1、1第 2 讲 数列求和及简单应用(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号数列的通项公式 1,9,11,12数列求和 2,3,4,5,6,7,8,11数列的综合问题 10,12一、选择题1.在数列x n中, = + (n2),且 x2= ,x4= ,则 x10等于( C )2 11 1+1 23 25(A) (B) (C) (D)16 15解析:由 = + (n2)可知数列 是等差数列,2 11 1+1 1又 x2= ,x4= ,23 25所以 = , = .32 52所以 解得 =1,d= ,12则 = +9d=1+ = ,110 92所以 x10= .故选 C.2.(2018河南
2、南阳一中模拟)已知数列a n满足:当 n2 且 nN *时,有 an+an-1=(-1)n3,则数列a n的前 200 项的和为( A )(A)300 (B)200 (C)100 (D)50解析:由题意当 n2 且 nN *时,有 an+an-1=(-1)n3,可得到 a2+a1=3,a4+a3=3,a6+a5=3,a200+a199=3,所以数列a n的前 200 项的和为(a 2+a1)+(a4+a3)+(a6+a5)+(a200+a199)=300.故选 A.3.(2018河南省最后一模)设数列a n的前 n 项和为 Sn,若 a1=4,则 an+1=2Sn-4,则 S10等于( C )
3、(A)2(310-1) (B)2(310+1)2(C)2(39+1) (D)4(39-1)解析:因为 a1=4,an+1=2Sn-4,所以 a2=2a1-4=4,当 n2 时,a n=2Sn-1-4,-,得 an+1-an=2an,an+1=3an,所以a n从第二项起构成公比为 3 的等比数列,S10=a1+(a2+a3+a10)=4+ =2(39+1).故选 C.4(391)314.(2018山东日照高三校际联考)已知数列a n中,a 1=1,且对任意的 m,nN *,都有am+n=am+an+mn,则 等于( D )2 018=11(A) (B)2 0172 018 2 0171 009
4、(C) (D)2 0182 019 4 0362 019解析:因为 a1=1,且对任意的 m,nN *,都有 am+n=am+an+mn,所以令 m=1,则 an+1=a1+an+n=an+n+1,即 an+1-an=n+1,所以 an-an-1=n(n2),a2-a1=2,所以 an=(an-an-1)+(an-1- )+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+3+2+1= ,所以 = =2( - ),1所以 =2(1- )+( - )+( - )+( - )+( - )2 018=11 12 1213 12 01612 017 12 01712 018 12 01812 019=
5、2(1- )12 019= .4 0362 019故选 D.5.(2018山东潍坊二模)在数列a n中,a n=2n-1,一个 7 行 8 列的数表中,第 i 行第 j 列的元素为 cij=aiaj+ai+aj(i=1,2,7,j=1,2,8),则该数表中所有不相等元素之和为( C )(A)216-10 (B)216+10(C)216-18 (D)216+13解析:该数阵的第 i 行第 j 列的元素 cij=aiaj+ai+aj=(2i-1)(2j-1)+2i-1+2j-1=2i+j-1(i=1,2,7;j=1,2,8),其数据如表所示,j 1 2 3 4 5 6 7 83i 1 22-1 2
6、3-1 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-12 23-1 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-13 24-1 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-14 25-1 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212-15 26-1 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212-1 213-16 27-1 28-1 29-1 210-1 211-1 212-1 213-1 214-17 28-1 29-1 210-1 211-1 212-1 213-1 214-1 215-1
7、由表可知,该数表中所有不相等元素之和为 22-1+23-1+215-1= -14=216-18.故选4(1214)12C.6.(2018南平一模)已知数列b n满足 b1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2 )bn+cos2 ,则该数列的前 23 项的和为( A )(A)4 194 (B)4 195 (C)2 046 (D)2 047解析:b 1=1,b2=4,bn+2=(1+sin2 )bn+cos2 ,当 n 为奇数时,b n+2=2bn,数列为以 2 为公比的等比数列,当 n 为偶数时,b n+2=bn+1,数列为以 1 为公差的等差数列.所以 S23=(b1+b3+b23)+(b2
8、+b4+b22)= +114+ 1=212-1+44+55=4 194.故选 A.7.(2018山东潍坊青州三模)已知数列a n,定义数列a n+1-2an为数列a n的“2 倍差数列”,若a n的“2 倍差数列”的通项公式为 an+1-2an=2n+1,且 a1=2,数列a n的前 n 项和为 Sn,则S33等于( B )(A)238+1 (B)239+2(C)238+2 (D)239解析:根据题意得 an+1-2an=2n+1,a1=2,所以 - =1,2所以数列 表示首项为 1,公差 d=1 的等差数列,2所以 =1+(n-1)=n,所以 an=n2n,2所以 Sn=121+222+32
9、3+n2n,4所以 2Sn=122+223+324+n2n+1,所以-S n=2+22+23+24+2n-n2n+1= -n2n+1=-2+2n+1-n2n+1,2(12)12=-2+(1-n)2n+1,所以 Sn=(n-1)2n+1+2,S33=(33-1)233+1+2=239+2.故选 B.二、填空题8.(2018湖南永州市一模)若 Sn= + + + (nN +),则12 12+4 12+4+6 12+4+6+2S2 017= . 解析:令 an= = = - ,故 S2 017=1- + - + -12+4+6+2 2(2+2) 121213 12 017= .12 0182 017
10、2 018答案:2 0172 0189.数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 4Sn=6an-2n-3,则 Sn= . 解析:n=1 时,4a 1=4S1=6a1-2-3,解得 a1= ,52n2 时,a n=Sn-Sn-1,4Sn-1=6an-1-2(n-1)-3,4Sn=6an-2n-3,两式相减可得 4an=6an-6an-1-2,即 an=3an-1+1,即有 an+ =3(an-1+ ),12 12可得 an+ =( + )3n-1=3n,12 5212即 an=3n- ,12由 4Sn=6an-2n-3,可得 Sn= (23n+1-2n-6)= .14答案:10.(2018安徽淮
11、南二模)已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn(nN *),且a2a1,S4=a1+28,a3+2 是 a2,a4的等差中项,若数列 的前 n 项和 TnM 恒成立,则 M的最小值为 . 5解析:设等比数列a n的公比为 q,因为 S4=a1+28,a3+2 是 a2,a4的等差中项,所以 2(1+2)=28,2(2+2)=2(1+2),解得 或2=4,=2, 2=16,=12, 因为 a2a1,所以 a2=4,q=2.所以 an=2n,Sn= =2n+1-2,2(12)12所以 = = - ,2+1(2+12)(2+22)所以 Tn= - + - + -1222 1232 1232 1242= - 0,即 t ,其对称轴 n= 1,且 f(1)0 即可满足任意的 nN *恒成立.32 212解得 t .12综上可得实数 t 的取值范围是(-, ,+).12 32
