1、六 函数与导数,必用必记公式 1.对数的有关运算公式 (1)对数的四则运算法则: 若a0,a1,M0,N0,则 loga(MN)=logaM+logaN;,loga =logaM-logaN; logaMn=nlogaM. (2)对数的换底公式 :logaN= .,2.常见函数的导数 (1)C=0(C为常数). (2)(xn)=nxn-1(nQ). (3)(sin x)=cos x. (4)(cos x)=-sin x.,(5)(ln x)= ;(logax)= (a0且a1). (6)(ex)=ex;(ax)=axln a.,3.导数的运算法则 (1)(uv)=uv. (2)(uv)=uv+
2、uv. (3) = (v0). (4)f(g(x)=fggx.,重要性质结论 1.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反. (2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|). (3)若奇函数f(x)的定义域中含有0,则必有f(0)=0.,2.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x: (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a. (2)若f(x+a)= ,则T=2a. (3)若f(x+a)=- ,则T=2a.(a0),3.函数图象的几种常见变换 (1)平移变换:左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)
3、;上下平移“上加下减”. (2)翻折变换:f(x)|f(x)|;f(x)f(|x|).,(3)对称变换: 函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称; 函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0 (y轴)对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0(x轴)对称;,函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)成中心对称; 函数y=f(x)与y=f(2ax)关于x=a对称.,4.函数与方程的有关结论 (1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.事实上,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根
4、.,(2)如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.反之不成立.,5.利用导数判断函数的单调性 设函数y=f(x)在某个区间内可导: (1)如果f(x)0,那么f(x)在该区间内为增函数. (2)如果f(x)0,那么f(x)在该区间内为减函数 . (3)如果在某个区间内恒有f(x)=0,那么f(x)在该区间内为常函数.,【易错易混提醒】 1.分段函数解方程或不等式问题容易出现漏解或增根, 在分段解决上存在认识误区. 2.易混淆函数的极值与
5、极值点的概念,错以为f(x0) =0的根x=x0构成的点(x0,y0)是极值点,事实上极值点 是f(x0)=0的根.,3.函数与不等式问题,往往考查单调性和奇偶性,但审题不清经常会忽略,导致解不等式陷于僵局. 4.求曲线的切线方程时,要注意题目条件中的已知点是否为切点,分清“过”和“在”. 5.解题方法中注意特值,特殊位置的排除法思想,灵活地解决问题.,【易错诊断】 1.已知函数f(x)= 则f(f(x)2的解集 为 ( ) A.(1-ln 2,+) B.(-,1-ln 2) C.(1-ln 2,1) D.(1,1+ln 2),【解析】选B.因为当x1时,f(x)=x3+x2,当x1 时,f(
6、x)=2ex-12,所以f(f(x)2等价于f(x)1,即 2ex-11,解得x1-ln 2,所以f(f(x)2的解集为 (-,1-ln 2).,2.设函数f(x)=ln(1+|x|)- ,则使得f(x)f(2x-1)成立的x的取值范围是 ( ) A. B. (1,+) C. D.,【解析】选A.因为f(-x)=ln(1+|-x|)- =f(x),所以函数f(x)为偶函数. 因为当x0时,f(x)=ln(1+x)- , 在(0,+)上y=ln(1+x)递增,y=- 也递增, 根据单调性的性质知,f(x)在(0,+)上单调递增.,综上可知:f(x)f(2x-1)f(|x|)f(|2x-1|) |
7、x|2x-1|x2(2x-1)23x2-4x+10 x1.,3.函数f(x)= x4- x3的极值点是_.,【解析】f(x)=x3-x2,由f(x)=0得x=0或x=1. 显然f(x)在(-,0),(0,1)上为减函数,在(1,+)上为增函数,所以f(x)存在极小值点x=1. 答案:x=1,4.抛物线f(x)=x2过点P 的切线方程为_.,【解析】显然点P不在抛物线上,设此切线过抛物线上 的点(x0, ).由f(x)=2x知,此切线的斜率为2x0.又 因为此切线过点P 和点(x0, ),所以 =2x0, 即 -5x0+6=0,解得x0=2或x0=3,即切线过抛物线y=x2上 的点(2,4)或点(3,9),所以切线方程为y-4=4(x-2)和,y-9=6(x-3),即4x-y-4=0和6x-y-9=0. 答案:4x-y-4=0和6x-y-9=0,
