)=4，则 P(X460)=( )，已知 ln460=6.1312。（A）0.6380（B） 0.7140（C） 0.7863（D）0.803210 从参数 =0.4 的指数分布中随机抽取样本量为 25 的一个样本，则该样本均值的标准差为( ) 。（A）0.4（B） 0.5（C） 1.4（D）1.511 已知 X 服从指数分布 Exp()，其概率密度函数为：p(x)=e-x，x0，在 =0.1的情况下，P(5X20)=( )。（A）0.1353（B） 0.4712（C） 0.6065（D）0.7
5、41812 一种电子元件的正常寿命服从 =0.1 的指数分布，则这个电子元件可用时间在100 小时之内的概率为( )。（A）99.05%（B） 99.85%（C） 99.95%（D）99.99%13 对下列常见密度函数所对应的方差的形式正确的一项是( )。（A）两点分布 b(1,p)的方差： np(1-p)（B）超几何分布 h(n，N，M)的方差：n(N-n)/(N-1).(M/N)(1-(M/N)（C）均匀分布 U(a，b)的方差：(b+a) 2/12（D）对数正态分布 LN(， 2)的方差：14 从正态总体 N(10，2 2)中随机抽出样本量为 4 的样本，则样本均值的标准差为 ( )。（
6、A）0.5（B） 1（C） 2（D）415 设 Xi (i=1，2，n)为 n 个相互独立的随机变量，则下列结论成立的是( )。（A）若 Xi (i=1，2，n) 服从正态分布，且分布参数相同，则 服从正态分布（B）若 Xi (i=1，2， n)服从指数分布，且 相同，则 服从正态分布（C）若 Xi(i=1，2， n)服从a ，b)上的均匀分布，则 服从正态分布（D）无论 Xi (i=1，2，n) 服从何种分布，其均值 都服从正态分布16 设 XN(1，4) ， 为样本容量 n=16 的样本均值，则 P(0 2)为( )。（A）2(0.5)-1（B） 2(2)-1（C） 1-2(0.5)（D）
7、1-2(2)17 关于中心极限定理，下列说法正确的是( )。（A）多个随机变量的平均值(仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布（B）几个相互独立同分布随机变量，其共同分布不为正态分布或未知，但其均值 和方差 2 都存在，则在 n 相当大的情况下，样本均值 X 近似服从正态分布N(， 2/n)（C）无论什么分布(离散分布或连续分布，正态分布或非正态分布)，其样本均值X 的分布总近似于正态分布（D）设 n 个分布一样的随机变量，假如其共同分布为正态分布 N(， 2)，则样本均值 X 仍为正态分布，其均值不变仍为 ，方差为 2/n二、多项选择题每题 2 分。每题的备选项中，有 2 个或 2 个以
8、上符合题意，至少有 1 个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选基得 0.5 分。18 设 XU(0，1) ，从中取到一个样本量为 12 的随机样本 X1，X2，X12 ，令Y=X1+ X2+X12-6，则下列结论正确的有 ( )。（A）E(Y)=0（B） E(Y)=6（C） Var(Y)=1/12（D）Var(Y)=1（E）Var(Y)=619 设随机变量 X1 与 X2 相互独立，它们的均值分别为 3 与 4，方差分别为 1 与2，则 Y=4X1-2X2 的均值与方差分别为( )。（A）E(Y)=4（B） E(Y)=20（C） Var(Y)=8（D）Var(Y)=14（E）Var(Y)
9、=2420 服从二项分布的随机现象满足的条件包括( )。（A）重复进行 n 次随机试验（B） n 次试验间相互独立（C）每次试验仅有两个可能结果，且成功的概率为 p，失败的概率为 1-p（D）每次试验前的结果是已知的（E）每次试验结果不定，但有三个可能结果21 设随机变量 x 服从 b(n，p)，则( ) 。（A）分布列：P(X=x)= (1-p) n-x (x=0，1，2，n)（B） E(X)=np（C） Var(X)=np(1-p)（D）Var(X)=np(1-p) 2（E）Var(X)=p(1-p)22 下列关于正态分布的论述正确的有( )。（A）固定标准差，不同的均值对应的正态曲线的位
