1、- 1 -河南省西华县第一高级中学 2018-2019 学年高二数学上学期期末竞赛选拔考试试题 理一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1命题“存在 R， 0”的否定是 0x02xA.不存在 R, 0 B.存在 R, 0 0x2xC.对任意的 , 0 D.对任意的 , 00x R2AB 是过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦，已知 A，B 两点的横坐标分别是 x1，x 2且 x1+x2=6，则|AB|等于（ ）A10 B8 C7 D63已知 ，则 的最小值为2x24xA B C D1244两个等差数列 和 ,其前 项和分别为,且 则 等于 （ ）nabn,37nTS157
2、20baA. B. C. D. 9837149495 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c已知 a= ， c=2， cosA= ，则 b=（ 532）A B C2 D3236设 F 为抛物线 C： y2=4x 的焦点，曲线 y= （ k0）与 C 交于点 P， PF x 轴，则 k=（ x）A B1 C D221237已知双曲线 的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为 的直线与2(0,)xyabF60双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A. B C D1,2(1,2)(2,)2,)- 2 -8在 ABC 中， B= ， BC 边上的高等于 BC，则
3、 sinA=（ ）431A B C D103051039直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该4椭圆的离心率为（ ）A B C D312132310以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 B 两点，交 C 的准线于 D、 E 两点已知| AB|=4，| DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为（ ）25A2 B4 C6 D811已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： （ a b0）的左焦点， A， B 分别为 C 的12yax左，右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于
4、点 E若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（ ）A B C D3121324312设双曲线 的右焦点为 ，过点 作与 轴垂直的直线 交两2(0)xyabb， Fxl渐近线于 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 ，设 为坐标原点，若, PO， ，则双曲线的离心率为),(ROBAP316A B C D2353298二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13如果实数 、 满足关系 则 的最小值是（ ）xy,02,yx21yx14设等比数列 an满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2an的最大值为 15直线 经过抛物线 的焦点 ，且抛物线交于 两
5、点，若 ，则直l2FBA、 FB4线 的斜率为 - 3 -16以下四个关于圆锥曲线命题：“曲线 为椭圆”的充分不必要条件是“ ”；12byax 0,ba若双曲线的离心率 ，且与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程e1824xy为 ；xy3抛物线 的准线方程为 ；2y81x长为 6 的线段 的端点 分别在 、 轴上移动，动点 满足 ，AB,yMyx,BA2则动点 的轨迹方程为 ,其中正确命题的序号为M1642yx ._三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17设正项等比数列 的首项 ，前 项和为 ， na21nnS0)12(120301S（）求 的通项；n（）求 的前 项和 SnT18
6、 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 2cosC（ acosB+bcosA）= c（）求 C；（）若 c= ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长72319如图，四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABCD， AD BC， AB=AD=AC=3， PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD， N 为 PC 的中点（）证明： MN平面 PAB； （）求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值- 4 -20如图，在以 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， CD EF ,AF=2FD， AFD=90，且二面
