1、1专题综合检测练（二）(120 分钟 150 分)第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018泉州一模)已知a n是等比数列,a 1=1,a3=2,则 =( )A.1 B.2 C.4 D.8【解析】选 C.因为a n是等比数列,a 1=1,a3=2,所以 q2= =2,所以 =q4=4.312.在等差数列a n中,已知 a3+a7=10,则数列a n的前 9 项和为 ( )A.90 B.100 C.45 D.50【解析】选 C. 因为等差数列a n中,a 3+a7=10,所以 a5=5,所以 S
2、9=9a5=45.3.已知首项与公比相等的等比数列a n中,满足 am = (m,nN *),则 + 的最小值为2 21( )A.1 B. C.2 D.32 92【解析】选 A.因为首项与公比相等的等比数列a n,所以 an=qn,所以 qm(qn)2=q8,所以 m+2n=8,所以 + = = =1.214.(2018广州一模)等差数列 log3 ,log3 ,log3 ,的第四项等于(2) (3) (4+2)( )A.3 B.4C.log318 D.log3242【解析】选 A.因为等差数列 log3 ,log3 ,log3 ,(2) (3) (4+2)所以(3x) 2=2x(4x+2),
3、所以 x=4,所以第四项为 log38+3(log312-log38)=3.5.已知 是等比数列,若 a1=1,a6=8a3,数列 的前 n 项和为 Tn,则 T5= ( )1A. B.31 C. D.73116【解析】选 A.设等比数列的公比为 q,则 q5=8q2,所以 q=2,所以 an=2n-1,所以 =,所以 T5= = .1-(12)51-12 31166.已知等比数列a n满足 a1=2,a2+a3=4,则 a4+a5+a6= ( )A.-48 B.48C.48 或-6 D.-48 或 6【解析】选 D.设等比数列的公比为 q,则 2q+2q2=4,所以 q=1 或 q=-2,所
4、以a4+a5+a6=2q3+2q4+2q5=6 或-48.7.递增的等比数列a n的每一项都是正数,设其前 n 项的和为 Sn,若 a2+a4=30, a1a5=81,则S6= ( )A.121 B.-364 C.364 D.-121【解析】选 C.因为 a2a4=a1a5=81,所以 a2,a4是方程 x2-30x+81=0 的两个根,又 a20,a1a2= ,S5=10.32(1)求数列 的通项公式.(2)记数列 bn= 求数列 的前 2n+1 项和 T2n+1.【解析】(1)由条件可得:1(1+)=32,51+542 =109消去 d 得: +2a1-3=0,解得 a1=1 或 a1=-
5、3(舍),所以 d= ,所以 an= .12(2)由(1)得:b n=所以数列b n的前 2n+1 项和为:T2n+1=b1+b2+b3+b4+b2n+b2n+1=2+ +22+ + +2n+1=(2+22+23+2n+1)+ 32 52 2+12= + n=2n+2+ -2.32+2+122 2+2220.(12 分)(2018西安二模)设数列 是等差数列,数列 是各项都为正数的等比数列,且 a1=1,b1=2,a3+b3=11,a5+b5=37.(1)求数列 , 的通项公式.(2)设 cn=anbn,数列 的前 n 项和为 Tn,求证:T nn 22n-1+2.【解析】(1)设数列 的公差
6、为 d,数列 的公比为 q,依题意有 2+22=10,4+24=36,解得 又 bn0,所以 q=2,于是 an=a1+ d=n,bn=b1qn-1=2n.(2)易知 cn=n2n因为 Tn=12+222+323+n2n,2Tn=122+223+324+ 2n+n2n+1,10两式相减,得-T n=2+22+23+2n-n2n+1= 2n+1-2所以 Tn= 2n+1+2因为 Tn- =-2n-1 0,(-2)2所以 Tnn 22n-1+2.21.(12 分)(2018宜宾二模)已知首项为 1 的等差数列a n中,a 8是 a5,a13的等比中项.(1)求数列a n的通项公式.(2)若数列a
7、n是单调数列,且数列b n满足 bn= ,求数列b n的前项和 Tn.2+13【解析】(1)因为 a1=1,a8是 a5,a13的等比中项,a n是等差数列,所以(1+7d) 2=(1+4d)(1+12d),所以 d=0 或 d=2.所以 an=1 或 an=2n-1.(2)由(1)及a n是单调数列知 an=2n-1,所以 bn= = ,2+13 4+13所以 Tn= + + + 53 1333 4+13所以 Tn= + + + 13 4-33 4+13+1-得Tn= + + + - = - ,23 53 434+13+1734+73+1所以 Tn= - .724+72322.(14 分)在
8、各项均不相等的等差数列 中,已知 a4=5,且 a3,a5,a8成等比数列.(1)求 an.(2)设数列 的前 n 项和为 Sn,记 bn= ,求数列 的前 n 项和 Tn.11【解析】(1)设 的公差为 d(d0),由题意得解得所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)1=n+1.(2)由(1)知 Sn= ,所以 bn= = = -1所以Tn=b1+b2+bn= + + + =1-(12-13) ( 1-1-1)(1- 1+1)= ,+1所以 Tn= .+1【提分备选】1.(2018榆林一模)数列a n满足 a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nN *.(1)证明:数列
9、是等差数列 .(2)若 Tn=a1-a2+a3-a4+(-1)n+1an,求 T20.【解析】(1)由已知可得 = +1,+1+1即 - =1,+1+1所以 是以 =1 为首项,1 为公差的等差数列.11(2)由(1)得 =n,所以 an=n2,12因为 Tn=a1-a2+a3-a4+(-1)n+1an,所以 T20=12-22+32-42+(19)2-(20)2=-(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(20+19)(20-19)=-(3+7+39)=- =-210.2.已知a n是等差数列,b n是等比数列,其中 a1=b1=1,a2+b3=a4,a3+b4=a7.(1)求数列a n
10、与b n的通项公式.(2)记 cn= (a1+a2+an)(b1+b2+bn),求数列c n的前 n 项和 Sn.1【解析】(1)设数列a n的公差为 d,数列b n的公比为 q,由 a1=b1=1,得 an=1+(n-1)d,bn=qn-1,由 a2+b3=a4,a3+b4=a7,得 q2=2d,q3=4d,所以 d=q=2.所以a n的通项公式 an=2n-1,bn的通项公式 bn=2n-1.(2)由(1)可得 a1+a2+an=n2,b1+b2+bn=2n-1,故 cn= n2(2n-1)=n2n-n.1则 Sn=(12+222+n2n)-(1+2+n).令 Tn=12+222+323+n2n,则 2Tn=122+223+324+n2n+1,由-,得 Tn=n2n+1-(2+22+23+2n)=(n-1)2n+1+2.所以 Sn=(n-1)2n+1+2-(1+2+n)=(n-1)2n+1- +2.