10、置不相同，但形状相同（B）固定均值，不同的标准差对应的正态曲线的位置相同，但形状不同（C）正态分布的标准差愈大，分布愈分散；愈小，分布愈集中（D）正态分布的标准差愈大，分布愈集中；愈小，分布愈分散（E）正态曲线是一个倒置的钟形曲线23 下列关于正态分布的描述正确的是( )。（A）正态分布是质量管理中最重要也是最常用的分布（B）正态分布有两个参数 与 2，其中 为均值， 2 是正态分布的方差（C） 是正态分布的标准差， 愈大，分布愈分散， 愈小，分布愈集中（D）标准差 不变时，不同的均值对应的正态曲线的形状完全相同（E）均值 不变时，不同的标准差对应的正态曲线的位置不同24 正态分布计算所依据的
11、重要性质为( )。（A）设 XN(, 2)，则 u=(X-)/N(0，1)（B）设 XN(， 2)，则对任意实数 a、b 有 P(Xb)=(b-)/)（C）设 XN(， 2)，则对任意实数 a、b 有 P(Xa)=1-(a-)/（D）设 XN(， 2)，则对任意实数 a、b 有 P(aX b)=(b-)/)-(a-)/（E）设 X(1， ， YN(2， ，则 X+YN(1+2，(1+2) 2)25 关于标准正态分布的计算公式，下列表示正确的有( )。（A）(a)=P(Ua)（B） P(Ua)=1-(a)（C） (-a)=1-(a)（D）P(0Ua)=-(a)（E）P(-aUa)=2(a)-12
12、6 设 XN(0，1) ，则下列各式成立的有( ) 。（A）P(Xa)=P(Xa)=1-(a)（B） P(aXb)=(b)-(a)（C） P(Xa)=2(a)-1（D）(-a)=-(a)（E）P(Xa)=P(Xa)=1-(a)27 在正态分布的分位数概念中，当 0.5 时，下列结论成立的有( )。（A）u 1-=-u（B）（C）（D）u 1- =u（E）28 设 UN(0，1) ，且 P(U1.645)=0.95，则下列说法正确的有( )。（A）1.645 是 N(0，1) 分布的 0.95 分位数（B） 0.95 是随机变量 U 超过 1.645 的概率（C） 0.95 是随机变量 U 不超
13、过 1.645 的概率（D）(1.645)=0.95（E）u0.95=1.64529 设某质量特性 XN(， 2)，USL 与 LSL 为它的上、下规格限，不合格品率P=PL+PU，其中( ) 。30 设 XN(， 2)，当分布中心与产品规范中心重合时，下列结论成立的有( )。（A）X 落在(- ，+)内的概率为 68.27%（B） X 落在(-2，+2)内的概率为 95.45c（C） X 落在(-3，+3)内的概率为 99.73%（D）X 落在(-4 ，+4)外的概率为 0.002ppm（E）X 落在(-6 ，+6)外的概率为 0.002ppm31 下列常用分布与其均值、方差对应正确的有(
14、)。（A）二项分布 b(n，p) ，均值为 np，方差为 np(1-p)（B）泊松分布 P()，均值为 ，方差为 （C）超几何分布 h(n，N，M)，均值为(nM/N)，方差为 n(N-n)/(N-1).(M/N)（D）正态分布 N(， 2)，均值 ，方差为 （E）指数分布 Exp()，均值为 (1/)，方差为(1/ 2)32 设 Xi=(i=1，2，16)为正态总体 N(0，4)的样本， 为样本均值，则 的分布可以表示为( ) 。（A）N(0 ，1/2)（B） N(0，4)（C） N(0，1/4)（D）概率密度为（E）N(0，1/8)三、综合分析题每题 2 分，由单选和多选组成。错选，本题不
15、得分；少选，所选的每个选项得 0.5分。32 某种茶叶用机械装袋，每袋净重为随机变量，且服从正态分布，均值为100g，标准差为 5g。已知一大箱内装 20 袋茶叶，则：33 一大箱内茶叶净重服从的分布为( )。（A）N(2000，10)（B） N(2000，500)（C） t(19)（D） 2 (20)34 一大箱茶叶净重小于 1960g 的概率约为( )。（A）0.0367（B） 0.4681（C） 0.5319（D）0.9633 (附：(1.79)=0.9633 ，(0.08)=0.5319)随机变量及其分布练习试卷 3 答案与解析一、单项选择题每题 1 分。每题的备选项中，只有 1 个符
