1、1标准仿真模拟练（二）(120 分钟 150 分)第卷一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.已知集合 A=x|y=ln(x+3),B=x|x2,则下列结论正确的是 ( )A.A=B B.AB= C.AB D.BA 【解析】选 D.由题意得 A=x|x-3,B=x|x2,结合数轴可得:BA. 2.当-10,1+m0,所以 z 对应的点位于第一象限.3.设 m,n 是不同的直线, 是不同的平面,下列说法中正确的是 ( )A.若 m,n,mn,则 B.若 m,n,mn,则 C.若 m,n,mn,则 D.若 m,n,mn,则 【解析】选
2、B. 若 m,n,mn,则 与 可能平行,也可能相交,选项 A,C 错;由条件 n,mn 推出 m,又 m,则 ,选项 B 正确,选项 D 错.4.如图,多面体 ABCD-EFG 的底面 ABCD 为正方形,FC=GD=2EA,其俯视图如下,则其正视图和侧视图正确的是 ( )2【解析】选 D.注意 BE,BG 在平面 CDGF 上的投影为实线,且由已知长度关系确定投影位置,排除 A,C选项,观察 B,D 选项,侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影,则 BG,BF 的投影为虚线.5.若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n,则记为 N=n(mod m),例如 10=4(mod 6).下面
3、程序框图的算法源于我国古代闻名中外的中国剩余定理.执行该程序框图,则输出的 n 等于( )A.17 B.16 C.15 D.13【解析】选 A.当 n10 时,被 3 除余 2,被 5 除也余 2 的最小整数 n=17.6.设 D 为ABC 所在平面内一点, =3 ,则 ( )A. =- + B. = -1343 1343C. = + D. = -4313 4313【解析】选 A.利用平面向量的线性运算法则求解. = + = + = + (43433- )=- + .13437.已知 sin + cos = ,则 tan = ( )2 3A. B. C.- D.-2 2【解析】选 A.因为 s
4、in + cos = ,2 3所以(sin + cos ) 2=3,2所以 sin2+2 sin cos +2cos 2=3,2所以 =3,所以 =3.所以 2tan2-2 tan +1=0,即( tan -1) 2=0,2 2所以 tan= .8.给定四条曲线:x 2+y2= , + =1,x 2+ =1, +y2=1,其中与直线 x+y- =052 5仅有一个交点的曲线是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.分析选项可知,四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求,故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选,而在四条曲线中是一个面积最大的椭圆,故可先看,显然直线和曲线 + =1 是相交的,因为直
5、线上的点( ,0)在椭圆内,故不符合条件.9.若曲线 y=x2上存在点(x,y)满足约束条件 则实数 m 的取值范围是 ( )4A.-2,1B.1,+)C.(0,+)D.(-,1【解析】选 D.作出不等式组表示的平面区域(如阴影部分),作出抛物线 y=x2,解方程组 得 或 即直线 x+y-2=0 与抛物线y=x2的交点坐标为(1,1)和(-2,4).若曲线 y=x2上存在点(x,y)在平面区域内,则m1.10. 函数 f(x)=ln|x|+|sin x|(-x 且 x0)的图象大致是 ( )【解析】选 D.函数 f(x)为偶函数,排除 A;当 x0 时,f(x)=ln x+sin x,f(x
6、)= +cos x,1当 x 时,f(x)0,函数 f(x)在 递增,排除 C;f(x)=- -sin x0,b0)的渐近线与抛物线2222C2:x2=2py(p0)交于点 O,A,B.若OAB 的垂心为 C2的焦点,则 C1的离心率为 ( )A. B. C.2 D.32 23 43【解析】选 A.由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x. 由 得 x2=2p x,所以 x= ,y= ,所以 A . 2 222 (2,222)设抛物线 C2的焦点为 F,则 F ,所以 kAF= .因为OAB 的垂心为 F,所以AFOB,所以 kAFkOB=-1,所以 =-
7、1,所以 = .设 C1的离心率为 e,(-) 2254则 e2= = =1+ = .22 5494所以 e= .3212.若方程|x 2-2x-1|-t=0 有四个不同的实数根 x1,x2,x3,x4,且 x10)的焦点为 F,连接 FA,与抛物线 C 相交于点 M,延长FA,与抛物线 C 的准线相交于点 N,若|FM| MN|=13,则实数 a 的值为_. 【解析】依题意得焦点 F 的坐标为 ,设 M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接 MK,由7抛物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|MN|=13,所以|KN|KM| =2 1,又 kFN= ,kFN=- =-2 ,所以 =2 ,解
8、得 a= .-4 | 4 2 2答案: 215.如图所示,三棱锥 P-ABC 中,ABC 是边长为 3 的等边三角形,D 是线段 AB 的中点,DEPB=E ,且 DEAB,若EDC=120,PA= ,PB= ,则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积32 332为_. 【解析】三棱锥 P-ABC 中,ABC 是边长为 3 的等边三角形,设ABC 的外心为 O1,外接圆的半径 O1A= = ,在PAB 中,PA= ,PB= ,AB=3,满足 PA2+PB2 =AB2,所以332 332PAB 为直角三角形,PAB 的外接圆的圆心为 D,由于 CDAB,EDAB,EDC=120为二面角 P-AB-
9、C 的平面角,分别过两个三角形的外心 O1,D 作两个半平面的垂线交于点 O,则 O 为三棱锥 PABC 的外接球的球心,在 RtOO 1D 中,ODO 1=30,DO1= ,则 cos 30= = ,OD=1,连接 OA,设 OA=R,则 R2=AD2+OD2=+12= ,S 球 =4R 2=4 =13.(32)2答案:1316.对于函数 f(x)= 下列结论正确的是_. (1)任取 x1,x20,+) ,都有|f(x 1)-f(x2)|2.(2)函数 y=f(x)在4,5上单调递增.(3)f(x)=2kf(x+2k)(kN),对一切 x0,+)恒成立.(4)函数 y=f(x)-ln(x-1
10、)有 3 个零点.8(5)若关于 x 的方程 f(x)=m(m0.且 a2,a5,a14分别是等比数列b n的 b2,b3,b4.9(1)求数列a n与b n的通项公式.(2)设数列c n对任意自然数 n 均有 + + =an+1成立,求 c1+c2+1122 2 016的值.【解析】(1)因为 a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,且 a2,a5,a14成等比数列,所以(1+4d) 2=(1+d)(1+13d),解得 d=2,d=0(舍去).所以 an=1+(n-1)2=2n-1,又因为 b2=a2=3,b3=a5=9.所以等比数列b n的公比 q=3,b1=1,bn=3n-1.
