1、1湖南省衡阳市第八中学 2018-2019 学年高一数学上学期 12 月九科联赛试题考生注意：本卷共 22 道小题,考试时间 120 分钟,满分 150 分.答题时,请将答案写在答题卡上,答案写在试卷上无效考试结束后,上交答题卡一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）1.集合 的真子集可以是|2xA B C D ,)(,2)(0,21,02.底面直径和高都是 的圆柱的侧面积为4A B C D0181643.已知函数 ()yfx的图象与函数 2xy的图象关于直线 xy对称,则 的值为(2)fA1 B C2 D44.如图， 是 用“斜二测画法”画出的直观图，其中 ， ，CA1O
2、BC32A那么 是BA等边三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D三边互不相等的三角形5.下列函数中,在区间 上单调递减的是(0,2)A B 1yxlnyxC. D23|6.已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列命题正确的是,mn,A若 ,则 B若 ,则An,AC若 ,则 D若 ,则mnn7.已知函数 在 上单调递增，则()log|afx(0,)A B321)f(1)2(3)ffC D338.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，PDC, PBC, PAB, PDA 为全等的等边三角形，E、F 分别为 PA、PD 的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为A直线 B
3、E 与直线 CF 共面 B直线 BE 与直线 AF 是异面直线C平面 BCD平面 PAD D面 PAD 与面 PBC 的交线与 BC 平行9.已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 下面说法()fxxx1.8,.2错误的是2A当 时， ； B函数 的值域是 ；0,1)x()fx()yfx0,1)C函数 与函数 的图象有 4 个交点； D方程 根的个数为 7y1y 4|个10.矩形 中， ， ，沿 将三角形 折起，得到的四面体 的体BD4A3BCACABCD积的最大值为A B C D 43125245511.关于函数 有如下命题：2()ln93)fxx ； 函数的图象关于原点中心对称；fa
4、b函数的定义域与值域相同； 函数的图象必经过第二、四象限 其中正确命题的个数是A 4 B 3 C 2 D 112. 已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，且 ，ACPOPBACB1AC,则球 的表面积为2PBOA. B. C. D.78910二、填空题（每小题 4 分，共 5 小题，满分 20 分）13计算： 0231.6.lgl2 . 14如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为 116，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台 O O 的母线长为_cm.15. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是 1,0()2xf1()2fxx1
5、6. 如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边1DCBA固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：BC水的部分始终呈棱柱状；水面四边形 的面积不改变；EFGH棱 始终与水面 平行；1DA当 时， 是定值B其中所有正确说法的代号是 三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17. (本题满分 10 分) 已知集合 ， ， 2|log3Ax|510Bx|Cxa3（1）求 ； （2）若 ， ，求实数 的取值范围ABRC=ACBa18. (本题满分 12 分) 在正方体 中， 为棱 、 的中点1ABCD,EFADB（1）求证： ；1EF平 面（2）求证：平面
6、平面 19. (本题满分 12 分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始后的时间 小时 的关系为 其中 为过滤开始时废气的污染物数(/)PmgL(t)0ktPe0P量， 为常数如果过滤开始后经过 个小时消除了 的污染物，试求：k51%（1）过滤开始后经过 个小时还剩百分之几的污染物？10（2）求污染物减少 所需要的时间（计算结果参考数据：5%）ln0.7,l3.,ln.620. (本题满分 12 分) 如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与ACDEABCD的交点为 ， ，且 CEMACB（1）求证： 平面 ；E（2）求直线 与平面 所成角的
7、正切值ADECBM421. (本题满分 12 分) 设函数 *()(,)nfxbcNbR（1）设 ，证明： 在区间 内存在唯一的零点；2,1nbc)f12（2）设 ，若对任意 12,都有 ，求 b的取值范围()4fxf22. (本题满分 12 分) 已知函数 ，若在定义域内存在 ，使得 成立，则()yfx0x00()()fxf称 为函数 的局部对称点.0x(fx（1）证明: 函数 在区间 内必有局部对称点；21x,2（2）若函数 在 上有局部对称点，求实数 的取值范围.)43fmRm2018 年下期衡阳市八中高一联赛数学试题命题人: 彭学军 审题人：颜 军考生注意：本卷共 22 道小题,考试时