16、合题意。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 XN(80，2 2)，可以得到 N(0，1 2)，又因为对于标准正态分布 U 有 P(Ua)=2(a)-1，所以 P(X-80 3)=P( 1.5)=2(1.5) -1，那么 P(X-803)=1-P(X-803)=2-2(1.5)。【知识模块】 随机变量及其分布2 【正确答案】 A【试题解析】 产品某个质量特性 X 的不合格品率的计算要知道两件事： 质量特性 X 的分布，在过程受控情况下，X 的分布常为正态分布 N(， 2)，这是稳定过程的概括；产品的规格限，包括上规格限 TU 和下规格限 TL。【知识模块】 随机变量及其分布3 【正确答案】 D
17、【试题解析】 XN(100，2 2)，则(X-100)/2 N(0，1 2)，合格品率为：【知识模块】 随机变量及其分布4 【正确答案】 A【试题解析】 不合格产品的尺寸范围是(-，64)(76，+) 。因此，不合格品率为：【知识模块】 随机变量及其分布5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 随机变量及其分布6 【正确答案】 C【试题解析】 区间(a，b)上的均匀分布的概率密度函数为 ，所以 。【知识模块】 随机变量及其分布7 【正确答案】 B【试题解析】 对数正态分布的特点之一就是“右偏分布”，符合右偏分布的随机变量的取值大量在左边，少量取值在右边，并且很分散。【知识模块】 随机变量
18、及其分布8 【正确答案】 C【试题解析】 对数正态分布的随机变量具有的共同特点包括：随机变量都在正半轴上取值；大量取值在左边，少量取值在右边，并且很分散，这样的分布又称“右偏分布”；最重要的特征是，这些随机变量经对数变换后服从正态分布；若记正态分布的均值为 Y，方差为 ，相应的对数正态分布的均值 X。与方差分别为= X=E(X)=exp(Y+ 和 =Var(X)=2 Xexp -1；为求对数正态变量 X 有关事件的概率，可经对数变换后求相应正态事件的概率。【知识模块】 随机变量及其分布9 【正确答案】 B【试题解析】 由已知条件得：lnXN(5，2 2)，所以(lnX-5)/2N(0，1)，故
19、【知识模块】 随机变量及其分布10 【正确答案】 B【试题解析】 参数 =0.4 的指数分布 X 的均值为 E(X)=1/=1/0.4=2.5，方差为Var(X)=1/2=1/0.42=6.25，则样本均值的方差为：故样本均值的标准差为： 。【知识模块】 随机变量及其分布11 【正确答案】 B【试题解析】 P(5X20)= 。【知识模块】 随机变量及其分布12 【正确答案】 D【试题解析】 电子元件正常寿命的概率密度函数为：p(x)=0.1e -0.1x，x0，可用时间在 100 小时之内的概率 P=P(X100)= 。【知识模块】 随机变量及其分布13 【正确答案】 B【试题解析】 A 项两
20、点分布的方差为 p(1-p)；C 项均匀分布的方差为(b-a) 2/12；D项对数正态分布的方差为 。【知识模块】 随机变量及其分布14 【正确答案】 B【试题解析】 由题意总体标准差为 =2，则样本量为 4 的样本均值 的标准差为。【知识模块】 随机变量及其分布15 【正确答案】 A【试题解析】 若总体服从正态分布，无论样本量大小，其样本均值 X 都服从正态分布。【知识模块】 随机变量及其分布16 【正确答案】 B【试题解析】 对于 XN(1，4)分布，知 N(1 ，0.5 2)，可转化为 U=( -1)/0.5N(0 ， 1)，则可得 P(0 2)=(2-1)/0.5-(-1/0.5)=2
21、(2)-1。【知识模块】 随机变量及其分布17 【正确答案】 B【试题解析】 AC 两项成立的前提条件是多个随机变量必须相互独立且同分布；D 项要求这些随机变量相互独立。【知识模块】 随机变量及其分布二、多项选择题每题 2 分。每题的备选项中，有 2 个或 2 个以上符合题意，至少有 1 个错项。错选，本题不得分；少选，所选的每个选基得 0.5 分。18 【正确答案】 A,D【试题解析】 因为 XU(0，1)，故有 E(X)= =0.5，Var(X)= ，从而 E(Y)= =120.5-6=0 Var(Y)=【知识模块】 随机变量及其分布19 【正确答案】 A,E【试题解析】 E(Y)=E(4
