1、1银川一中 2018/2019 学年度(上)高二期中考试数学(理科)试卷一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.设平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，若 ，则 ( )A. 2 B. -4 C. -2 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为 ，所以 ，解之得 ，应选答案 D【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.2.下列说法错误的是（ ）A. 对于命题 ，则B. “ ”是“ ”的充分不必要条件C. 若命题 为假命题，则 都是假命题D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为：“若 ，则 ”x23x+2
2、=0 x=1 x1 x23x+20【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定、充要关系判定方法、复合命题真值表、逆否命题的概念进行判断选择.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知 A 正确；由于 可得 ，而由x=1 x2-3x+2=0得 或 ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件正确；命题x2-3x+2=0 x=1 x=2 x=1 x2-3x+2=0为假命题，则 不一定都是假命题，故 C 错；根据逆否命题的定义可知 D 正确，故选pq p,qC.【点睛】本题考查命题的否定、充要关系判定方法、复合命题真值表、逆否命题的概念，考查基本分析辨别能力，属基础题.23.已知双曲线的方程为 ，则下列关于双曲线
3、说法正确的是（ ）y24x29=1A. 虚轴长为 4 B. 焦距为 25C. 离心率为 D. 渐近线方程为233 2x3y=0【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于 A，双曲线的方程为 ，其中 b=3，虚轴长为 6，则 A 错误；y24-x29=1对于 B，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则 ，则焦距为 ，则y24-x29=1 c= 4+9= 13 213B 错误；对于 C，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则 ，则离心率为y24-x29=1 c= 4+9= 13，则 C 错误；e=ca=132对于
4、 D，双曲线的方程为 ，其中 a=2，b=3，则渐近线方程为 ，则 D 正确.y24-x29=1 2x3y=0故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4.当 时，执行如图所示的程序框图，输出的 值为（ ）n=4 S3A. B. C. D. 06 8 14 3【答案】D【解析】第一次循环， ，第二次循环， ，第三次循环， ，第四次循环，s=2,k=2 s=6,k=3 s=14,k=4， 结束循环，输出 ，故选 Ds=30,k=5 54 s=305.抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值为 1，则 （ ）y2=2px(p0) Q
5、p=A. B. 112C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.4【详解】抛物线 上的动点 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，y2=2px(p0) Q很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： .p2=1,p=2本题选择 C 选项.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列命题中是真命题的是( )A. 分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B. 若 ，则 的长度相等而方向相同或相反|a|=|b| a,bC. 若向量 ，满足 ，且 与 同向，
6、则AB,CD |AB|CD| AB CD ABCDD. 若两个非零向量 与 满足 ，则AB CD AB+CD=0 AB/CD【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项 A 错误；因为 仅表示与 的模相等，与方向无关，选项 B 错误；|a|=|b| b因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种写ABCD法，选项 C 错误； ， ， 与 共线，故 ，选项 D 正确.AB+CD=0 AB=-CD AB CD AB/CD本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模
7、的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 （ ）y=12x2 y2m+x22=1 m=A. B. C. D. 74 12764 94 12964【答案】C【解析】【分析】5先求抛物线的焦点，再根据椭圆焦点列方程解得结果.【详解】 抛物线 的焦点为y=12x2 (0,12) m2=(12)2 m=94故选 C【点睛】本题考查椭圆与抛物线相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知 A,B,C 三点不共线,对于平面 ABC 外的任一点 O,下列条件中能确定点 M 与点 A,B,C一定共面的是( )A.
