1、1选修 4-4 坐标系与参数 方程(建议用时:30 分钟)1.在直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 (t为参数,00 时,联立 解得交点 ,当 =0 时,经检验(0,0)满足两方程,当 0,故 t1与 t2同号62+13+ = + = = =1| 1| 1|1| 1|2|= ,43|(+3)|所以 = 时, 有最大值 .6 43|(+3)| 43此时方 程的 =340,故 + 有最大值 .1| 1| 433.已知曲线 C1的参数 方程为 ( 为参数),以平面直角坐标系 xOy的原点 O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos = .2(1)求曲线 C2
2、的直角坐标方程及曲线 C1上的动点 P到坐标原点 O的距离|OP|的最大值.(2)若曲线 C2与曲线 C1相交于 A,B两点,且与 x轴相交于点 E,求|EA|+|EB|的值.【解析】(1)由 cos = 得 2 (22- 22)= ,即曲线 C2的直角坐标方程为 x-y-2=0.2根据题意得 |OP|= = , 82+1因此曲线 C1上的动点 P到原点 O的距离|OP|的最大值为|OP| max=3.(2)由(1)知直线 x-y-2=0与 x轴交点 E的坐标为(2,0),曲线 C2的参数方程为:(t为参数),曲线 C1的直角坐标方程为 +y2=1,=22+2=22 29联立得 5t2+2 t
3、-5=0.2又|EA|+|EB|=|t 1|+|t2|,所以|EA|+|EB|=|t 1-t2|= = .63544.已知直线 l的参数方程为 (t为参数,aR),曲线 C的极坐标方程为=- 22=+22sin 2 =4cos .(1)分别将直线 l的参数方程和曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2)若直线 l经过点(0,1),求直线 l被曲线 C截得线段的长.【解析】(1)显然 y=-x+ax+y-a=0,由 = 可得 2sin2 =4cos ,即 y2=4x.42(2)因为直线 l 过(0,1),则 a=1.将直线 l的参数方程代入 y2=4x得 t2+6 t+2=0,2由直线参数方程
4、的几何意义可知,|AB|=|t1-t2|= = =8.(建议用时:30 分钟)1.在平面直角坐标系 xOy中,圆 O的方程为 x2+y2=4,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程是 2cos 2=1.(1)求圆 O的参数方程和曲线 C的直角坐标方程.(2)已知 M,N是曲线 C与 x轴的两个交点,点 P为圆 O上的任意一点,证明:|PM| 2+|PN|2为定值.【解析】(1)圆 O的参数方程为 ,( 为参数),=2=2由 2cos 2=1 得: 2(cos2 -sin 2 )=1,即 2cos2 - 2sin2 =1,所以曲线 C的直角坐标方程为 x2-y2
5、=1.5(2)由(1)知可取 M(-1,0),N(1,0),可设 P(2cos ,2sin ),所以|PM| 2+|PN|2=(2cos +1)2+(2sin ) 2+(2cos -1) 2+(2sin ) 2=5+4cos +5-4cos =10,所以|PM| 2+|PN|2为定值 10.2.已知在极坐标系中,点 A ,B ,C是线段 AB的中点,以极点为原点,极(23,23)轴为 x轴的正半轴,并在两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐 标系,曲线 的参数方程是 ( 为参数).(1)求点 C的直角坐标,并求曲线 的普通方程.(2)设直线 l过点 C交曲线 于 P,Q两点,求 的 值.【
6、解析】(1)将点 A,B的极坐标化为直角坐标,得A( ,1)和 B(- ,3).所以点 C的直角坐标为(0,2).3 3将 消去参数 ,得 x2+(y+2)2=4,即为曲线 的普通方程.=2,=-2+2(2)方法一:直线 l的参数方程为 (t为参数, 为直线 l的倾斜角)=,=2+,代入 x2+(y+2)2=4,整理得:t 2+8tsin +12=0.设点 P,Q对应的参数值分别为 t1,t2.则 t1t2=12, =| | |=|t1t2|=12.方法二:过点 C作圆 O1:x2+(y+2)2=4的切线,切点为 T,连接 O1T,由平面几何知识得: =| | |=|CT|2=|CO1|2-R
7、2=16-4=12,所以 =12.3.在平面直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 以 O为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 = (R).36(1)写出曲线 C的普通方程及直线 l的直角坐标方程.(2)过点 M且平行于直线 l的直线与曲线 C交于 A,B两点,若|MA|MB|=2,证明点 M在一个椭圆上.【解析】(1) l:y= x,C: +y2=1.323(2)设过点 M(x0,y0)且平行于直线 l的直线的参数方 程为 (t为参数),=0+12=0+32由 +3 =3,得: t2+(x0+(0+12)2 523 y0)t+ +3 -3=0.3所以|MA|
8、MB|=|t 1t2|= =2,得 +3 =8.即点 M落在椭圆2|20+320-3|5x2+3y2=8上.4.平面直角坐标系中,直线 l的参数方程为 ,(t为参数).以原点为极点,=+1=3+1x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 = .(1)写出直线 l的极坐标方程与曲线 C的直角坐标方程.(2)已知与直线 l平行的直线 l过点 M(2,0),且与曲线 C交于 A,B两点,试求|AB|.【解析】(1)将 x=cos ,y=sin 代入直线方程得cos -sin - +1=0,3由 = 可得 2(1-cos2 )=2cos ,21-2曲线 C的直角坐标方程为 y2=2x.(2)直线 l的倾斜角为 ,所以直线 l的倾斜角也为 ,又直线 l过点 M(2,0),3 37所以直线 l的参数方程为 (t为 参数),将其代入曲线 C的直角坐标方程可得3t 2-4t-16=0,设点 A,B对应的参数分别为 t 1,t 2.由一元二次方程的根与系数的关系知 t 1t 2=- ,t 1+t 2= ,43所以|AB|=|t 1-t 2|= = .(43)2+1643 4133