8、间 120 分钟,满分 150 分.答题时,请将答案写在答题卡上,答案写在试卷上无效考试结束后,上交答题卡一、选择题（每小题 5 分，共 12 小题，满分 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C A A C D B C C C A C1.集合 的真子集可以是（ ）|xA B C D ,)(,2)(0,21,0【答案】D2.底面直径和高都是 的圆柱的侧面积为（ ）4A B C D018164【答案】C3.已知函数 ()yfx的图象与函数 2xy的图象关于直线 xy对称,则 的值为（ ）(2)fA1 B C2 D4【答案】A4.如图， 是 用“斜二测画法”
9、画出的直观图，其中 ， ，CA1OBC32A那么 是（ ）BA等边三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D 三边互不相等的三角形【答案】A5【解析】由斜二测画法的原则可知 ，=2BC, ，所以 ,故23OCAA为等边三角形，故选 A.AB5.下列函数中,在区间 上单调递减的是（ ）(0,2)A B C. D1yxlnyx23yx|yx【答案】C6. 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，则下列命题正确的是（ ）,mn,A若 ,则 B若 ,则An,AC若 ,则 D若 ,则mnn【答案】D【解析】由题意得，A 中，若 ，则 与 平行、相交或异面，所以不正确；B 中，若/,/，则 与 可能是相交平面
10、，所以不正确；C 中，若 ，则 与 可以, /,/m是相交平面，所以不正确；D 中，根据垂直与同一平面的两直线是平行的，所以“若 ，,n则 ”是正确的，故选 D./mn7.已知函数 在 上单调递增，则（ ）()log|afx(0,)A B321ff(1)2(3)ffC D33【答案】B【解析】由函数 在 上单调递增，则 ，且函数满足 ，所()log|afx(0,)afxf以函数为偶函数，则 ，且 ，所以 ，即2f12(1)2(3)ff，故选 B.(1)3ff8.如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD 为正方形，PDC, PBC, PAB, PDA 为全等的等边三角形，E、F 分别为
11、 PA、PD 的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）A直线 BE 与直线 CF 共面 B直线 BE 与直线 AF 是异面直线C平面 BCD平面 PAD D面 PAD 与面 PBC 的交线与 BC 平行【答案】C【解析】由展开图恢复原几何体如图所示，易知选 C.9.已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 下面说法()fxxx1.8,.2错误的是（ ）A当 时， ； B函数 的值域是 ；0,1f ()yfx0,1)C函数 与函数 的图象有 4 个交点； D方程 根的个数为 7()y1y 4|个【答案】C【解析】作出函数6的图像如图所示，显然结论均正确；在同一坐标系内作函数 的图像(坐
12、标()fx 14yx系内第一象限的射线部分)，作出 的图像（图像中的折线部分），可以得到错误，正1|4yx确。故答案为 C。10.矩形 中， ， ，沿 将三角形 折起，得到的四面体 的体ABD3BCABCABCD积的最大值为（ ）A B C D 431252455【答案】C【解析】矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，沿 AC 将三角形 ABC 折起，当平面 ABC平面 ACD 时，得到的四面体 的体积取最大值，此时高 ，所以 ，CD 23154ABh6ADCS四面体 ABCD 的体积的最大值为： ,故选 C.max13DCVS11.关于函数 有如下命题：2()ln9)fx ； 函数的图象关
13、于原点中心对称；()fab函数的定义域与值域相同； 函数的图象必经过第二、四象限. 其中正确命题的个数是（ ）A 4 B 3 C 2 D 1【答案】A【解析】函数 2()ln913)fxx恒成立，故定义域为 ，则值域为 ，故正确，2ln(910R，22)lln(913)ln0ff x， 是奇函数,图象关于原点中心对称，故 正确，(x()fx，可知 单调递减，故正确，22(l3lf(f当 时， ， 在第四象限，故 正确1yn(10)n0()fx综上所述，正确命题的个数是 4，故选 A12. 已知四面体 的四个顶点都在球 的球面上，若 平面 ， ，且 ，ABCPOPBACB1AC,则球 的表面积为
14、 ( )2PBOA. B. C. D.78910【答案】 C【解析】因为 平面 ， ，A在四面体的基础上构造长方体如图，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同，长方体的对角线就是外接球的直径，即，2213R2R球 的表面积 ，故选 C.O349S212B ACP7二、填空题（每小题 4 分，共 5 小题，满分 20 分）13计算： 0231.6.lgl2 . 【答案】14.如图所示，用一个平行于圆锥 SO 底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为116，截去的圆锥的母线长是 3 cm，则圆台 O O 的母线长为_cm.【答案】9【解析】截得的圆台上、下底面的面积之比为 1：16，圆