11、(2)因为 + + =an+1,1122所以 =a2,即 c1=b1a2=3.11又 + + =an(n2),1122-1-1-得, =an+1-an=2,所以 cn=2bn=23n-1(n2),所以 cn= 3(=1),23-1(2).则 c1+c2+c3+c2 016=3+231+232+232 016-1=3+2(31+32+32 015) =3+=32 016.18.(本小题满分 12 分)近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息,微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的
12、 100 名顾客进行统计,其中40 岁以下占 ,采用微信支付的占 ,40 岁以上采用微信支付的占 .35 23 14(1)请完成下面 22 列联表:40 岁以下 40 岁以上 总计10使用微信支付未使用微信支付总计并由列联表中所得数据判断在犯错误的概率不超过多少的前提下可以(有多大的把握)认为“使用微信支付与年龄有关”?(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的方法从“40 岁以下”的人中抽取 2 人,从“40 岁以上”的人中抽取 1 人,了解使用微信支付的情况,问至少有一人使用微信支付的概率为多少?参考公式: K 2= ,n=a+b+c+d.参考数据:P(K2k 0) 0.100 0.050 0
13、.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828【解析】(1)由已知可得,40 岁以下的有 100 =60(人),使用微信支付的有 60 =40(人),35 2340 岁以上使用微信支付有 40 =10(人).14所以 22 列联表为:40 岁以下 40 岁以上 总 计使用微信支付 40 10 50未使用微信支付 20 30 50总计 60 40 100由列联表中的数据计算可得 K2的观测值k= = ,11由于 10.828,所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下可以(有 99.9%的把握)认为“使用微信支付与年龄有关”.(2)若以频率代替概率,采用随机抽样的
14、方法从“40 岁以下”的人中抽取 2 人,这两人使用微信支付分别记为 A,B,则 P(A)=P(B)= ,23从“40 岁以上”的人中抽取 1 人,这个人使用微信支付记为 C,则 P(C)= ,14显然 A,B,C 相互独立,则至少有一人使用微信支付的概率为 1-P( )=1- =131334.1112故至少有一人使用微信支付的概率为 .111219.(本小题满分 12 分)等腰ABC 的底边 AB=6 ,高 CD=3,点 E 是线段 BD 上异于点 B,D6的动点,点 F 在 BC 边上,且 EFAB.现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置,使 PEAE.(1)证明:EF平面 PAE.(
15、2)记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积,求 V(x)的最值.【解析】(1)因为 EFAB,所以BEF=PEF=90,故 EFPE,而 ABPE=E,所以 EF平面 PAE. (2)因为 PEAE,PEEF,所以 PE平面 ABC,即 PE 为四棱锥 P-ACFE 的高.12由高线 CD 及 EFAB 得 EFCD,所以 = ,由题意知 = ,36所以 EF= x,所以 SACFE=SABC -SBEF = 6 3- x2=9 - x2.12 6 12 6 612而 PE=EB=x,所以 V(x)= SACFEPE13=3 x- x3(0b0)的右焦点为 F,过 F 的直线
16、l 与椭圆 C 相2222交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角为 60, =2 .(1)求椭圆 C 的离心率.(2)如果|AB|= ,求椭圆 C 的方程.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意,知 y1y20,12所以 f(x)的单调递增区间为(-1,+),无单调递减区间.(2)由(1)知,当 x0 时,有 f(x)f(0)=0,即 ln (x+1)x- x2.g(x)=ln (x+1) +2(a-1)1214x+ x2 +2(a-1)x+ x2=(2a-1)x.12 12当 2a-10,即 a ,且 x0 时,g(x)0,12所以 g(x)在0,+)上是增函数,且 g(0)=0,所以当 x0 时,g(x)0,所以 a 符合题意.12当 a0,两根 x1=0,当 x(0,x 2)时,(x)1, -2,-34或-21,34,解得 x0 或 x ,43所以不等式 f(x)4 的解集是 .(2)f(x)在(-,1上递减,在1,+)上递增,所以 f(x)f(1)=3.由于不等式 f(x)3,解得 m5,即实数 m 的取值范围是(-,-1)(5,+).
