1、1第十六章 动量守恒定律专题整合深化提升 考点一 动量与其他力学知识的综合考查【典例】随着机动车数量的增加,交通安全问题日益凸显。分析交通违法事例,将警示我们遵守交通法规,珍惜生命。一货车严重超载后的总质量为 49t,以 54km/h 的速率匀速行驶。发现红灯时司机刹车,货车即做匀减速直线运动,加速度的大小为 2.5m/s2(不超载时则为5m/s2)。(1)若前方无阻挡,问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远?(2)若超载货车刹车时正前方 25m 处停着总质量为 1t 的轿车,两车将发生碰撞,设相互作用0.1s 后获得相同速度,问货车对轿车的平均冲力多大?【解析】(1)货车初速度
2、v0=54km/h=15m/s超载时加速度 a1=2.5m/s2,则滑行距离x1= = m=45m15222.5不超载时加速度 a2=5m/s2,则滑行距离x2= = m=22.5m。(2)设两车碰撞前货车的速度为 v1,则由 - =-2a1x 解得 v1=10m/s设两车碰后达到的共同速度为 v2,由动量守恒定律知m1v1=(m1+m2)v2代入数据得 v2=9.8m/s设货车对轿车的平均冲力为 F,对轿车由动量定理知Ft=m2v2-0解得 F=9.8104N。答案:(1)45m 22.5m (2)9.810 4N【考点归纳】运用牛顿运动定律、能量、动量的观点是解决动力学问题的三条重要途径。
3、1.力学观点:牛顿运动定律和运动学公式,力的瞬时性。2(1)适用的对象是单个质点做匀变速直线运动和曲线运动。(2)解题的关键是受力分析和运动情境分析。分析各个分力的大小和方向,求解合力的大小和方向,分析初末状态的速度,利用时间、位移求加速度,在多过程问题中要注意力的变化,过程与过程的关联,多对象问题注意对象之间的关联。2.能量观点:动能定理,机械能守恒定律,能量守恒定律,力对空间的积累。(1)适用的对象:单个质点或系统,适用于一切运动形式。(2)受力分析和运动情境分析:分析各个做功的分力的大小和方向,看除重力和弹簧的弹力以外的其他力是否做功,分析初速度和末速度,分析位移和位置变化(高度差和形变
4、量),不必分析时间、加速度,分析有哪些能量增或减,多过程问题往往可以看作一个过程,多对象问题注意对象之间的速度和位移关联。3.动量的观点:动量定理,动量守恒定律,力对时间的积累。(1)适用的对象是单个质点或系统,适用于一切运动形式、所有参考系。(2)受力分析和运动分析:分析各个力的大小和方向,求合力的冲量;或分析外力之和,看是否满足动量守恒的条件,分析初速度和末速度,不必分析位移、加速度。【对点训练】(2016全国卷)某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一质量为 M 的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见,假设水柱从横截面积为 S 的喷口持续以速度 v0竖直向上喷出;玩具底部为平板(面积略
5、大于 S);水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向水的速度变为零,在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为 ,重力加速度大小为 g。求:(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量。(2)玩具在空中悬停时,其底面相对于喷口的高度。【解析】(1)设 t 时间内,从喷口喷出的水的体积为 V,质量为 m,则m=V V=v 0St 由式得,单位时间内从喷口喷出的水的质量为=v 0S (2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为 h,水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为 v。对于 t 时间内喷出的水,由能量守恒得3(m)v 2+(m)gh= (m) v20在 h 高度处,t 时间内喷射到玩具底面的水沿竖
