1、1第 3 讲突破压轴题全国高考卷客观题满分 80 分，共 16 题，决定了整个高考试卷的成败，要突破“瓶颈题”就必须在两类客观题第 10，11，12，15，16 题中有较大收获，分析近三年高考，必须从以下几个方面有所突破，才能实现“柳暗花明又一村” ，做到保“本”冲“优”.压轴热点一 函数的图象、性质及其应用【例 1】(2019龙岩期末)设函数 fx是定义在 R上的奇函数，满足 1fxfx，若 1f，254fa，则实数 a的取值范围是（）A 1,3B ,13,C 3,1D ,31,解析由 fxfx，可得 2fxfx，则 42ffxf，故函数 fx的周期为4，则 2514ffa，又因为 fx是定
2、义在 R上的奇函数， 1f，所以 1f,所以 241a，解得 3a，故答案为 A.【训练 1】(2016全国卷)已知函数 f(x)(xR)满足 f( x)2 f(x)，若函数 y 与 y f(x)图象的x 1x交点为( x1， y1)，( x2， y2)，( xm， ym)，则 (xi yi)( )m i 1A.0 B.m C.2m D.4m解析 法一 由题设得 (f(x) f( x)1，点( x， f(x)与点( x， f( x)关于点(0，1)对称，则 y f(x)的12图象关于点(0，1)对称.又 y 1 ， x0 的图象也关于点(0，1)对称.x 1x 1x则交点( x1， y1)，(
3、 x2， y2)，( xm， ym)成对出现，且每一对关于点(0，1)对称.则 (xi yi) xi yi0 2 m，故选 B.m i 1 m i 1 m i 1 m2法二 特殊函数法，根据 f( x)2 f(x)可设函数 f(x) x1，联立 y ，解得两个点的坐标为x 1x或 此时 m2，所以 (xi yi)2 m，故选 B.x1 1，y1 0 ) x2 1，y2 2， ) m i 1答案 B 压轴热点二 直线与圆的位置关系【例 2】(2019张家口期末)圆 O： 21xy与 x轴正半轴交点为 M，圆 O上的点 A， B分别位于第一、2二象限，并且 AOBM，若点 A的坐标为 52,，则点
4、 B的坐标为（）A 43,5B 34,5C ,5D 25,解析由题意知， 1,0M，设 的坐标为 ,xy,则 1,0OM, ,5A, ,OBxy ,因为 AOB，所以 OAB，即 52xy，又 21x，联立解得354xy或 10，因为 在第二象限，故只有345y满足，即 34,5B.B故答案为 B.【训练 2】已知 P(x， y)是直线 kx y40( k0)上一动点， PA， PB 是圆 C： x2 y22 y0 的两条切线，A， B 是切点，若四边形 PACB 的最小面积为 2，则 k 的值为_.解析 由圆的方程得 x2( y1) 21，所以圆心为 C(0，1)，半径 r1，四边形 PAC
5、B 的面积 S2 S PBC，因为四边形 PACB 的最小面积为 2，所以 S PBC的最小值为 1，而 SPBC rPB，即 PB 的最小值为 2，12此时 PC 最小为圆心到直线的距离，此时 d ，则 k24，因为 k0，所以 k2.|5|k2 1 12 22 5答案 2压轴热点三 圆锥曲线及其性质【例 3】 (2019济南模拟)已知椭圆 2:10xyCab的左右焦点分别为 1F， 2， O为坐标原点，A为椭圆上一点， 12FA，连接 2AF交 轴于 M点，若 23O，则该椭圆的离心率为( )A 13B 3C 58D 04解析设 1m， 2n如图所示，由题意可得： 122RttAFM ，
6、23FOMA则 a， 224mnc，n3m化为：m 2 3b，n 29m 26b 2 b6b24c 2 25cc2，化为 104a故选 D3【训练 3】(2017唐山一模)已知双曲线 C： x2 1 的右顶点为 A，过右焦点 F 的直线 l 与 C 的一条渐近y23线平行，交另一条渐近线于点 B，则 S ABF( )A. B. C. D.332 3 34 3 38解析 由双曲线 C： x2 1，得 a21， b23. c 2.y23 a2 b2 A(1，0)， F(2，0)，渐近线方程为 y x，3不妨设 BF 的方程为 y (x2)，代入方程 y x，解得： B(1， ).3 3 3 S A
7、FB |AF|yB| 1 .12 12 3 32答案 B 压轴热点四 不等式及基本不等式的应用【例 4】 (2019聊城一中)已知 M是 ABC 内的一点，且 43ABC， 30BA，若MBC，MCA和MAB 的面积分别为 1， x， y，则 4x的最小值是（）A2 B8 C6 D3解析 43C， 30A， cos304b，化为 8bc 11sin0822ABSbc 12xy则 1xy，而 4444559yxxyy ，当且仅当 x，即 2时取等号，故 xy的最小值是 9，故选 D【训练 4】已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为( )x|x13A.x|xln 3 B.x|xln 3 C.x|
8、10 的解集为 ，又 f(ex)0，得10 的解( 1，13) 13 13集为 x|x0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点，点 P 是双曲线在第一象x2a2 y2b2限内的点，直线 PO， PF2分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M， N，若| PF1|2| PF2|，且 MF2N120，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.2 23 7 3 23.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细.在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端