7、角 D AF E 与二面角 C BE F 都是 60（）证明平面 ABEF平面 EFDC；（）求二面角 F AD B 的余弦值.已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点， 是抛物线)0(2:pxyC)0,1(FOBA、上异于 的两点（ I）求抛物线 的方程；OC（）若直线 的斜率之积为 ，求证：直线 过定点BA、 2-AB21已知点 ， 是圆 （ 为圆心）上的动点，(3,0)AB2:(3)16CxyC的B垂直平分线与 交于点 .CE（I）求动点 的轨迹方程；（II）设直线 与 的轨迹交于 ， 两点，且以 为对角:(0,)lykxmEPQP- 5 -线的菱形的一顶点为（-1，0），求： 面积的最大值
8、及此时直线 的方程.OPQl- 6 -高二数学(理科）参考答案一BD DDD BBA二13. 14. 64 15.4/3 16.21三17. 解：（）若 q=1 时，2 1030a1（2 10+1）20a 1+10a1=0a 1=0 与已知矛盾，q1，则由 210S30（2 10+1）S 20+S10=0可得 ，即 210（S 30S 20）=S 20S 10， ，q1，S 20S 100，2 10q10=1，即 ，q= ，又a n0，q0 且 q1q= ， （） ，即 ，nS n的前 n 项和 Tn=（1+2+n）（ ）= （），两式相减得 = =， T n= 18. 解：（）用正弦定理得：
9、2 cosC（ sinAcosB+sinBcosA）= sinC，整理得：2 cosCsin（ A+B）= sinC， sinC0， sin（ A+B）= sinC cosC= ，21又 0 C，C= ；6 分3- 7 -（）由余弦定理得 7=a2+b22 ab ，（ a+b） 23 ab=7，1 S= absinC= ab= ， ab=6，（ a+b） 218=7， a+b=5，2143 ABC 的周长为 5+ 12 分719. （1）证明：如图，取 PB 中点 T，连接 AT， NT， N 为 PC 的中点， NT BC，且 NT= BC，21又 AM= AD=2，BC=4，且 AD BC
10、，3 AM BC，且 AM= BC，1则 NT AM，且 NT=AM，四边形 AMNT 为平行四边形，则 NM AT， AT平面 PAB， MN 平面 PAB， MN平面 PAB；6 分（）解：取 BC 的中点 E，连结 AE，由 AB=AC 得 AE BC，从而 AE AD，且 AE=5建系如图， P(0,0,4),M(0,2,0),C( ,2,0),N( ,1,2)52, ,)420()21N),1A设 ),(zyxn为平面 P的法向量，则 0PNnM，即0254zyx，可取 120，于是 258|,cos| ANn.直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 12 分20.（）证明：A
11、BEF 为正方形，AFEF- 8 -AFD=90，AFDF，DFEF=F，AF平面 EFDC，AF平面 ABEF，平面 ABEF平面 EFDC；4 分（）解：由 AFDF，AFEF，可得DFE 为二面角 DAFE 的平面角；由 CEBE，BEEF，可得CEF 为二面角 CBEF 的平面角可得DFE=CEF=60四边形 EFDC 为等腰梯形过 D 作 DG 垂直 EF 于 G.以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标GFxGF系 可得 ， ，xyz1,40A3,40， )0,1(FD3),(B, ,)404,F设 是平面 ADF 的法向量，则,(zyxn即0A
12、FD43zy可取 )1,3(n设 是平面 ABCD 的法向量，则 即),(zyxm0ABmD403xzy可取3,40设二面角 EBCA 的大小为 (钝角)，则 cos= = ，n192则二面角 FADB 的余弦值为 12 分192.解：（）因为抛物线 y2=2px（p0）的焦点坐标为（1，0），所以 =1，所以p=2所以抛物线 C 的方程为 y2=4x（4 分）（）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，- 9 -设 A（ ，t），B（ ，t），因为直线 OA，OB 的斜率之积为 ，所以 = ，化简得 t2=32所以 A（8，t），B（8，t），此时直线 AB 的方程为 x=8（7 分）当直线 A
13、B 的斜率存在时，设其方程为 y=kx+b，A（x A，y A），B（x B，y B），联立得 化简得 ky24y+4b=0（8 分）根据根与系数的关系得 yAyB= ，因为直线 OA，OB 的斜率之积为 ，所以 = ，即 xAxB+2yAyB=0即 +2yAyB=0，解得 yAyB=0（舍去）或 yAyB=32所以 yAyB= =32，即 b=8k，所以 y=kx8k，即 y=k（x8）综上所述，直线 AB 过 x 轴上一定点（8，0）（12 分）22.解：（1）由题知 |E 4| ECB（2 分）又 432|C点 E 的轨迹是以 A，C 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，E 的轨迹方程为142yx（4 分）（2）设 ),(),(21QP，PQ 的中点为 ),(0yx将直线 mkxy与14y联立得 08422mkx0)14(622，即 2mk 又 2120 4, kyx 依题意有 ky)1(0，整理得 132 （6 分）- 10 -由可得 512k，,0,m（7 分）设 O 到直线 l的距离为 d，则 222241)(61|21kmkmPQSP 422099)5(4k（10 分）当12时， OPQ的面积取最大值 1，此时 23,mk，直线方程为 23xy