6、直方向的动量变化量的大小为 p=(m)v 设玩具对水的作用力的大小为 F,根据动量定理有Ft=p 由于玩具在空中悬停,由力的平衡条件得F=Mg 联立式得 h= -答案:(1)v 0S (2) -【补偿训练】(2018菏泽高二检测)在光滑的水平面上,一质量为 mA=0.1kg 的小球 A,以 8m/s 的初速度向右运动,与质量为 mB=0.2kg 的静止小球 B 发生正碰。碰后小球 B 滑向与水平面相切、半径 R=0.5m 的竖直放置的光滑半圆形轨道,且恰好能通过最高点 N 后水平抛出。g 取10m/s2。求:(1)碰撞后小球 B 的速度大小。(2)碰撞过程中系统的机械能损失。【解析】(1)小球
7、 B 恰好能通过圆形轨道最高点,在最高点有 mBg=mB解得 vN= m/s5小球 B 从轨道最低点 M 运动到最高点 N 的过程中机械能守恒,有 mB =12242mBgR+ mB122联立解得 vM=5m/s因为水平面光滑,所以碰撞后小球 B 的速度vB=vM=5m/s(2)碰撞过程中动量守恒,有 mAv0=mAvA+mBvB解得 vA=-2m/s碰撞过程中损失的机械能为E= mA - mA - mB =0.5J答案:(1)5m/s (2)0.5J考点二 碰撞模型的规律及应用【典例】A、B 两球在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动,m A=1kg,mB=2kg,vA=6m/s,vB=2m
8、/s。当 A 追上 B 并发生碰撞后,A、B 两球速度的可能值是( )A.v A=5m/s,v B=2.5m/sB.v A=2m/s,v B=4m/sC.v A=-4m/s,v B=7m/sD.v A=7m/s,v B=1.5m/s【解析】选 B。虽然题给四个选项均满足动量守恒定律,但 A、D 两项中,碰后 A 的速度 v A大于 B 的速度 v B,必然要发生第二次碰撞,不符合实际,即 A、D 项错误;C 项中,两球碰后的总动能 = mAv + mBv =57J,大于碰前的总动能 =22J,违背了能量守恒,选E后 2 2 E前项 C 错误;而 B 项既符合实际情况,也不违背能量守恒,选项 B
9、 正确。【考点归纳】1.碰撞问题:(1)弹性碰撞的求解及结论。求解:两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒。以质量为 m1、速度为 v1的小球与质量为 m2的静止小球发生正面弹性碰撞为例,则有m1v1=m1v1+m 2v25m1 = m1v1 2+ m2v2 2解得:v 1= ,v2=2111+2结论:当两球质量相等时,v 1=0,v 2=v 1,两球碰撞后交换了速度。当质量大的球碰质量小的球时,v 10,v 20,碰撞后两球都沿速度 v1的方向运动。当质量小的球碰质量大的球时,v 10,碰撞后质量小的球被反弹回来。(2)解析碰撞的三个依据。动量守恒:p 1+p2=p1+p 2。动能不增加
10、:E k1+Ek2E k1+E k2或 + + 。p1221p2222p1221p2222速度要符合情景。(3)速度要合理。若碰前两物体同向运动,则应有 v 后 v 前 ,碰后原来在前的物体速度一定增大,若碰后两物体同向运动,则应有 v 前 v 后 。碰前两物体相向运动,碰后两物体的运动方向不可能都不改变。2.爆炸现象的三条规律:(1)动量守恒:由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于系统受到的外力,所以在爆炸过程中系统的总动量守恒。(2)动能增加:在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加。(3)位置不变:爆炸和碰撞的时间极短,
11、因而在作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸或碰撞后仍然从爆炸或碰撞前的位置以新的动量开始运动。【对点训练】在粗糙的水平桌面上有两个静止的木块 A 和 B,两者相距为 d。现给 A 一初速度,使 A 与 B 发生弹性正碰,碰撞时间极短。当两木块都停止运动后,相距仍然为 d。已知两木块与桌面之间的动摩擦因数均为 ,B 的质量为 A 的 2 倍,重力加速度大小为 g。求 A 的初速度的大小。6【解析】设在发生碰撞前的瞬间,木块 A 的速度大小为 v;在碰撞后的瞬间,A 和 B 的速度分别为 v1和 v2。在碰撞过程中,由能量和动量守恒定律,得 mv2= m + (2m) mv
