1、1课时作业(三十一)22.4 第 2 课时 矩形的判定一、选择题1如图 K311，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )AABCD BADBCCABBC DACBD2数学课上，老师要求同学们判断一个四边形门框是不是矩形下面是某合作小组的4 位同学拟订的方案，其中正确的是( )图 K311A测量对角线是否互相平分B测量两组对边是否分别相等C测量一组对角是否都为直角D测量三个角是不是直角3如图 K312，顺次连接四边形 ABCD 各边中点得四边形 EFGH，要使四边形 EFGH为矩形，应添加的条件是( )图 K312AABDC BACBDCACBD DABD
2、C4已知：线段 AB，BC，ABC90.求作：矩形 ABCD.图 K313是甲、乙两位同学的作业：图 K313对于两人的作业，下列说法正确的是( )A两人都对 B两人都不对C甲对，乙不对 D甲不对，乙对二、填空题5如图 K314，在ABC 中，ABAC，将ABC 绕点 C 旋转 180得到FEC，连接2AE，BF.当ACB 为_度时，四边形 ABFE 为矩形图 K3146在等腰三角形 ABC 中，ABAC，延长 BA 到点 D，延长 CA 到点 E，使ADAB，ACAE.连接 BE，CD，则四边形 BCDE 是_，判断依据是_7用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，以下方法可行的有_(只要填序号即
3、可)量出四边及两条对角线，比较对边是否相等，对角线是否相等；量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等；量出一组邻边的长 a，b 以及和这两边组成三角形的那条对角线的长 c，计算是否有a2b 2c 2；量出两条对角线的长，看是否相等8如图 K315，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，P 是 AB 上的任意一点，作 PDAC 于点 D，PECB 于点 E，连接 DE，则 DE 的最小值为_.链 接 听 课 例 3归 纳 总 结图 K315三、解答题9如图 K316，在ABC 中，ABAC，AD，AE 分别是BAC，ABC 的外角BAF的平分线，BEAE.试判断 AB 与 DE 是否相
4、等，并证明你的结论.链 接 听 课 例 2、 例 3归 纳 总 结图 K316310如图 K317，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点，AECF，DFBE.(1)求证：BOEDOF；(2)若 OD AC，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论12图 K31711如图 K318，E 是ABCD 中 BC 边的中点，连接 AE 并延长，交 DC 的延长线于点F.(1)求证：ABEFCE；(2)连接 AC，BF，若AEC2ABC，求证：四边形 ABFC 为矩形图 K318412如图 K319，点 P 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上，且不
5、与点 A，C 重合，过点 P分别作边 AB，AD 的平行线，交两组对边于点 E，F 和 G，H.(1)求证：PHCCFP；(2)证明四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系图 K319方程思想、动点问题 2017石家庄栾城期中如图 K3110，在ABCD 中，已知对角线 AC，BD 相交于点 O，若 E，F 是 AC 上的两个动点，分别从点 A，C 以 1 cm/s 的速度向点C，A 运动，运动时间为 t s.(1)当点 E 与点 F 不重合时，四边形 DEBF 是不是平行四边形？请说明理由(2)若 AC16 cm，BD12 cm，点 E，F 在运动过程中，
6、四边形 DEBF 能否为矩形？试说明理由图 K31105详解详析课堂达标1 D 解析 对角线互相平分的四边形是平行四边形要想使其成为矩形，只需满足对角线相等或有一个角是直角即可2 D3 C 解析 依题意，得四边形 EFGH 是由四边形 ABCD 各边中点连接而成，故 EFACHG，EHBDFG，所以四边形 EFGH 是平行四边形要使四边形 EFGH 为矩形，根据矩形的判定(有一个角为直角的平行四边形是矩形)，故当 ACBD 时，EFG90，四边形 EFGH 为矩形故选 C.4 A 解析 由甲同学的作业可知，CDAB，ADBC，四边形 ABCD 是平行四边形又ABC90，ABCD 是矩形甲同学的
