1、1专题 4.1 小船渡河【题型概览】在小船渡 河中，河水流速可以是恒定的可以变化的，可以大于小船在静水中航速可以小于小船在静水中航速；可以是单船渡河的极值问题，可以是多船渡河运动的对比；可以是求航时的极值可以是航程的极值还可以是静水中航速的极值等【题型通解】1.小船渡河问题的处理方法设小船在静止水中的匀速运动的速度是 v 1 ，均匀流动的河水的速度是 v 2 , 河宽为 d 。 又设 v1 与河岸的夹角为 ( 0180 0 ） ，合速度 v 与河岸夹角为 。（1）分解法如图 1 ，沿平行于河岸与垂直于河岸的方向上建立直角坐标系，将 v1分解为 v1x=v1cos 和 v1y =v1sin ,则
2、 vx= v1x +v2 =v1cos+ v2、 vy=v1y = v1sin。图 1合速度合位移渡河时间（2）合成法2图 2如图 2，通常用于图示中能出现直角三角形的特殊情况下。2.小船的运动速度与轨迹当小船在静水中航行的速度、水流的速度恒定时，小船的运动速度恒定，运动轨迹是一直线。当小船相对静水的速度变化时、水流的速度随时间或空间变化时，小船的速度是变化的，任一时刻的速度由该瞬时水流速度与小船相对静水的航速决定，运动轨迹一般为曲线。 3.极值问题（1）最短时间由 sin1vdt可以看出，小船渡河的时间取决于河的宽度、小船相对于静水航行的速度大小及方向，与水流的速度大小无关。如图 2 中甲所
3、示，当 2 时，即船头指向与河岸垂直，渡河时间最短：1minvdt（2）最短航程若 v1v2由 可知当 v1cos+ v2=0 时 s min =d，此时 ，船 头指向上游，如图 2 中乙所示。这时由v1cos+ v2=0 可知船相对于静水的速度 v1 沿河岸向上分量与水流速相等，此时合速度方向垂直于河岸即，渡河的位移最小。若 v1v2由3可知当 v1 +v2cos=0，有 dvs12min，此时 ，船头指向上游，如图 2 中丙所示。从另一角度看，由于 v1v2，此时不论船的航向如何，总是被水冲向下游，要使小船的位移最短，则应使小船被水冲向下游的距离最短，即应使小船的合速度方向与河岸夹角 最大
4、。如图 2 丙，以 v2的矢尖为圆心， v1为半径画圆，当 v 与圆相切时， 角最大，即当船头的指向与小船的合速度垂直时小船的位移最小。由图中几何关系有：船头指向 ，即合速度 21v， 船沿河漂下的最短距离小船的最短位移例1.若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为5m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，则下列说法中正确的是（ ）A船渡河的最短时间是40sB船在河水中航行的轨迹是一条直线C要使船渡河时间最短，船头应始终与河岸垂直D要使船渡河行程最短，船头应与上游河岸成53行驶【答案】AC【解析】由于河宽一
5、定，故当船以最短时间渡河时，船在垂直于河岸的速度应最大，即船头指向应垂直于4河岸，最短的渡河时间 svdt401，AC 正确。由于船航行的合速度方向 与水流速度有关，而从河边缘到中心水流速度增大，则船运动到不同位置时速度的方向可能不同，即其运动轨迹应是一条曲线，B 错误。当河中各处水流速度都相同时，以最短的航程渡河，船头指向上游 或处，可见与水流的速度有关，故在此题情景中，船以最短的航程渡河时，船头的指向是不恒定的，D 错误。例2.一小船在静水的速度为3m/s，它在一条河宽150m，水流速度为4m/s 的河流中渡河，则该小船（ ）A能到达正对岸 B渡河的时间可能少于50sC以最短时间渡河时，它
6、沿水流方向的位移大小为200mD以最短位移渡河时，位移大小为150m【答案】C例 3.一快艇要从岸边某处到达河中离岸 100 m 远的浮标处，已知快艇在静水中的速度图象如图甲所示，流水的速度图象如图乙所示，假设行驶中快艇在静水中航行的分速度方向选定后就不再改变，则 ( )例 3 图A快艇的运动轨迹可能是直线B快艇的运动轨迹只可能是曲线C最快达到浮标处通过的位移为 100 mD最快达到浮标处所用时间为 20 s【答案】BD【解析】快艇的实际运动为快艇在静水中的速度即相对于水流的运动与随流水运动的合速度由图知快艇相对水流的分运动为匀加速直线运动，随水流的运动为匀速，且二个分运动又不能在一条直线上，