8、B. OM=OA+OB+OC OM=2OAOBOCC. D. OM=OA+12OB+13OC OM=12OA+13OB+16OC【答案】D【解析】【分析】根据点 与点 共面，可得 ，验证选项，即可得到答案 .M A,B,C x+y+z=1【详解】设 ，若点 与点 共面,则 ，只有选项 D 满足，OM=xOA+yOB+zOC M A,B,C x+y+z=1.故选 D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点 与点 共面时，且M A,B,C,则 是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.OM=xOA+yOB+zOC x+y+z=19.设 为椭圆 上任意一点， ， ，延长 至点
9、 ，使得 ，则D x2+y25=1 A(0,2) B(0， 2) AD P |PD|=|BD|点 的轨迹方程为（ ）PA. B. x2+(y2)2=20 x2+(y+2)2=20C. D. x2+(y2)2=5 x2+(y+2)2=5【答案】B【解析】【分析】6先根据椭圆定义得 ，再根据条件得 ，最后根据圆的定义得轨迹|DA|+|DB|=25 |PA|=25方程.【详解】 为椭圆 上任意一点,且 A,B 为椭圆的焦点， D x2+y25=1 |DA|+|DB|=2a=25，又 ， ，所以点 的轨迹方程为|PD|=|BD| |PA|=|PD|+|DA|=|DA|+|DB|=25 P.选 B.x2
10、+(y+2)2=20【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设 P（x，y）是轨迹上的任意一点；寻找动点 P（x，y）所满足的条件；用坐标（x，y）表示条件，列出方程 f（x，y）=0；化简方程 f（x，y）=0 为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.10.已知椭圆 ，点 是长轴的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得x2a2+y2b2=1(ab0) A,B P，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）APB=120A. B. C. D. 22 32 63 34【答案】C【解析】【分析】根据椭圆几何性质得短轴
11、端点（设为 M）对长轴张角最大，即得 ,再根据AMBAPB,解得离心率的最小值.tanOMA=ab【详解】设 M 为椭圆短轴一端点，则由题意得 ,即 ,AMBAPB=1200 AMO600因为 ，所以 ，tanOMA=ab abtan600= 3a3b,a23(a2-c2),2a23c2,e223,e63选 C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方a,b,c程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，a,b,c b a,c a,b,c要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知直线 与双曲线 的右支有两个
12、交点，则 的取值范围为（ ）y=kx1 x2y2=4 k7A. B. C. D. (0,52) 1,52 (52,52) (1,52)【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出 k 的范围【详解】由 得双曲线的渐近线方程为 y=x，x2-y2=4根据图象可得当1k1 时，直线与双曲线的右支只有 1 个交点，当 k1 时，直线与双曲线右支没有交点，把 y=kx1 代入 x2y 2=4 得：（1k 2）x+2kx5=0，令=4k 2+20（1k 2）=0，解得 k= 或 k= （舍） 52 521k 时直线与双曲线的右支有 2 个交点.52故选：D【点睛】本题考查了双曲线的简单几
13、何性质，直线与双曲线位置关系，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属于中档题12.已知四棱锥 中， ， ， ，则点 到底面PABCD AB=(4,2,3) AD=(4,1,0) AP=(6,2,8) P的距离为（ ）ABCDA. B. C. 1 D. 22613 2626【答案】D【解析】【分析】先求平面 一个法向量，再根据向量投影得结果.ABCD【详解】设 是平面 的一个法向量，n=(x,y,z) ABCD则由题设 ，即 ，即 ，nAB=0nAD=0 4x2y+3z=04x+y=0x=1y=4z=43 n=(1,4,43)由于 ，nAP=6+8323=263,|n|= 1+16+169=1
14、33,|AP|= 100=10所以 ，故点 到平面 ABCD 的距离 ，应选答案 D|cosnAP|=15 P d=|AP|cosnAP|=1015=28【点睛】本题考查平面法向量以及利用向量投影求点到平面距离，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“ ”是假命题，求 m 范围.王小二略加思索，反手给了王小一一xR,x2+2x+m0道题：若命题“ ”是真命题，求 m 范围.你认为，两位同学题中 m 范围xR,x2+2x+m0是否一致？_（填“是” 、 “否”中的一种）【
15、答案】 是【解析】【分析】根据命题的否定关系确定结果.【详解】因为 得否定为 ，因此命题“xR,x2+2x+m0 xR,x2+2x+m0”是假命题，与命题“ ”是真命题是等价关系，xR,x2+2x+m0 xR,x2+2x+m0即两位同学题中 m 范围一致.【点睛】本题考查命题与命题否定真假关系，考查基本分析判断能力，属基础题.14.如图，在直三棱柱 中，若 ， ， ，则 _.（用ABCA1B1C1 CA=a CB=b CC1=c A1B=表示）a,b,c【答案】 a+bc【解析】【分析】根据向量减法以及加法平行四边形法则可得结果.【详解】 .A1B=CBCA1=CB(CA+CC1)=a+bc【
