1、1专题二 解答重难点题型突破题型一 简单几何图形的证明与计算类型一 特殊四边形的探究1(2017开封模拟)如图，在 RtABC 中，BAC90，B60，以边 AC 上一点 O 为圆心，OA 为半径作O，O 恰好经过边 BC 的中点 D，并与边 AC 相交于另一点 F.(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若 BC2 ，E 是半圆 上一动点，连接 AE、AD、DE.3 AGF 填空：当 的长度是_时，四边形 ABDE 是菱形；AE 当 的长度是_时，ADE 是直角三角形. AE 2(2017商丘模拟)如图，已知O 的半径为 1，AC 是O 的直径，过点 C 作O 的切线 BC，E 是 BC 的中
2、点，AB 交O 于 D 点(1)直接写出 ED 和 EC 的数量关系：；(2)DE 是O 的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当 BC_时，四边形 AOED 是平行四边形，同时以点 O、D、E、C为顶点的四边形是_. 23如图，在菱形 ABCD 中，ABC60，BC5 cm，点 E 从点 A 出发沿射线 AD 以 1 cm/s 的速度运动，同时点 F 从点 B 出发沿射线 BC 以 2 cm/s 的速度运动，设运动时间为t(s)(1)连接 EF，当 EF 经过 BD 边的中点 G 时，求证：DGEBGF；(2)填空：当 t 为_ s 时，ACE 的面积是FCE 的面积的 2
3、 倍；当 t 为_ s 时，四边形 ACFE 是菱形. 4(2017新乡模拟)如图，AC 是ABCD 的一条对角线，过 AC 中点 O 的直线分别交AD，BC 于点 E，F.(1)求证：AECF；(2)连接 AF，CE.当 EF 和 AC 满足条件_时，四边形 AFCE 是菱形；若 AB1，BC2，B60，则四边形 AFCE 为矩形时，EF 的长是_ 类型二 几何问题的证明与计算1(2017周口模拟)如图，AB 为O 的直径，F 为弦 AC 的中点，连接 OF 并延长交弧AC 于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BA 的延长线于点 E.(1)求证：ACDE；3(2)连接 CD，若 OAAE2
4、 时，求出四边形 ACDE 的面积 2(2017湘潭)如图，在ABCD 中，DECE，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F.(1)求证：ADEFCE；(2)若 AB2BC，F36.求B 的度数. 43(2017山西)如图，ABC 内接于O，且 AB 为O 的直径，ODAB，与 AC 交于点E，与过点 C 的O 的切线交于点 D.(1)若 AC4，BC2，求 OE 的长(2)试判断A 与CDE 的数量关系，并说明理由. 4(2017杭州)如图，在正方形 ABCD 中，点 G 在对角线 BD 上(不与点 B，D 重合)，GEDC 于点 E，GFBC 于点 F，连接 AG.(1)写出线段 A
5、G，GE，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形 ABCD 的边长为 1，AGF105，求线段 BG 的长. 5题型一 简单几何图形的证明与计算类型一 特殊四边形的探究1(1)证明：连接 OD，如解图，BAC90，点 D 为 BC 的中点，DBDADC，B60，ABD 为等边三角形，DABADB60，DACC30，而 OAOD，ODAOAD30，ODB603090，ODBC，又OD 是O 的半径，BD 是O 的切线；(2)解：连接 OD、OE，ABD 为等边三角形，ABBDADCD ，3在 RtODC 中，OD CD1，33当 DEAB 时，DEAC，ADAE，ADEBAD60，
6、ADE 为等边三角形，ADAEDE，ADE60，AOE2ADE120，ABBDDEAE，四边形 ABDE 为菱形，此时，的长度 ，120 1180 23当ADE90时，AE 为直径，点 E 与点 F 重合，此时的长度 ，180 1180当DAE90时，DE 为直径，AOE2ADE60，此时的长度 ，60 1180 13所以当的长度为 或 时，ADE 是直角三角形. 132解：(1)连接 CD，如解图，AC 是O 的直径，ADC90，E 是 BC 的中点，6DECE；(2)DE 是O 的切线理由如下：连接 OD，如解图，BC 为切线，OCBC，OCB90，即2490，OCOD，EDEC，12，3
