1、1第 27 讲 动力学中的临界极值问题方法点拨 (1)用极限分析法把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程(2)将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值1(2018山东青岛二中模拟)如图 1 所示，水平挡板 A 和竖直挡板 B 固定在斜面 C 上，一质量为 m 的光滑小球恰能与两挡板和斜面同时接触挡板 A、 B 和斜面 C 对小球的弹力大小分别为 FA、 FB和 FC.现使斜面和小球一起在水平面上水平向左做加速度为 a 的匀加速直线运动若 FA和 FB不会同时存在，斜面倾角为 ，重力加速度为 g，则下列图像中，可能正确的是(
2、 )图 12(多选)如图 2 所示，竖直平面内有一光滑直杆 AB，杆与水平方向的夹角为 (0 90)，一质量为 m 的小圆环套在直杆上给小圆环施加一与该竖直平面平行的恒力F，并从 A 端由静止释放改变直杆与水平方向的夹角 ，当直杆与水平方向的夹角为 30时，小圆环在直杆上运动的时间最短，重力加速度为 g，则( )图 2A恒力 F 一定沿与水平方向成 30角斜向右下的方向B恒力 F 和小圆环的重力的合力一定沿与水平方向成 30角斜向右下的方向C若恒力 F 的方向水平向右，则恒力 F 的大小为 mg32D恒力 F 的最小值为 mg323(多选)(2017广东顺德一模)如图 3 所示，质量 m20k
3、g 的物块，在与水平方向成 37的拉力 F100N 作用下，一直沿足够长的水平面做匀加速直线运动(取g10m/s 2，sin370.6，cos370.8)下列说法正确的是( )图 3A物体的合力可能大于 80NB地面对物体的支持力一定等于 140NC物块与水平面间的动摩擦因数一定小于47D物块的加速度可能等于 2m/s24(2018湖北荆州质检)如图 4 所示，一劲度系数为 k 的轻质弹簧，上端固定，下端连一质量为 m 的物块 A， A 放在质量也为 m 的托盘 B 上，以 N 表示 B 对 A 的作用力， x 表示弹簧的伸长量初始时，在竖直向上的力 F 作用下系统静止，且弹簧处于自然状态(
4、x0)现改变力 F 的大小，使 B 以 的加速度匀加速向下运动( g 为重力加速度，空气阻力不计)，此过g2程中 N、 F 随 x 变化的图像正确的是( )图 435(多选)(2017江西师大附中 3 月月考)如图 5 所示，水平地面上有一楔形物块 a，倾角为 37，其斜面上有一小物块 b， b 与平行于斜面的细绳的一端相连，细绳的另一端固定在斜面上 a 与 b 之间光滑， a 与 b 以共同速度在地面轨道的光滑段向左匀速运动当它们刚运行至轨道的粗糙段时(物块 a 与粗糙地面间的动摩擦因数为 ， g10m/s 2)，有( )图 5A若 0.1，则细绳的拉力为零，地面对 a 的支持力变小B若 0
5、.1，则细绳的拉力变小，地面对 a 的支持力不变C若 0.75，则细绳的拉力为零，地面对 a 的支持力不变D若 0.8，则细绳的拉力变小，地面对 a 的支持力变小6(2017湖南株洲一模)如图 6 所示，在水平桌面上放置一质量为 M 且足够长的木板，木板上再叠放一质量为 m 的滑块，木板与桌面间的动摩擦因数为 1，滑块与木板间的动摩擦因数为 2，开始时滑块与木板均静止今在木板上施加一水平拉力 F，它随时间 t 的变化关系为 F kt， k 为已知的比例系数假设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，求滑块刚好开始在木板上滑动时，图 6(1)拉力作用的时间；(2)木板的速度大小7如图 7 所示，质量均为 m
6、3kg 的物块 A、 B 紧挨着放置在粗糙的水平地面上，物块 A 的左侧连接一劲度系数为 k100N/m 的轻质弹簧，弹簧另一端固定在竖直墙壁上开始时两物块压紧弹簧并恰好处于静止状态，现使物块 B 在水平外力 F(图中未画出)作用下向右做加速度大小为 2 m/s2的匀加速直线运动直至与 A 分离，已知两物块与地面间的动摩擦因数均为 0.5， g10m/s 2.求：图 7(1)物块 A、 B 分离时，所加外力 F 的大小；(2)物块 A、 B 由静止开始运动到分离所用的时间48(2018陕西黄陵中学模拟)如图 8 所示，一弹簧一端固定在倾角为 37的光滑斜面的底端，另一端拴住质量为 m14kg
7、的物块 P， Q 为一质量为 m28kg 的重物，弹簧的质量不计，劲度系数 k600N/m，系统处于静止状态现给 Q 施加一个方向沿斜面向上的力 F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前 0.2 s 时间内 F 为变力，0.2 s 以后 F 为恒力，已知 sin 370.6， g10 m/s 2.求力 F 的最大值与最小值图 85答案精析1B 对小球进行受力分析，当 a gtan 时如图甲，根据牛顿第二定律：水平方向： FCsin ma竖直方向： FCcos FA mg联立得： FA mg ， FC ，matan masinFA与 a 成线性关系，当 a0 时， FA mg，当 a