7、作业正确；由乙同学的作业可知，CMAM，MDMB，四边形 ABCD 是平行四边形又ABC90，ABCD 是矩形乙同学的作业正确故选 A.560 解析 如果四边形 ABFE 为矩形，根据矩形的性质，那么 AFBE，ACBC.又因为 ACAB，所以ABC 是等边三角形，所以ACB60.6矩形 对角线相等的平行四边形是矩形解析 如图所示，ACAE，ABAD，四边形 BCDE 为平行四边形ABAC，BDEC，四边形 BCDE 为矩形依据是对角线相等的平行四边形是矩形故答案为：矩形，对角线相等的平行四边形是矩形7 解析 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再根据对角线相等判定四边形是矩形，故此选项
8、正确；根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，可判定四边形是矩形，故选项正确；根据勾股定理可以判断是不是直角，但不能判断是不是矩形，故此选项不正确；量出两条对角线的长，看是否相等，不能判断其是不是矩形，必须两条对角线相等且互相平分才是矩形，故此选项错误综上所述，用刻度尺检验一个四边形是不是矩形，可行的方法有.84.8 解析 连接 CP，根据矩形的性质可知 DECP，当 DE 最小时，CP 最小根据垂线段最短可知当 CPAB 时，CP 最小根据三角形的面积为定值即可求出 CP 的长9解：ABDE.证明：AD，AE 分别是BAC，BAF 的平分线，6DAB CAB，BAE BAF，12 12DAE
9、DABBAE (CABBAF) 18090.12 12AEBE，AEB90.ABAC，AD 平分BAC，ADBC，ADB90，四边形 BDAE 是矩形，ABDE.10解：(1)证明：DFBE，FDOEBO，DFOBEO.O 为 AC 的中点，AECF，OAAEOCCF，即 OEOF.在BOE 和DOF 中， BOEDOF( AAS) EBO FDO， BEO DFO，OE OF， )(2)若 OD AC，则四边形 ABCD 是矩形12证明：由(1)知BOEDOF，OBOD.O 是 AC 的中点，OD AC，12OAOBOCOD，即 BDAC，四边形 ABCD 是矩形11解析 (1)由四边形 A
10、BCD 为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到 AB 与DC 平行根据两直线平行内错角相等得到一对角相等由 E 为 BC 的中点，得到两条线段相等，再由对顶角相等，利用 ASA 可得出ABE 与FCE 全等；(2)由ABE 与FCE 全等，根据全等三角形的对应边相等得到 AEEF，再由AEC 为ABE 的外角，利用外角的性质得到AECEABABC，再由AEC2ABC，得到ABEEAB，利用等角对等边可得出 AEBE，进而得出 AFBC.利用对角线相等的平行四边形为矩形，可得出四边形 ABFC为矩形证明：(1)四边形 ABCD 为平行四边形，ABDC，ABEFCE.又E 为 BC 的中点，B
11、ECE.在ABE 和FCE 中， ABE FCE，BE CE， AEB FEC（ 对 顶 角 相 等 ） ， )ABEFCE( ASA)(2)由(1)知ABEFCE，AEEF.又AEC2ABC，且AEC 为ABE 的外角，AECABCEAB，ABCEAB，AEBE，AEEFEBEC，AEEFBEEC，即 AFBC，由对角线互相平分且相等的四边形是矩形可知四边形 ABFC 为矩形712解：(1)证明：四边形 ABCD 为矩形，ABCD，ADBC.PFAB，PFCD，CPFPCH.PHAD，PHBC，PCFCPH.在PHC 和CFP 中， PCH CPF，PC CP， CPH PCF， )PHCC
12、FP( ASA)(2)证明：EFABCD，GHADBC，四边形 PEDH 与四边形 PFBG 是平行四边形四边形 ABCD 为矩形，DB90.四边形 PEDH 和四边形 PFBG 都是矩形由(1)知PHCCFP，S PHC S CFP .同理可得AEPPGA，S AEP S PGA .S ADC S CBA ，S ADC S PHC S AEP S CBA S CFP S PGA ，S 矩形 PEDHS 矩形 PFBG.素养提升解：(1)四边形 DEBF 是平行四边形理由：四边形 ABCD 是平行四边形，OAOC，OBOD.点 E，F 分别从点 A，C 以 1 cm/s 的速度向点 O 运动，AECF，OEOF，四边形 DEBF 是平行四边形(2)四边形 DEBF 可以为矩形理由：四边形 DEBF 是平行四边形，当 BDEF 时，四边形 DEBF 是矩形BD12 cm，EF12 cm，OEOF6 cm.AC16 cm，OAOC8 cm，AE2 cm 或 AE14 cm.动点的速度都是 1 cm/s，t2 s 或 t14 s.故当运动时间 t2 s 或 t14 s 时，四边形 DEBF 是矩形