7、4，132490，即ODE90，ODDE，DE 是O 的切线；(3)当 BC2 时，CACB2，ACB 为等腰直角三角形，B45，BCD 为等腰直角三角形，DEBC，DE BC1，12OADE1，AODE，四边形 AOED 是平行四边形；ODOCCEDE1，OCE90，四边形 OCED 为正方形. 3(1)证明：G 为 BD 的中点，BGDG，四边形 ABCD 是菱形，ADBC，EDGFBG，GEDGFB，DGEBGF( AAS)；(2)解：分两种情况考虑：当点 F 在线段 BC 上时，如解图，连接 AC，EC，设菱形ABCD 边 BC 上的高为 h，由题意知 SACE AEh，S FCE C
8、Fh，ACE 的面积是FCE12 12的面积的 2 倍， AEh2 CFh，AE2CF，AEt，CF52t，t2(52t)，12 12解得 t2；当点 F 在线段 BC 的延长线上时，如解图，连接AC，EC，AEt，CF2t5，ACE 的面积是FCE 的面积的 2 倍，AE2CF，t2(2t5)，解得 t ；103四边形 ABCD 为菱形，ABBC，ABC60，ABC 为等边三角形，ACAB5，当四边形 ACFE 为菱形时，则 AEACCF5，即 t5. 4(1)证明：ADBC，EAOFCO.O 是 AC 的中点，OAOC，在AOE 和COF 中， EAO FCOOA OC AOE COF)A
9、OECOF( ASA)AECF.7(2)解：当 EF 和 AC 满足条件 EFAC 时，四边形 AFCE 是菱形；如解图所示，AECF，AECF，四边形 AFCE 是平行四边形，又EFAC，四边形 AFCE 是菱形；若四边形 AFCE 为矩形，则 EFAC，AFBAFC90，AB1，BC2，B60，BAF30，BF AB ，12 12AF BF ，CF2 ，332 12 32AC ，AF2 CF2（ 32） 2 （ 32） 2 3EF . 3类型二 几何问题的证明与计算1证明：(1)F 为弦 AC 的中点，AFCF，ODAC，DE 切O 于点 D，ODDE，ACDE；(2)ACDE，且 OAA
10、E，F 为 OD 的中点，即 OFFD，又AFCF，AFOCFD，AFOCFD( SAS)，S AFO S CFD ，S 四边形 ACDES ODE .在 RtODE 中，ODOAAE2，OE4，DE 2 ，OE2 OD2 42 22 3S 四边形 ACDES ODE ODDE 22 2 . 12 12 3 32(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，ADBC，DECF，在ADE 和FCE 中，8， D ECFDE CE AED FEC)ADEFCE( ASA)；(2)解：ADEFCE，ADFC，ADBC，AB2BC，ABFB，BAFF36，B180236108. 3解：(1)A
11、B 为O 的直径，ACB90，在 RtABC 中，由勾股定理得：AB 2 ，AC2 BC2 42 22 5OA AB ，12 5ODAB，AOEACB90，又AA，AOEACB， ，即 ，OEBC OAAC OE2 54解得：OE ；52(2) CDE2A，理由如下：连接 OC，如解图所示：OAOC，1A，CD 是O 的切线，OCCD，OCD90，2CDE90，ODAB，2390，3CDE，3A12A，CDE2A. 4解：(1)结论：AG 2GE 2GF 2.理由：如解图，连接 CG.四边形 ABCD 是正方形，A、C 关于对角线 BD 对称，点 G 在 BD 上，GAGC，GEDC 于点 E，GFBC 于点 F，GECECFCFG90，四边形 EGFC 是矩形，CFGE，9在 RtGFC 中，CG 2GF 2CF 2，AG 2GF 2GE 2；(2)如解图，作 AHBG 于点 H，由题意得AGB60，ABH45，ABH 是等腰直角三角形，AB1，AHBH ，HG ，BG .22 66 32 66
