1、1专题二 数列高频考点真题回访1.(2017全国卷)记 Sn为等差数列a n的前 n 项和.若 a4+a5=24,S6=48,则a n的公差为( )A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选 C.设公差为 d,则 a4+a5=a1+3d+a1+4d=24,S6=6a1+ d=48,联立得3-得 d=24,6d=24,所以 d=4.(21-15)2.(2016全国卷)已 知等差数列a n前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100= ( )A.100 B.99 C.98 D.97【解析】选 C.由等差数列性质可知:S9= = =27,故 a5=3,而 a10=8,9252因此公差 d= =1,
2、所以 a100=a10+90d=98.10-510-53.(2016天津高考)设a n是首项为正数的等比数列,公比为 q,则“q0”是“S4+S62S5”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 C.由等差数列的前 n 项和公式,S n= n2+ n 得2 (1-2)S4=6d+4a1,S5=10d+5a1,S6=15d+6a1,所以 S4+S6-2S5=d,S4+S62S5等价于 d0,所以“d0”是“S 4+S62S5”的充分必要条件.5.(2017 全国卷)等差数列a n的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列
3、则a n前 6 项的和为 ( )2A.-24 B.-3 C.3 D.8【解析】选 A.设等差数列的公差为 d,d0, =a2a6(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d 0),所以 d=-2,所以 S6=61+ (-2)=-24.6.(2017江苏高考)等比数列a n的各项均为实数,其前 n 项的和为 Sn,已知 S3= ,S6= ,74则 a8=_. 【解析】当 q=1 时 ,显然不符合题意;当 q1 时,解得 则 a8= 27=32.1=14,=2, 14答案:327.(2016全国卷)设等比数列a n满足 a1+a3=10,a2+a4=5,则 a1a2an的最大值为_.
4、 【解析】由于a n是等比数列,设 an=a1qn-1,其中 a1是首项,q 是公比.所以 解得:1=8,=12.故 an= ,所以 a1a2an= = .当 n=3 或 4 时, 取到最小值-6,12(-72)2-4943此时 取到最大值 26.所以 a1a2an的最大值为 64.答案:648.(2018全国卷)已知数列 满足 a1=1,nan+1=2 an,设 bn= .(1)求 b1,b2,b3.(2)判断数列 是否为等比数列,并说明理由.(3)求 的通项公式.【解析】(1)由条件可得 an+1= an.将 n=1 代入得,a 2=4a1,而 a1=1,所以,a 2=4.将 n=2 代入
5、得,a 3=3a2,所以,a 3=12.从而 b1=1,b2=2,b3=4.(2)数列b n是首项为 1,公比为 2 的等比数列.理由如下:由条件可得 = ,即 bn+1=2bn,又 b1=1,+1+1所以数列b n是首项为 1,公比为 2 的等比数列.(3)由(2)可得 =2n-1,所以 an=n2n-1.9.(2018全国卷)记 Sn为等差数列a n的前 n 项和,已知 a1=-7,S3=-15.(1)求a n的通项公式.(2)求 Sn,并求 Sn的最小值.【解析】(1)设等差数列a n的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15.由 a1=-7 得 d=2.所以a n的通项公式为 an=
6、2n-9.(2)由(1)得 Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当 n=4 时,S n取得最小值,最小值为-16.10.(2018全国卷)在等比数列 中,a 1=1,a5=4a3.(1)求 的通项公式.(2)记 Sn为 的前 n 项和.若 Sm=63,求 m.【解析】(1)设等比数列a n的公比为 q,由题设得 an=qn-1.由已知得 q4=4q2,解得 q=0(舍去),q=-2 或 q=2.故 an=(-2)n-1或 an=2n-1.4(2)若 an=(-2)n-1,则 Sn= .1-(-2)3由 Sm=63 得(-2) m=-188,此方程没有正整数解.若 an=2n-1,则 Sn=2n-1.由 Sm=63 得 2m=64,解得 m=6.综上,m=6.