12、=mv1+(2m)v2 式中,以碰撞前木块 A 的速度方向为正。由式得v1=- v22设碰撞后 A 和 B 运动的距离分别为 d1和 d2,由动能定理得-mgd 1=0- m -(2m)gd 2=0- (2m) 按题意有 d=d1+d2 设 A 的初速度大小为 v0,由动能定理得-mgd= mv2- m 联立至式,得 v0= 285答案:285【补偿训练】1.(多选)质量都为 m 的小球 a、b、c 以相同的速度分别与另外三个质量都为 M 的静止小球相碰后,a 球被反向弹回,b 球与被碰球结合在一起仍沿原方向运动,c 球碰后静止,则下列说法正确的是( )A.m 一定小于 MB.m 可能等于 M
13、C.b 球与质量为 M 的球组成的系统损失的动能最大D.c 球与质量为 M 的球组成的系统损失的动能最大【解析】选 A、C。若小球 a 与质量为 M 的小球发生弹性碰撞,根据动量守恒、能量守恒,碰7撞后 m 的速度 v1= v0,M 的速度 v2= v0,因为碰撞后 m 的速度反向,则 mM,故 A 正确,B 错误。b 球与被碰球结合在一起运动,发生完全非弹性碰撞,损失的动能最大,故 C 正确,D 错误。故选 A、C。2.(2018太原高二检测)如图所示,质量相等的五个物块在光滑水平面上,间隔一定距离排成一条直线。具有初动能 E0的物块 1 向其他 4 个静止的物块运动,依次发生碰撞,每次碰撞
14、后不再分开。最后 5 个物块粘成一个整体。这个整体的动能等于( )A.E0 B. E0 C. E0 D. E045 15【解析】选 C。对整个系统研究,整个过程运用动量守恒定律得,mv 0=5mv,解得 v= ,因为v05E0= m ,则整体的动能 Ek= 5mv2= m = E0。故 C 正确,A、B、D 错误。故选 C。110考点三 动量守恒在滑块滑板模型中的综合应用【典例】(2016天津高考)如图所示,方盒 A 静止在光滑的水平面上,盒内有一小滑块 B,盒的质量是滑块的 2 倍,滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为 。若滑块以速度 v 开始向左运动,与盒的左、右壁发生无机械能损失的碰撞,滑块
15、在盒中来回运动多次,最终相对于盒静止,则此时盒的速度大小为_;滑块相对于盒运动的路程为_。【解题指南】解答本题时应从以下两点进行分析:(1)滑块和方盒组成的系统动量守恒。(2)系统克服摩擦力做的功等于机械能的减少量。【解析】设滑块质量为 m,则盒子的质量为 2m。对整个过程,由动量守恒定律可得:mv=3mv 共解得 v 共 =8由能量关系可知:mgx= mv2- 3m( )2解得 x=v23答案: v23【考点归纳】一、同一水平面内的滑块、滑板问题1.第一种情况:(1)情景描述:质量为 M 的滑板 A 静止在光滑水平面上,质量为 m 的滑块 B 以初速度 v0冲上滑板,A、B 间存在摩擦力,最
16、终共速于滑板右端。(如图所示)(2)理论分析。对滑块:-F f=ma1对滑板:F f=Ma2 F f=F f=mg由动量定理:-F ft=mv-mv0 F ft=Mv系统动量守恒:mv 0=(m+M)v功能关系: m - (m+M)v2=FfL2.第二种情况:(1)情景描述:质量分别为 m、M 的滑块 A、滑板 B 以相等的速率 v0相向运动,滑块 A 在滑板B 上从右端开始运动,地面光滑,A、B 间存在摩擦力,mM,最终 A 没有滑离滑板 B。(2)理论分析:滑块先向左做匀减速运动,再向右做匀加速运动,最后共速;滑板一直做匀减速运动。由动量守恒和能量守恒得(M-m)v 0=(m+M)v(m+
17、M) - (m+M)v2=Q摩擦力对 A 先做负功后做正功;摩擦力对 B 一直做负功,A 向左运动速度减为零时,到达最远9处,滑板移动位移为 s,有 Mv0-mv0=Mv,对滑板:-mgs= Mv 2- M 。二、不在同一水平面内的滑块、滑板问题1.第一种情况:(1)情景描述:质量为 M 的滑板车静止在光滑水平面上,质量为 m 的滑块从 A 点由静止释放,经 光滑圆弧轨道运动至粗糙水平表面 BC 上,最终相对静止于 B、C 之间的 D 点,B、D 相距为 x。(2)理论分析:A 到 B 过程,系统机械能守恒,动量不守恒,水平方向动量守恒。B 到 D 过程,动量守恒,机械能不守恒。全过程能量守恒
