1、1小题标准练(十二)(40 分钟 80 分 )一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.著名数学家欧拉发现了复数的三角形式: eix=cos x+isin x(其中 i 为虚数单位,i 2=-1),根据这个公式可知, 表示的复数在复平面中所对应的点位于 ( )2 0194A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选 B.因为 =cos +isin =cos +isin =- +2 0194 34i,所以对 应的点为 在第二象限.(- 22,22)2.已知命题 p:xR,x 2+x-60D.xR,x
2、2+x-6 ,由此可以说明,甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲的方差小,故乙比甲更优秀.4.执行如图所示的程序框图 ,若输出的 b 的值为 4,则图中判断框内处应填 ( )A.2 B.3C.4 D.5【解析】选 A.当 a=1 时,b=1 不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=2,a=2;当 a=2 时,b=2 不满足输出条件,故应执行循环体,执行完循环体后,b=4,a=3;当 a=3 时,b=4满足输出条件,故应退出循环,故判断框内处应填 a2.5.在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,若 cos A+sin A- =0,则 的值是 ( )A.1 B
3、. C. D.2【解析】选 B.由 cos A+sin A- =0,2+得 sin sin =2,2 (+4) 2 (+4)3即 sin sin =1,又 1, 1,(+4) (+4)所以 sin =sin =1,A=B= ,C= ,所以 a=b= c, = .(+4) (+4) 4 2 26.等差数列a n中,a 3=5,a4+a8=22,则 的前 20 项和为 ( ) 1+1A. B. C. D.4041 2041 4243 2143【解析】选 B.因为 a4+a8=22,a3=5,所以 a1+2d=5,2a1+10d=22,解得 a1=1,d=2, an=2n-1,又因为 = = ,12
4、( 12-1- 12+1)所以其前 20 项和Sn= 1- + - + - = .12 131315 20417.已知 tan(+)= ,tan = ,那么 tan 等于 ( )25 14A. B. C. D.1318 1322 16【解析】选 C.因为 + +- =+,4 4所以 + =(+)- ,4所以 tan =tan =(+)-(-4)= .8.已知函数 f(x)=x2+bx+c,其中 0b4,0c4,记函数 f(x)满足条件4为事件 A,则事件 A 发生的概率为 ( )(2)12,(-2)4A. B. C. D.14 58 12 38【解析】选 C.由题意知,事件 A 所对应的线性约
5、束条件为 其对应的可行域如图中阴影部分所示,所以事件 A 的概率 P(A)= = .129.已知 x,y 均为正实数,且 + = ,则 x+y 的最小值为 ( )16A.24 B.32 C.20 D.28【解析】选 C.方法一:因为 + = 且 x0,y0,所以 x+y=6(x+2)+(y+2)16-4=6 2+ + -46(1+2+ 1+2) +2+2+2+2-4=20(当且仅当 x=y=10 时取等号).方法二:因为 + = ,且 x0,y0,由于(x+2)+(y+2)16(1+1) 2=4.所以 x+y+424,x+y20,即 x+y 最小值为 20(当且仅当(1+2+ 1+2)x=y=
6、10 时取等号).10.定义函数 y=f(x),xD,若存在常数 C,对任意的 x1D,存在唯一的 x2D,使得=C,则称函数 f(x)在 D 上的均值为 C.已知 f(x)=lg x,x10,100,(1)+(2)2则函数 f(x)=lg x 在 x10,100上的均值为 ( )5A. B. C. D.1032 34【解析】选 A. = =C,从而对任意的 x110,100,存在唯(1)+(2)2 (12)2一的 x210,100,使得 x1x2为常数.充分利用题中给出的常数 10,100.令x1x2=10100=1000,当 x110,100时,x 2= 10,100,由此得 C= = .
7、(12)2 3211.设直线 l:2x+y+2=0 关于原点对称 的直线为 l.若 l与椭圆 x2+ =1 的交点为 A、B,点 P 为椭圆上的动点,则使PAB 的面积为 的点 P 的个数为 ( )12A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.由已知求得 l:2x+y-2=0 与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中 A(0,2),B(1,0),所以|AB|= .所以顶点 P 到底边 AB 的距离 h= = .5 12|设与直线 l平行且距离为 的直线 l:2x+y+c=0(c -2).由两平行直线间距离公式,得 d= = = .所以 c=-1 或 c=-3.|+2|5两平行线为 2x+y-1
8、=0,2x+y-3=0.联立 对于方程组, 10,直线与2+-1=0,2+24=1, 2+-3=0,2+24=1. 椭圆有两个交点.对于方程组, 26e-3,此时 f(x)=t1有 2 个根,f(x)=t 2有 1 个根;综上,对任意 mR,方程均有 3 个根.二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知集合 M=a|a=(1,2)+(3,4),R,N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R,则MN=_. 【解析】M=a|a=(1,2)+(3,4),R=a|a=(1+3,2+4),R, N=a|a=(-2,-2)+(4,5),R= a|a
9、=(-2+4,-2+5),R.令(1+3 1,2+4 1)=(-2+4 2,-2+5 2),则 解得 1=-1, 2=0,1+31=-2+42,2+41=-2+52,所以 MN=(-2,-2).7答案:(-2,-2)14.直三棱柱 ABC-A1B1C1中,所有棱长都相等,M 是 A1C1的中点,N 是 BB1的中点,则 AM 与 NC1所成角的余弦值为_. 【解析】设直三棱柱的棱长为 2a,AC 的中点为 D,连接 C1D,DN,则易得 C1DAM,则DC 1N 就是 AM 与 NC1的夹角,又因为 C1D= = a,DN=21+2=2a,C1N= =2-2+2 121+12a,所以 AM 与
10、 NC1的夹角的余弦值等于 cosDC 1N= .12+12-2211 35答案:3515.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班 50 名学生进行了问卷调查,得到了如下的 22 列联表:喜爱打篮球 不喜爱打篮球 总计男 生 20 5 25女生 10 15 25总计 30 20 50则在犯错误的概率不超过_的前提下认为喜爱打篮球与性别有关(请用百分数表示). P(K2k 0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解析】k=(-)2(+)(+)(+)(+)= 8.3337.879
11、.8答案:0.5%16.在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=2,动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若= + ,则 + 的最大值为_. 【解析】如图所示,建立平面直角坐标系.设 A(0,1),B(0,0),C(2,0),D(2,1),P(x,y),易得圆的半径 r= ,即圆C 的方程是(x-2) 2+y2= , =(x,y-1), =(0,-1), =(2,0),若满足 =45 + ,则 ,所得 = ,=1-y,所以 += -y+1,=2-1=- 2 2设 z= -y+1,即 -y+1-z=0,因为点 P(x,y)在圆(x-2) 2+y2= 上,所以圆心(2,0)到直线 -2 2 45 2y+1-z=0 的距离 dr,即 ,解得 1z3,所以 z 的最大值是 3,即 + 的最大值是 3.答案:3