8、gtan 时， FA0，FC与 a 成线性关系，当 a gsin 时， FC mg，A 项错误，B 项正确；当 a gtan 时，受力如图乙，根据牛顿第二定律，水平方向： FCsin FB ma竖直方向： FCcos mg联立得： FB ma mgtan ， FC ，mgcosFB与 a 也成线性关系， FC不变，C、D 项错误2BCD 小圆环受到竖直向下的重力、光滑直杆 AB 对小圆环的支持力和恒力 F，把光滑直杆 AB 对小圆环的支持力正交分解，沿直杆方向无分力，由 L at2可知，要使小圆环在直12杆上运动的时间最短，小圆环运动的加速度必须最大，由牛顿第二定律可知，当恒力和重力的合力沿光
9、滑直杆方向时，加速度最大，所以选项 A 错误，B 正确；若恒力 F 的方向水平向右，由 tan30 ，解得 F mg，选项 C 正确；当 F 的方向垂直光滑直杆时，恒力 F 最mgF 3小，由 sin60 ，解得 Fmin mgsin60 mg，选项 D 正确Fminmg 323BCD 若水平面光滑，则合力为 F 合 Fcos371000.8N80N；若水平面粗糙，则合力为： F 合 Fcos37 f80N f80N，所以合力不可能大于 80N，故 A 错误；在竖直方向上 Fsin37 N mg，则 N mg Fsin37200N1000.6N140N，故 B 正确；若水平6面粗糙，水平方向
10、Fcos37 N ma，解得 ，故 C 正Fcos37 maN 80 20a140 80140 47确；当水平面光滑时，合力为 80N，则加速度 a m/s24 m/s 2F合m 8020水平面粗糙时， a ，当 时， a 等于 2m/s2，故 D 正Fcos37 Nm 80 14020 27确4D 根据题述， B 以 的加速度匀加速向下运动过程中，选择 A、 B 整体为研究对象，由g2牛顿第二定律，2 mg kx F2 m ，解得 F mg kx，即 F 从 mg 开始线性减小，可排除图g2像 C.选择 B 作为研究对象，由牛顿第二定律， mg N F ，解得 N kx.由牛顿mg2 mg2
11、第三定律得 N N，当弹簧的弹力增大到 ，即 x 时， A 和 B 间的压力为零，在此之前，mg2 mg2k二者之间的压力由开始运动时的 线性减小到零，选项 A、B 错误同时，力 F 由开始时的mg2mg 线性减小到 ，此后 B 与 A 分离，力 F 保持 不变，故选项 D 正确mg2 mg25BC6(1) (2)( M m) 1 2 M m gk 22g22k解析 (1)滑块刚好开始在木板上滑动时，滑块与木板的静摩擦力达到最大，根据牛顿第二定律，对滑块有： 2mg ma，解得： a 2g对滑块和木板构成的系统，有：kt2 1(M m)g( M m)a，联立解得： t2 1 2 M m gk(
12、2)木板刚开始滑动时， 1(M m)g kt1，此后滑块随木板一起运动，直至两者发生相对滑动，在这个过程中，拉力的冲量为图中阴影部分的面积 I 1(M m)g(t2 t1)( M m)v联立解得： v ( M m) 22g22k7(1)21N (2)0.3s7解析 (1)物块 A、 B 分离时，对 B： F mg ma解得： F21N(2)A、 B 静止时，对 A、 B： kx12 mgA、 B 分离时，对 A： kx2 mg ma此过程中： x1 x2 at212解得： t0.3s.872N 36N解析 设刚开始时弹簧压缩量为 x0.根据平衡条件和胡克定律得：( m1 m2)gsin37 k
13、x0得： x0 m0.12m m1 m2 gsin37k 4 8 100.6600从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为 0，从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等因为在前 0.2s 时间内， F 为变力，0.2s 以后， F 为恒力在 0.2s 时，由胡克定律和牛顿第二定律得：对 P： kx1 m1gsin m1a前 0.2s 时间内 P、 Q 向上运动的距离为 x0 x1，则x0 x1 at212联立解得 a3m/s 2当 P、 Q 刚开始运动时拉力最小，此时有对 PQ 整体： Fmin( m1 m2)a(48)3N36N当 P、 Q 分离时拉力最大，此时有对 Q： Fmax m2gsin m2a得 Fmax m2(a gsin )8(3100.6) N72N.