18、,有 mgx=mgR。2.第二种情况:(1)情景描述:质量为 m 的滑块从 A 点正上方某处无初速度下落,恰好落入滑板车圆弧轨道滑动,然后沿水平轨道滑至轨道末端 C 处恰好没有滑出,已知圆弧轨道光滑,BC 面粗糙,地面光滑。(2)理论分析:其开始下落处的位置距 BC 的竖直高度为 h,由机械能守恒定律,有 mgh= mv2,在 B 点 F-mg=m (超重);在 BC 段,动量守恒,有 mv=(m+M)v;对滑块和滑板车可分别利用v2动能定理求出对地位移。3.第三种情况:(1)情景描述:质量为 m 的滑块 B 从滑板 A 的右端以水平初速度 v0滑上 A,B 滑到滑板 A 的左端并沿着圆弧部分
19、上滑一段弧长后返回,最终停止在滑板 A 上,已知地面光滑,滑板 A 的水平表面和圆弧表面粗糙。10(2)理论分析。水平方向动量守恒:mv 0=(m+M)v整个过程机械能不守恒,但是能量守恒,其中摩擦生热分为水平面和圆弧面两个部分。【对点训练】如图所示,光滑水平面上有一质量 M=4.0kg 的平板车,车的上表面是一段长 L=1.0m 的粗糙水平轨道,水平轨道左侧连一半径 R=0.25m 的 光滑圆弧轨道,圆弧轨道与水平轨道在 O点相14切。车右端固定一个尺寸可以忽略、处于锁定状态的压缩弹簧,一质量 m=1.0kg 的小物块紧靠弹簧放置,小物块与水平轨道间的动摩擦因数 =0.5。整个装置处于静止状
20、态。现将弹簧解除锁定,小物块被弹出,恰能到达圆弧轨道的最高点 A。g 取 10m/s2。求:(1)解除锁定前弹簧的弹性势能。(2)小物块第二次经过 O点时的速度大小。(3)小物块与车最终相对静止时距 O点的距离。【解析】(1)平板车和小物块组成的系统,水平方向动量守恒,解除锁定前,总动量为零,故小物块到达圆弧最高点 A 时,二者的共同速度 v 共 =0设弹簧解除锁定前的弹性势能为 Ep,上述过程中系统能量守恒,则有Ep=mgR+mgL代入数据解得 Ep=7.5J(2)设小物块第二次经过 O时的速度大小为 vm,此时平板车的速度大小为 vM,研究小物块在平板车圆弧面上的下滑过程,由系统动量守恒和
21、机械能守恒有0=mvm-MvMmgR= m + Mv2代入数据解得 vm=2m/s(3)最终平板车和小物块相对静止时,二者的共同速度为 0。11设小物块相对平板车滑动的路程为 s,对系统由能量守恒有Ep=mgs代入数据解得 s=1.5m则距 O点的距离 x=s-L=0.5m答案:(1)7.5J (2)2m/s (3)0.5m【补偿训练】质量为 M=4.0kg 的平板小车静止在光滑的水平面上,如图所示,当 t=0 时,两个质量分别为mA=2kg、m B=1kg 的小物体 A、B 都以大小为 v0=7m/s,方向相反的水平速度,同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时,没有相碰
22、,A、B 与车间的动摩擦因数=0.2,g 取 10m/s2,求:(1)A 在车上刚停止滑动时,A 和车的速度大小。(2)A、B 在车上都停止滑动时车的速度及车已经运动的时间。【解题指南】(1)A 在车上刚停止运动时,A 与车的速度相同,根据牛顿第二定律分别求出A、B 的加速度,通过运动学公式求出 A 在车上刚停止运动时的时间和速度。(2)当 A、B 都停止运动时,系统动量守恒,根据动量守恒求出 A、B 在车上都停止滑动时车的速度,抓住当 A 与小车速度相同时,A 与车之间将不会相对滑动,对 B 研究,结合牛顿第二定律和运动学公式求出 B 再与小车相对静止所需的时间,从而得出总时间。【解析】(1
23、)当 A 和 B 在车上都滑行时,在水平方向它们的受力分析如图所示:由受力图可知,A 向右减速,B 向左减速,小车向右加速,所以首先是 A 速度减小到与小车速度相等。设 A 减速到与小车速度大小相等时,所用时间为 t1,其速度大小为 v1,则:v1=v0-aAt1,m Ag=mAaA v1=a 车 t1,m Ag-m Bg=Ma 车 由联立得:v 1=1.4m/s,t1=2.8s(2)根据动量守恒定律有:mAv0-mBv0=(M+mA+mB)v 12v=1m/s总动量向右,当 A 与小车速度相同时,A 与车之间将不会相对滑动。设再经过 t2时间小物体 A 与 B、小车速度相同,则:-v=v1-aBt2,m Bg=mBaB 解得:t 2=1.2s所以 A、B 在车上都停止滑动时,车的运动时间为t=t1+t2=4.0s答案:(1)1.4m/s (2)1m/s 4.0s