16、点睛】本题考查向量减法以及加法平行四边形法则，考查基本求解能力，属基础题.915.已知椭圆 的左右焦点为 ，离心率为 ，若 为椭圆上一点，且C:x216+y2b2=1(4b0) F1,F2 32 P，则 _F1PF2=90 F1PF2面 积 为【答案】4【解析】【分析】先根据离心率解得 b,c，再根据椭圆定义以及勾股定理解得 ，最后根据面积公|F1P|与 |PF2|式得结果.【详解】因为离心率为 ，所以 ，32 ca=32,a=4c=23,b=2因为 ，所以 ,F1PF2=90 |F1P|2+|PF2|2=(2c)2=48由椭圆定义得 ,所以|F1P|+|PF2|=2a=8即 ，2|F1P|P
17、F2|=(|F1P|+|PF2|)2-(|F1P|2+|PF2|2)=64-48=16, |F1P|PF2|=8F1PF2面 积 为 12|F1P|PF2|=4.【点睛】本题考查椭圆定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力，属中档题.16.若关于 x,y 的方程 表示的是曲线 C,给出下列四个命题:x24t+y2t1=1若 C 为椭圆,则 14 或 t0t104tt1 14 或 tt10 10 p q【答案】 （1） ；（2）(2,3) 43,2【解析】【分析】（1） 为真，则两者都为真，分别求解两个命题，结果取交集.pq（2） 是 的充分不必要条件，即 可以推导出 ，而 不能推导出 .则
18、命题中的集p q p q q p p合是 命题中的集合的子集.q【详解】(1)由 得 ，x24ax+3a20 a=3因为点 分别是 的中点，所以 ，E,F AB,AD EF=12BD=12(ADAB)=12(ca)EFBA=12(ca)(a)=12(1112+1)=14（2）因为 ，所以EG=EF+FG=12(ca)+12b|EG|=12(ca+12b)2=121+1+12111221112+21112=22.【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 交椭圆 于E:x2a2+y2b2=1(ab0) F1(c,0) F
19、2(c,0) x=c E， 两点， 的周长为 16， 的周长为 12.A B ABF1 AF1F2（1）求椭圆 的标准方程与离心率；E（2）若直线与椭圆 交于 两点，且 是线段 的中点，求直线的一般方程.E C,D P(2,2) CD【答案】(1) 椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 (2) x216+y212=1 e=12 3x+4y14=0【解析】【分析】(1)根据椭圆定义得 ， ，解方程组得 a,b,c 即得椭圆方程以及离心率，4a=16 2a+2c=1212(2)根据点差法得直线的斜率，再根据点斜式得直线方程.【详解】 （1）由题知 ，解得 4a=162a+2c=12a2=b2+c2 a
20、=4b=23c=2椭圆 E 的标准方程为 ，离心率 .x216+y212=1 e=ca=12（2）由（1）知 ，A(2,3),B(2,-3)易知直线的斜率存在，设为 ，设 ,则k C(x1， y1),D(x2， y2)， x1216+y1212=1x2216+y2212=1 x12-x2216+y12-y2212=0 ，(x1-x2)(x1+x2)16 +(y1-y2)(y1+y2)12 =0又 是线段 CD 的中点P(2,2) x1+x2=4,y1+y2=4，k=y1-y2x1-x2=-34故直线的方程为 ，化为一般形式即： .y-2=-34(x-2) 3x+4y-14=0【点睛】本题考查直
21、线与椭圆位置关系以及点差法解决中点弦方程问题，考查基本分析求解能力，属中档题.20.已知 是椭圆 与抛物线 的一个公共点，且椭圆P(23,263) C1:x2a2+y2b2=1(ab0) E:y2=2px(p0)与抛物线具有一个相同的焦点 F（1）求椭圆 及抛物线 的方程；C1 E（2）设过 且互相垂直的两动直线 ， 与椭圆 交于 两点， 与抛物线 交于 两点，F l1,l2 l1 C1 A,B l2 E C,D求四边形 面积的最小值ACBD【答案】 （）椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ；（）见解析.Cx24+y23=1 E y2=4x【解析】【分析】(1)先求 ，即得 c，再将点 P 坐
22、标代入椭圆方程，解方程组得 a,b，即得结果，(2)根据垂p直条件得 ，设直线 的方程 ，与椭圆方程联立方程，结合韦达定SACBD=12ABCD l1 y=k(x-1)13理以及弦长公式解得 AB，类似可得 CD,最后根据二次函数性质求最值.【详解】 （） 抛物线 ： 一点P(23,263) E y2=2px(p0)，即抛物线 的方程为 ，p=2 E y2=4x F(1,0)a2-b2=1又 在椭圆 ： 上P(23,263) C x2a2+y2b2=1，结合 知 （负舍） ， ，49a2+83b2=1 a2-b2=1 b2=3 a2=4椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 . Cx24+y23=
23、1 E y2=4x（）由题可知直线 斜率存在，设直线 的方程 ，l1 l1 y=k(x-1) A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)当 时， ，直线 的方程 ， ，故k=0 AB=4 l2 x=1 CD=4 SACBD=12ABCD=8当 时，直线 的方程为 ，由 得 .k0 l2 y=-1k(x-1) y=k(x-1)x24+y23=1 (3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0x1+x2= 8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2由弦长公式知 .AB= 1+k2|x1-x2|= (1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 =12(k2+1)4k2
24、+3同理可得 . CD=4(k2+1).SACBD=12ABCD=1212(k2+1)4k2+34(k2+1)=24(k2+1)24k2+3令 ，则 ，当 时，t=k2+1,t(1,+)SACBD=24t24t-1=244t-1t2= 24-(1t-2)2+4 t(1,+)，1t(0,1),-(1t-2)2+4243=8综上所述：四边形 面积的最小值为 8.ACBD14【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.
