1、1第 2讲 解三角形1.(2018全国卷,理 6)在ABC 中,cos = ,BC=1,AC=5,则 AB等于( A )(A)4 (B) (C) (D)22 5解析:因为 cos = ,所以 cos C=2cos2 -1=2 2-1=- .35在ABC 中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C=52+12-251 -35=32,所以 AB= =4 .故选 A.22.(2018全国卷,理 9)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c若ABC 的面积为,则 C等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为 S= absin C12=24= abcos C,1
2、2所以 sin C=cos C,即 tan C=1.因为 C(0,),所以 C= .故选 C.3.(2016全国卷,理 8)在ABC 中,B= ,BC边上的高等于 BC,则 cos A等于( C )132(A) (B)31010(C)- (D)-31010解析:如图,设 ADBC 交 BC于 D,因为 B= ,所以 AD=BD= DC,12所以 cosBAC=cos(BAD+DAC)=cos cosDAC-sin sinDAC= - =- ,选 C.4.(2016全国卷,理 13)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos 45C= ,a=1,则 b= .
3、解析:由题 sin A= ,sin C= ,35 1213sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= + 35 45 1213= .6365则由 = 得 b= = = .636535 2113答案:21135.(2018全国卷,理 17)在平面四边形 ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求 cosADB;(2)若 DC=2 ,求 BC.2解:(1)在ABD 中,由正弦定理得 = . 3即 = ,545所以 sinADB= .由题设知,ADB0,a= ,则ABC 周长的取值范围是( )(A) , (B) ,3(C) , (D) ,(2)(
4、2018福建厦门二检)等边ABC 的边长为 1,点 P在其外接圆劣弧 AB上,则 SPAB +SPBC的最大值为 . 解析:(1)因为 A是 B和 C的等差中项,所以 2A=B+C,所以 A= ,又 0,则 cos(-B)0,从而 B ,所以 0,所以 cosBAC=- ,12又BAC(0,),所以BAC= ,23在ABC 中,c=2b=2,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosBAC=b 2+c2+bc=7.所以 a= .7(2)由 = + ,得 = + 2= + + 21 -494949 12= .49所以| |= .23【例 2】 (2018江苏南京师大附中考前模拟)如图,A,B,
5、C 三个警亭有直道相通,已知 A在 B的正北方向 6千米处,C 在 B的正东方向 6 千米处.3(1)警员甲从 C出发,沿 CA行至点 P处,此时CBP=45,求 BP的距离;(2)警员甲从 C出发沿 CA前往 A,警员乙从 A出发沿 AB前往 B,两人同时出发,甲的速度为 3千米/小时,乙的速度为 6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达 B后原地等待,直到甲到达 A时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过 9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?解:(1)在ABP 中,AB=6,A=60,APB=75,由正弦定理, = ,15即 BP= =6322+64=123( 6 2)4
6、=3 ( - )3 6=(9 -3 )千米,2 6故 BP的距离是(9 -3 )千米.2 6(2)甲从 C到 A,需要 4小时,乙从 A到 B需要 1小时.设甲、乙之间的距离为 f(t),要保持通话则需要 f(t)9.当 0t1 时,f(t)= (6)2+(123)226(123)60=3 9,即 7t2-16t+70,解得 t ,又 t0,1,8 157 8+157所以 t1,时长为 小时.8 157 1517当 1t4 时,f(t)=3 9,即 t2-6t+30,解得 3- t3+ ,6 6又 t(1,4,所以 1t4,时长为 3小时.3+ = (小时).1517故两人通过对讲机能保持联系
7、的总时长是 小时.【例 3】 (2018河南郑州外国语学校第十五次调研)在ABC 中,角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin A+sin B= sin C.3(1)若 cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,求 sin A+sin B的值;(2)若 c=2,求ABC 面积的最大值.解:(1)因为 cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B,所以 1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sin Asin B,16所以 sin2A+sin2B-sin2C=-sin Asin B,所以 a2+b2-c2=-ab,所以 cos C= =- ,2+222
8、12又 0C,所以 C= ,23sin A+sin B= sin C= sin = .3 323 32(2)当 c=2,a+b= c=2 ,3 3所以 cos C= = = -1,2+222 (+)2222 4所以 sin C= 12= ,所以 SABC = absin C12= ab12= ,12 16+8因为 a+b=2 ,3所以 a+b=2 2 ,3 即 ab3,当且仅当 a=b= 时等号成立 ,3所以 SABC = = ,12 16+8 2所以ABC 面积的最大值为 .2(对应学生用书第 24页)【典例】 (2017全国卷,理 17)(12分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a
9、,b,c,已知ABC的面积为 .2317(1)求 sin Bsin C;(2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求ABC 的周长.评分细则:解:(1)由题设得 acsin B= ,12 23即 csin B= ,2分12 3由正弦定理得 sin Csin B= ,4分12故 sin Csin B= .6分23注:由题设选择恰当的面积公式建立方程得 2分;利用正弦定理边角互化得 2分;得出结果得2分.(2)由题设 6cos Bcos C=1及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=- ,12即 cos(B+C)=- ,8分12所以 B+C= ,23故 A= ,9分由题设得 bc
10、sin A= ,a=3,12 23所以 bc=8,10分由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c) 2-3bc=9,解得 b+c= ,11分故ABC 的周长为 3+ .12分33注:由题设条件得到 cos(B+C)=- 得 2分;求出角 A得 1分 ;利用面积求出 bc=8得 1分;利用12余弦定理求出 b+c= 得 1分;最后求出ABC 的周长得 1分.【答题启示】(1)解三角形的基本工具是勾股定理、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换公式,解题中首先要保证知识使用正确.(2)解三角形的基本思想是方程思想,通过(1)中的知识和已知条件得出关于求解目标的方程或者方程组,通过解方程或者方程组求得结果.
