1、1课时跟踪检测（一） 平面向量（小题练）A级124 提速练一、选择题1(2018贵州模拟)已知向量 a(1,2)，b( m，1)，若 ab，则实数 m的值为( )A. B12 12C3 D3解析：选 B 由题意，得 1(1)2 m0，解得 m ，故选 B.122(2018福州模拟)已知 a(1,2)，b(1,1)，c2ab，则|c|( )A. B326 2C. D.10 6解析：选 B 因为 c2ab2(1,2)(1,1)(3,3)，所以|c| 3 .故选 B.32 32 23(2019 届高三广西五校联考)设 D是 ABC所在平面内一点， 2 ，则( )AB DC A B BD AC 32A
2、B BD 32AC AB C D BD 12AC AB BD AC 12AB 解析：选 A .BD BC CD BC DC AC AB 12AB AC 32AB 4(2018云南调研)在 ABCD中， 8， 6， N为 DC的中点，|AB| |AD| 2 ，则 ( )BM MC AM NM A48 B36C24 D12解析：选 C ( )( ) 2AM NM AB BM NC CM 12AB 292 82 6224.AD 12 295已知点 A(1,1)， B(1,2)， C(2，1)， D(3,4)，则向量 在 方向上的投CD AB 影是( )A. B322 322C3 D35 52解析：选
3、 C 依题意得， (2,1)， (5,5)， (2,1)(5,5)AB CD AB CD 15，| | ，因此向量 在 方向上的投影是 3 .AB 5 CD AB 155 56(2019 届高三湖南五市十校联考) ABC是边长为 2的等边三角形，向量 a，b 满足 2a， 2ab，则向量 a，b 的夹角为( )AB AC A30 B60C120 D150解析：选 C 2ab2ab，则向量 a，b 的夹角即为向量 与BC AC AB AB 的夹角，故向量 a，b 的夹角为 120.BC 7(2018西工大附中四模)已知 ABC的内角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c，点G在 ABC内
4、，且满足 0， 0，若 a2 b2 c2( R)，GA GB GC GA GB 则 ( )A5 B2C2 D5解析：选 D 设 BC的中点为 D，连接 GD(图略)，则 2 .GB GC GD 又 0，所以 2 ，GA GB GC GD AG 所以 A， G， D三点共线，且 AG2 GD.故 ( ) ( )AG 23AD 23 12 AB AC 13 AB AC 同理可得 ( )BG 13 BA BC 由 0，得 ( )( )0，GA GB 19 AB AC BA BC 所以( )( 2 )0，AB AC AC AB 即| |22| |2 0，AC AB AB AC 所以 b22 c2 bc
5、 0，b2 c2 a22bc化简得 a2 b25 c2.又 a2 b2 c 2( R)，所以 5.故选 D.8已知 ABC为等边三角形， AB2，设点 P， Q满足 ， (1 )AP AB AQ 3， R，若 ，则 ( )AC BQ CP 32A. B.12 122C. D.1102 3222解析：选 A 以点 A为坐标原点， AB所在的直线为 x轴，过点A且垂直于 AB的直线为 y轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)， C(1， )， (2,0)， (1， )，又 3 AB AC 3 AP ， (1 ) ， P(2 ，0)， Q(1 ， (1 )，AB AQ AC 3 (1
6、 ， (1 )(2 1， ) ，化简得BQ CP 3 3 324 24 10， .129(2018西安八十三中二模)称 d(a，b)|ab|为两个向量 a，b 间的“距离” 若向量 a，b 满足：|b|1；ab；对任意 tR，恒有 d(a， tb) d(a，b)，则( )Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)解析：选 C 由 d(a， tb) d(a，b)，可知|a tb|ab|，所以(a tb)2(ab)2，又|b|1，所以 t22(ab) t2(ab)10.因为上式对任意 tR 恒成立，所以 4(ab) 242( ab)10，即(ab1) 20，所以 ab1.于是 b(ab)