9、截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 M，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 i 段的重量为 ai(i1，2，10)，且 a1a2a10，若48ai5 M，则 i_.1. (2019厦门期末)函数 2sin12fx，当 50,12x时， 0fx，则 4f的最小值是（）A1 B2 C 1D 32.已知数列 an为等差数列，且 a11， a25， a58，设数列 an的前 n 项和为 Sn， S15的最大值为 M，最小5值为 m，则 M m( )A.500 B.600 C.700 D.8003. (2019肇庆一模)已知椭圆 2:10xy
10、Cab的左右顶点分别为 ,AB， P是椭圆上异于 ,AB的一点，若直线 PA的斜率 PAk与直线 B的斜率 PBk乘积 14APBk，则椭圆 C的离心率为（）A 14B 12C 3D 326参考答案1.【解题思路】首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【答案】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体 1ABCD中，平面 1ABD与线 11,ABD所成的角是相等的，所以平面 1与正方体的每
11、条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 1ABD与 1C中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为 2，所以其面积为233644S，故选 A.2.【解题思路】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到 30FON，根据直角三角形的条件，可以确定直线 MN的倾斜角为 60或 12，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 60，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 3,M， 3,2N，利用两点间距离同时求得 MN的值.【答案
12、】根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 2,0F，从而得到 30FO，所以直线 N的倾斜角为 60或 12，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，可以得出直线 MN的方程为 32yx，分别与两条渐近线 3yx和 3yx联立，求得 3,， ,2，所以22MN，故选 B.3.【解题思路】首先对函数进行求导，化简求得 14coss2fxx，从而确定出函数的单调区间，减区间为 52,3kkZ，增区间为 2,3kkZ，确定出函数的最小值点，从而求得 sin,si2xx代入求得函数的最小值.7【答案】 2 12cos4cos24coss2fxxxx，所以当 1cos2x时函数单调减，当 1cos时函
13、数单调增，从而得到函数的减区间为 5,3kkZ，函数的增区间为2,3kkZ，所以当 2,3xkZ时，函数 fx取得最小值，此时3sin,si2xx，所以 min2f，故答案是 32.1.【解题思路】根据条件构造函数 12xfge，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论【答案】不等式 12xfe可化为： 0xf，令 1xge， 2 11xxxfefeffg e，又 ff 0恒成立，故 2xfge在 R上单调递增，又 12ge， 120xfe等价于 1g，由 xf在 R上单调递增可得： 1x，所以不等式 12xfe的解集为 ,，故选 A2.【解题思路】由题意，| PF1|2| PF2|，由双曲
14、线的定义可得，| PF1| PF2|2 a，可得| PF1|4 a，| PF2|2 a，又| F1O| F2O|，| PO| MO|，得四边形 PF1MF2为平行四边形，所以 PF1 F2M，又 MF2N120，可得 F1PF2120，在 PF1F2中，由余弦定理得 4c216 a24 a224 a2acos 120，则 4c220 a28 a2，即 c27 a2，得 c a，所以双曲线的离心率 e .7ca 7【答案】B3.【解题思路】根据题意知，由细到粗每段的重量成等差数列，记为 an，设公差为 d，则解得 a1 ， d .所以该金杖的总重量 M10 15，a1 a2 2，a9 a10 4
15、， ) 1516 18 1516 1092 18因为 48ai5 M，所以 48 75，即 396 i75，解得 i6.1516 （ i 1） 188【答案】61.【解题思路】依题意，由 0fx，得 722,66kxkZ，利用集合的包含关系，得到所以2657k，得 63，进而可求得结果.【答案】因为 50,12x，所以 5,6x，依题意，由 f即 1sin2，得 722,6kxkZ所以 57, ,66kZ，所以2576k，整理得 22,63kkZ，又 2，所以 63，所以 sin12coscs124 3f ，所以 4f的最小值为 2.2.【解题思路】由题意，可知公差最大值时， S15最大；公差最小时， S15最小.可得 a11， a25，此时公差 d4 是最大值， M S15115 4435.15142当 a25， a58，此时 d1 是最小值， a14， m S15415 1165. M m435165600.15142【答案】B3.【解题思路】设出 P点坐标，代入椭圆方程，得到一个等式；代入 14PABk，得到另一个等式，对比这两个等式求得2ba的值，由此求得离心率的值.【答案】依题意可知 ,0,ABa，.设 0,Pxy，代入椭圆方程得200byxa.代入 14PABk得014yxa，即220014yx，与200ba对比后可得214，所以椭圆离心率为232cbea.故选 D.