15、台的上、下底面半径之比是 1：4，如图，设圆台的母线长为 y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是 x、4x，根据相似三角形的性质得 3x解此方程得 y=9所以圆台的母线长为 9cm15. 设函数 ，则满足 的 的取值范围是 1,0()2xf1()2fxx【答案】 ,4【解析】当 时，不等式为 恒成立；12x12x当 ，不等式 恒成立；0 x当 时，不等式为 ，解得 ，即 ；x 1214x0x综上， 的取值范围为 (,)416. 如图，在透明塑料制成的长方体 容器内灌进一些水，将容器底面一边1DCBA固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：BC水的部分始终呈棱柱状； 水面
16、四边形 的面积不改变；EFGH棱 始终与水面 平行； 当 时， 是定值1DAEFGH1B其中正确说法是 【答案】 【解析】将该四棱柱绕 旋转，水的部分的面 与面 始终平BCABFCD行且全等，其余面为四边形，且相邻棱平行，所以始终呈棱柱状；在旋转过程中水面四边形 的面积改变；E在旋转过程中， ,所以棱 始终与GHDA面,/1 1水面 平行；EFGH在旋转过程中，水的体积保持不变，且四棱柱 的高 不变，则直角梯形EBC面积不变，即 为定值，所以当 时， 是定值；故选ABABFS)(2 1AFE8三、解答题（共 6 小题，满分 70 分）17. (本题满分 10 分) 已知集合 ， ， 2|log
17、3Ax|510Bx|Cxa（1）求 ； （2）若 ， ，求 的取值范围ABRC=Ca【解析】（1） 2 分|48x, 4 分10 , 6 分|R或 |810Rx（2） ， 8 分=aBa故 10 分818. (本题满分 12 分) 在正方体 中， 为1ACD,EF棱 、 的中点ADB（1）求证： ；1EFA平 面（2）求证：平面 平面 1B【解析】（1）连结 BD.在长方体 中，对角线 .1C/又 E、 F 为棱 AD、 AB 的中点，. . 3 分/BD1又 B1D1 平面 ， 平面 ， EF平面 CB1D1. 6 分1CBD（2） 在长方体 中， AA1平面 A1B1C1D1，而 B1D1
18、 平面 A1B1C1D1， AA1 B1D1.A又 在正方形 A1B1C1D1中， A1C1 B1D1， B1D1平面 CAA1C1. 10 分又 B1D1 平面 CB1D1， 平面 CAA1C1平面 CB1D1 12 分 19. (本题满分 12 分)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量与过滤开始后的时间 小时 的关系为 其中 为过滤开始时废气的污染物数(/)PmgL(t)0ktPe0P量， 为常数如果过滤开始后经过 个小时消除了 的污染物，试求：k5%（1）过滤开始后经过 个小时还剩百分之几的污染物？0（2）求污染物减少 所需要的时间（运算结果参考数据：5%）ln
19、0.7,l31.,ln.6【解析】（1）由 可知，当 时， ；当 时， 于是有ktPe0t0P5t0(1)P，解得 ，那么 （4 分）50()1l.95ln0.9te所以，当 时，1tln0.ln0.810%ee过滤开始后经过 个小时还剩 的污染物 （6 分）（2）当 时，有 （8 分）05%Pln0.950tP解得 （12 分）lnl.l2l235191nt 污染物减少 所需要的时间为 个小时503520. (本题满分 12 分) 如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与平面 垂直， 与ACDEABCD9的交点为 ， ，且 CEMACBC（1）求证： 平面 ；E（2）求直线 与平面 所成角的
20、正切值【解析】 （1）平面 D平面 ,平面 平面 , , AB面又 , 3 分AC面B四边形 E是正方形 ， ，CEMM平面 6 分（2） 取 的中点 ,连结 F,平面 D平面 A,平面 平面DACB又 , AB面 F,EB面即为直线 EC 与平面 ABE 所成角。 9 分CE在 中， . 12 分Rt232,6,tan6EC21. (本题满分 12 分) 设函数 *()(,)fxbcNbR（1）设 ，证明： 在区间 内存在唯一的零点；2,1nbc)f12（2）设 ，若对任意 12,，有 ，求 b的取值范围()4fxf【解析】（1）当 时， ,n()nf ， 在 内存在零点 2 分()()0n
21、fx1,又当 时， 都是增函数， 在 上是单调递增的， 4 分,2x,yx()fx1,2 在区间 内存在唯一的零点；()f1()（2）当 时, 对任意 都有 等价于n2fbc12,12()4fxf在 -1,1上的最大值与最小值之差 6 分()fx 4M讨论如下:()当 , 即 时, ,与题设矛盾 8 分12b()fb()当 ,即 时, 恒成立 10 分02b 21()14f() 当 ,即 时, 恒成立120()f综上可知 12 分22. (本题满分 12 分) 已知函数 ,若在定义域内存在 ,使得 成立,则称()yfx0x00()()fxf为函数 的局部对称点.0xfx（1）证明: 函数 在区
22、间 内必有局部对称点；(21xf,2（2）若函数 在 上有局部对称点,求实数 的取值范围.)43mRmADECBM10【解析】(1)即证：方程 在区间 上有解.2+x1,2设 ,则 ,即证：方程 在区间 上有解.2(1)xt14t+t1,42由 ,得证. 4 分2+02tt(2) ,已知即 在 上有解.1()43xxfm()0fxfR.1x 1243xm于是 (*)在 上有解. 6 分22()(0xx 令 ,则 ,所以方程(*)变为 ,2tt 280t可用定义证明函数 在 上单调递减，在 上单调递增.xy)(,)故 . 8 分,)t从而已知即 在 上有解.2280tm,t设 ,分为两种情况：()g方程有唯一解 .22)4031gmmm10 分方程有两个解 .22 31()80=)222 或综上得 . 12 分13m