7、ab|b| 211 20，所以 b(ab)故选 C.10(2018河南林州检测)已知 ABC的外接圆的圆心为 O，满足： m nCO CA ,4m3 n2，且| |4 ，| |6，则 ( )CB CA 3 CB CA CB A36 B24C24 D123 3解析：选 A m 2 n ，因为 O为 ABC的外心，所以CO CA CA CA CB 122CA m 2 n| | |cos BCA，所以 2448 m24 ncos BCA，因为CA CA CB 34m3 n2，所以 2412(23 n)24 ncos BCA，又 n0，即 cos BCA ，所以332 | | |cos BCA4 6
8、36.CA CB CA CB 3 32411设 e1，e 2，e 3为单位向量，且 e3 e1 ke2(k0)，若以向量 e1，e 2为两边的三角12形的面积为 ，则 k的值为( )12A. B.32 22C. D.52 72解析：选 A 设 e1，e 2的夹角为 ，则由以向量 e1，e 2为两边的三角形的面积为 ，12得 11sin ，得 sin 1，所以 90，所以 e1e20.从而将12 12e3 e1 ke2两边平方得 1 k2，解得 k 或 k (舍去)12 14 32 3212.如图所示，点 A， B， C是圆 O上的三点，线段 OC与线段 AB交于圆内一点 M，若 m n (m0
9、， n0)， m n2，则 AOB的最小值为( )OC OA OB A. B.6 3C. D.2 23解析：选 D 将 m n 平方得 1 m2 n22 mncos AOB，OC OA OB cos AOB 1 (当且仅当 m n1 时等1 m2 n22mn 1 m n 2 2mn2mn 32mn 12号成立)，00， n0， O为坐标原点，则点 P的轨迹的长度为( )m2m2 2n2OA 2nm2 n2OB A. B.12 22C. D.2 22解析：选 D 设 P(x， y)，因为 (2,0)， (0,1)， OA OB OP m2m2 2n2OA ，所以 x ， y (其中 m， n0)
10、，2nm2 n2OB ( 2m2m2 2n2， 2n2m2 2n2) 2m2m2 2n2 2n2m2 2n2所以 x2 y22(其中 x， y0)，则点 P的轨迹的长度为 2 .14 2 224(2018重庆模拟)已知 Rt ABC中， AB3， BC4， AC5， I是 ABC的内心， P是 IBC内部(不含边界)的动点，若 ( ， R)，则 的取AP AB AC 值范围是( )A. B.(23， 1) (23， 2)C. D(2,3)(712， 1)解析：选 A 以 B为原点， BA， BC所在直线分别为 x， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0,0)， A(3,0)， C(0,
11、4)设 ABC的内切圆的半径为 r，因为 I是 ABC的内心，所以(534) r43，解得r1，所以 I(1,1)设 P(x， y)，因为点 P在 IBC内部(不含边界)，所以 0x1.因为 (3,0)， (3,4)， ( x3， y)，AB AC AP 且 ，所以Error!得Error!所以 1 x，又 0x1，所以AP AB AC 13 ，故选 A.(23， 1)5已知 a ， ab， ab，若 OAB是以 O为直角顶(cos23， sin23) OA OB 点的等腰直角三角形，则 OAB的面积为_解析：因为 ，所以 (ab)(ab)0，化简得 a2b 20，OA OB OA OB 得|
12、a|b|，又| | |，所以| |2| |2，即(ab) 2(ab) 2，得OA OB OA OB ab，因为 a ，所以|a| 1，所以(cos23， sin23) cos223 sin2238|a|b|1，可得 a，b 是相互垂直的单位向量，所以| | | ，所以 OABOA OB 2的面积 S | | |1.12 OA OB 答案：16(2018武汉调研)在矩形 ABCD中， AB2， AD1.边 DC上的动点 P(包含点 D， C)与 CB延长线上的动点 Q(包含点 B)满足| | |，则 的最小值为DP BQ PA PQ _解析：以点 A为坐标原点，分别以 AB， AD所在直线为 x轴， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设 P(x，1)， Q(2， y)，由题意知0 x2，2 y0.| | |，| x| y|， x y.DP BQ ( x，1)， (2 x， y1)， x(2 x)( y1)PA PQ PA PQ x22 x y1 x2 x1 2 ，当 x 时， 取得最小值，为 .(x12) 34 12 PA PQ 34答案：34