25、如图，四棱锥 P-ABCD 中，侧面 PAD 是边长为 2 的等边三角形且垂直于底 ，ABCD是 的中点。AB=BC=12AD,BAD=ABC=90o, E PD（1）证明：直线 平面 ；CE/ PAB（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值。M PC BM ABCD 45o MABD【答案】 （1）见解析；（2）105【解析】试题分析：（1） 取 的中点 ，连结 ， ，由题意证得 ，利用线面平行的判断定PA F EF BF CE BF理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量： ，m=(0,6,2)，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角 的余弦值
26、为 n=(0,0,1) MABD105试题解析：（1）取 中点 ，连结 ， PA F EF BF因为 为 的中点，所以 , ,由 得 ，又E PD EFADEF=12AD BAD=ABC=90 BCAD BC=12AD所以 四边形 为平行四边形， EF BC BCEF CEBF又 ， ，故BF平 面 PAB CE平 面 PAB CE平 面 PAB（2）15由已知得 ,以 A 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向， 为单位长，建立如图所BAAD AB |AB|示的空间直角坐标系 A-xyz,则则 ， ， ， ，A(0 ， 0 ， 0) B(1 ， 0 ， 0) C(1 ， 1 ， 0) P(0
27、， 1 ， 3), 则PC=(1， 0， - 3) AB=(1， 0， 0)BM=(x-1， y， z),PM=(x， y-1， z- 3)因为 BM 与底面 ABCD 所成的角为 45，而 是底面 ABCD 的法向量，所以n=(0， 0， 1)，|cosBM,n |=sin450 |z|(x-1)2+y2+z2=22即（x-1）+y-z=0又 M 在棱 PC 上，学|科网设 PM=PC,则x=,y=1,z= 3- 3由，得x=1+22y=1z=- 62 (舍 去 )， x=1- 22y=1z=62 所以 M ，从而(1-22,1， 62) AM=(1- 22,1， 62)设 是平面 ABM
28、的法向量，则m=(x0,y0,z0)mAM=0mAB=0 即 (2- 2)x0+2y0+ 6z0=0x0=0 所以可取 m=（0，- ，2）.于是6 cosm,n=mn|m|n|=105因此二面角 M-AB-D 的余弦值为105点睛:（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算（2）设 m， n 分别为平面 ， 的法向量，则二面角 与互补或相等，故有16|cos |cos|= 求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还mn|m|n|是钝角22.如图，已知离心率为 的椭圆 过点 作两条互相垂直的直线，分22 C:x2a2+
29、y2b2=1(ab0) P(2,1)别交椭圆于 两点.A,B（1）求椭圆 方程；C（2）求证：直线 过定点，并求出此定点的坐标.AB【答案】 （I） （II）x26+y23=1 (23,-13)【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得 a,b，即得结果， （2）设直线 方程为AB，则根据 得y=kx+m， A(x1,y1),B(x2,y2) PAPB=0，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0理化简得 ，最后根据直线方程点斜式得定点.3m+2k+1=0【详解】 （1）依题意：有 4a2+1b2=1ca=22 解得 ，所以
30、椭圆 的方程为a2=6b2=3 C x26+y23=1（2）易知直线 的斜率是存在的，故设直线 方程为AB AB y=kx+m由 得：y=kx+mx26+y23=1 (2k2+1)x2+4mkx+2m2-6=0设 ，则A(x1,y1),B(x2,y2) x1+x2=-4mk2k2+1,x1x2=2m2-62k2+117设 得PAPB=0 (x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0即 (x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0得 (k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0代入可得：即即即因直线 AB 不过点 ，知 ，故所以直线 过定点【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