7、故快艇必做曲线运动，B 正确，A 错误；当快艇船头指向与河岸垂直时，到达浮标处时间最短，而此时快艇5做曲线运动，故位移大于 100 m，C 项错误；最快的时间由 100 at2，其中 a0.5 m/s2，可以求出最短12时间为 20 s，D 项正确 例 5.甲乙两船在静水中航行的速度分别为 v1、 v2，两船从同一渡口向河对岸划去，已知甲想以最短的时间过河，乙船想以最短的航程过河，结果两船到达对岸的地点恰好相同，假设河水的流速不变，则甲乙两船的渡河时间之比 t1:t2为例 5 答图A. 21:v B。 21:v C。 1: D。 2:v【答案】A例 6.如图所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发
8、，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OAOB。若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间 t 甲 、t 乙 的大小关系为例 6 答图At 甲 t 乙Bt 甲 t 乙Ct 甲 t 乙D无法确定6【 答案】A6.“类渡河“问题小船渡河问题的实质是利用矢量运算进行参考系的转换,由于参考系转换的运算法则与具体物理情景无关,故涉及参考系变换的问题都可归结于此模型中. 5.某人乘船横渡一条小河,船在静水中的速度和水速一定，若渡河最短时间为 t1，用最短位移渡河时间为t2，则船速与水速之比为多少？【答案】 21t【解析】设小河
9、河宽为 d，船在静水中的速度和水速分别为 v1和 v2， 当船以最短的时间渡河时，船头指向垂直于河岸，有 td由于船速大于 水速，当船以最短的位移渡河时，船的实际航向垂直于河岸。设此时船头指向与上游河岸间的夹角为 ，则有、 cos12v联立可得： 6.王聪同学，为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速度行驶第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经10min 到达正对岸下游120m 处；第二次，船头始终保持指向与上游河岸成 角划行，经12.5min 到达正对岸。由此，你帮王聪同学计算计算，水速 u=_，船对水的速度v=_ ，河宽 L=_ 【答案】0.2m/s、 sm/31、2
10、00m【解析】第一次过程中由于船头始终垂直河岸，则船在垂直河岸方向上的分速度为船对水的速度 v，沿河岸方向上的分速度为水速 u，有L vt1、 ut1=x77.甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河，河宽为 H，河水流速为 v0，划船速度均为 v，出发时两船相距为 H，甲、乙两船船头均与河岸成60角，如图所示，已知乙船恰好能垂直到达对岸 A 点，则下列23 3判断正确的是 ( ) 7 图A甲、乙两船到达对岸的时间不同B v2 v0C两船可能在未到达对岸前相遇D甲船也在 A 点靠岸【答案】BD【解析】两船在垂直于河岸方向上的速度相等，故渡河时间相等，均为 t= ，可知 A 错误。乙船能Hvsin60垂直于河岸渡河，则对乙船有 vcos60 v0，可得 v2 v0，B 正确。甲船在该时间内沿水流方向的位移为x=(vcos60 v0)t H，刚好到 A 点 C 错误 D 正确2338.如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度8 图（A）大小和方向均不变（B）大小不变，方向改变8（C）大小改变 ，方向不变（D）大小和方向均改变 【答案】A【解析】在水平方向上橡皮随铅笔匀速运动;由于铅笔匀速右移,铅笔与 O 点距离均匀增加,则橡皮所处高度均匀增大,即在竖直方向上橡皮也是匀速运动,故其合运动的速度也是恒定的,A 正确.