22、X1-2X2)=4E(X1)-2E(X2)=43-24=4 ； Var(Y)=Var(4X1-2X2)=42Var(X1)+(-2)2Var(X2)=161+42=24。【知识模块】 随机变量及其分布20 【正确答案】 A,B,C【试题解析】 二项分布的随机现象满足的条件包括：重复进行 n 次随机试验；n 次试验间相互独立，即一次试验结果不对其他次试验结果产生影响；每次试验仅有两个可能结果；每次试验成功的概率均为 p，失败的概率均为 1-p。【知识模块】 随机变量及其分布21 【正确答案】 A,B,C【知识模块】 随机变量及其分布22 【正确答案】 A,B,C,E【试题解析】 正态曲线是一个倒
23、置的钟形曲线，正态分布的均值决定正态曲线的位置，标准差决定其形状；正态分布的标准差越大，分布越分散；反之亦然。【知识模块】 随机变量及其分布23 【正确答案】 A,C,D【试题解析】 B 项，正态分布的两个参数应分别是 和 ，但表示时用 2 表示，记为 N(，2)；E 项，均值 不变时，相同的标准差对应的正态曲线的位置相同，形状相同，当标准差不同时，形状也不同。【知识模块】 随机变量及其分布24 【正确答案】 A,B,C,D【试题解析】 若 XN(1， )，Y-N(2， )，X 与 Y 相互独立，则(X+Y)N(1，+2， + )。【知识模块】 随机变量及其分布25 【正确答案】 A,B,C,
24、E【试题解析】 P(0Ua)=(a)-(0)=(a)-0.5。【知识模块】 随机变量及其分布26 【正确答案】 A,B,C【试题解析】 对于标准正态分布有 (-a)=1-(a)，P(Xa)=(a)，P(Xa)=1-(a)。【知识模块】 随机变量及其分布27 【正确答案】 A,B,C,E【试题解析】 根据正态分布的对称性，知 u1-=-u、 ，且当 0.5 时，u 0。【知识模块】 随机变量及其分布28 【正确答案】 A,C,D,E【知识模块】 随机变量及其分布29 【正确答案】 A,D【试题解析】 因为 USL 与 LSL 为 X 的上、下规格限，所以 LSLXUSL。因此，当 XUSL 或
25、XLSL 时，X 为不合格品。从而可知 PL=P(XLSL)=( )，PU=P (XUSL)=1-P(xUSL)=1-( )。【知识模块】 随机变量及其分布30 【正确答案】 A,B,C,E【试题解析】 在正态分布 XN(， 2)中，正态分布的中心 与规范中心M=(TL+TU)/2 重合时，若规范限取为 k，其中 A 为某个实数，则有： 合格品率=P(X- k)=2(k)-1；不合格品率=P(x-k)=21-(k)；对k=1，2，3， 4，5，6，具体计算结果如图 1.2-2 所示，其中不合格品率用 ppm(10-6)单位表示。 规范限 合格品率(%) 不合格品率 (ppm) 68.27 31
26、7300 2 95.45 45500 3 99.73 2700 4 99.9937 63 5 99.999943 0.57 6 99.9999998 0.002 图 1.2-2 在正态分布中心与规范中心重合时， X 超出规格限 k(k=1，2，6)的不合格品率【知识模块】 随机变量及其分布31 【正确答案】 A,B,E【试题解析】 C 项超几何分布的方差为 n(N-n)/(N-1).M/N.(n-M)/n；D 项正态分布的方差为 2。【知识模块】 随机变量及其分布32 【正确答案】 C,D【试题解析】 因 Xi=(i=1，2，16)为正态总体 N(0，4)的样本，所以其均值也服从正态分布，且均
27、值为 0，标准差为 ；将 =0，=1/2 代入正态分布的概率密度函数 p(x)= ，-x ，可得 的概率密度为 。【知识模块】 随机变量及其分布三、综合分析题每题 2 分，由单选和多选组成。错选，本题不得分；少选，所选的每个选项得 0.5分。【知识模块】 随机变量及其分布33 【正确答案】 B【试题解析】 设第 i 袋茶叶的净重为 Xi，一大箱茶叶的净重为 X，则X=X1+X2+X3+X20 且 X 服从正态分布。E(X)=E(X1+X2+X3+X20)=E(X1)+E(X2)+E(X20)=2000；Var(X)=Var(X1+X2+X3+X20)=Var(X1)+Var(X2)+Var(X200)=500，所以 XN(2000，500)。【知识模块】 随机变量及其分布34 【正确答案】 A【试题解析】 由上知 XN(2000，500)，(X-2000)/10 N(0，1)，则：【知识模块】 随机变量及其分布
