1、12018-2019 学年上学期日照一中 2016 级第二次质量达标检测数学（理科）试题一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1.已知集合 P=x|x0，Q=x| 0，则 P（ RQ） =（ ）A. 0，2） B. 0，2 C. （1，0） D. （，1【答案】B【解析】【分析】解分式不等式可得 或 ，进而由补集定义求得 ，再由交集可求得 P（ RQ）=0，2。【详解】因为 或 ，所以 。 因为 P=x|x0，所以 P（ RQ）=0，2。故选 B。【点睛】本题考查集合的运算，主要考查学生
2、的运算能力及转化能力，试题容易。有关数集的运算，可将数集表示在数轴上进行求解。2.若函数 不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）.A. 0,+） B. （，0 C. （，0） D. (0,+）【答案】C【解析】函数 的定义域为 ，函数 的导数为 ，当 时，f(x)=x+alnx x0 f(x)=x+alnx f(x)=1+ax a0，函数 是增函数，当 时，函数 在 上递减，f(x)0 f(x)=x+alnx a(1 x 2x+ax1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件6C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，则 对 恒成立，而 ，所以2x+ax1,x0 a2x2+
3、x x0 2x2+x=2(x14)2+18 a18“对任意的正数 ，不等式 成立”的充要条件是“ ”，故“ ”是“对任意x 2x+ax1 a18 a1的正数 ，不等式 成立 ”充分不必要条件，故选 Ax 2x+ax111.已知 M 是ABC 内的一点，且 =4 ，BAC=30，若MBC，MCA 和MAB 的ABAC 3面积分别为 1，x，y，则 的最小值是（ ）y+4xxyA. 20 B. 18 C. 16 D. 9【答案】D【解析】【分析】由 =4 ，BAC=30，可求得三角形的面积，进而得到 。因为 ，ABAC 3 x+y=1y+4xxy =1x+4y所以 ，然后去括号，利用基本不等式可求
4、最小值。y+4xxy =1x+4y=(x+y)(1x+4y)【详解】因为 =4 ，BAC=30，所以 。ABAC 3 |AB|AC|=8所以 。 SABC=12|AB|AC|sinBAC=128sin30=2因为MBC，MCA 和MAB 的面积分别为 1，x，y，所以 ，所以 。x+y+1=2 x+y=1所以 。y+4xxy =1x+4y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy5+2yx4xy=9当且仅当 即 时，上式取“=”号。yx=4xyx+y=1x0,y0 x=13,y=23所以， 时， 取最小值 9.x=13,y=23 y+4xxy故选 D。【点睛】本题考查数量积的定义、三角形的面
5、积公式、基本不等式求最值。利用基本不等式 求最值，注意“一正、二定、三相等” 。当 都取正值时，和取定值，则积a+b2ab a，b有最大值，积取定值，和有最小值。712.已知函数 （其中 e 为自然对数底数）在 x=1 取得极大值，则f(x)=12e2x+(ae)exaex+ba 的取值范围是（ ）A. a0 B. a0 C. ea0 D. ae【答案】D【解析】【分析】先求导得 ，因为函数 在 处取得极大值，故应讨f(x)=e2x+(ae)exae=(exe)(ex+a) f(x) x=1论导函数的正负。当 时，求导函数的正负，可得函数 在 处取极小值，不符合a0 f(x) x=1题意。当
6、时，求方程 的两根可得 或 。由函数 在 处取得极a0 f(x)0 x1 f(x)1a0 h(x)=xf(x) (0,+)因为 y=f（x）是定义在 R 上的奇函数，所以 。h(x)=xf(x)=xf(x)=xf(x)=h(x)所以函数 为偶函数，且 函数 在 上为减函数。h(x)=xf(x) h(0)=0, h(x)=xf(x) (,0)因为定义在 R 上的奇函数 y=f（x）满足 f（3）=0，所以 。f(3)=f(3)=f(0)=0所以 。做函数 与函数 的图象如图所示。 h(3)=h(3)=h(0)=0 h(x) y=lg|x+1|由函数的图象可知，函数 与函数 的图象有三个交点。h(
7、x) y=lg|x+1|所以函数 g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为 3 个。【点睛】本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图象交点问题。本题由条件“不等式 f（x）xf（x）恒成立， ”应想到构造函数 。h(x)=xf(x)三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知 f（x）为二次函数，且 f（x+1）+f（x1）=2x 24x， （1）求 f（x）的解析式；（2）设 g（x）=f（2 x）m2
8、 x+1，其中 x0，1，m 为常数且 mR，求函数 g（x）的最小值11【答案】 （1）f（x）=x 22x1（2）g(x)min= 4m1,m12m2,m12m2,m0m22m+2,0m1【点睛】已知函数的类型，求函数的解析式，应用待定系数法；求二次函数的最值，应先求对称轴方程，根据图象的开口方向，求函数在所给区间上单调性，进而可求二次函数的最值。18.如图所示，在ABC 中，D 是 BC 边上的一点，且 AB=14，BD=6，ADC= ， 3 cosC=277（）求 sinDAC；12（）求 AD 的长和ABC 的面积【答案】 （1） （2）32114 10532【解析】【分析】（）在
9、中，已知ADC= ， ，要求 sinDAC，所以将DAC 用ADC 和ACD3 cosC=277C 来表示可得DAC=（ADC+C） ，进而用诱导公式可得 ， 再sinDAC=sin(3+C)用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（）在ABD 中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边 AD 的长。ACD 中，根据条件由正弦定理可求 CD 边长，进而可求 BC 边长，根据条件分别求 的面积即可得所求。ABD、ADC【详解】解：（）ACD 中，因为DAC=（ADC+C） ，ADC= ，所以 = ； 因为 ，0C，所以 ； 所以 ； （）在ABD 中，由余弦定理可得 AB2=BD2+AD22
10、BDADcosADB， 所以 ，所以 AD 2+6AD160=0，即 （AD+16）（AD10）=0，解得 AD=10 或 AD=16（不合题意，舍去） ；所以 AD=10； 在 中，由正弦定理得 ，即 ，解得 CD=15；所以 ACD，即 【点睛】三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。已知三边，可用余弦定理求角；已知两边一角，可用余弦定理求第三边；已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；已知两角一边，应用正弦定理求边。19.日照一中为了落实“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建13一个占地面积为 S 的矩形 AMPN 健身场地如图，点
11、 M 在 AC 上，点 N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上，已知ACB=60且|AC|=30 米，|AM|=x 米，x10，20（1）试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；（2）若在矩形 AMPN 以外（阴影部分）铺上草坪已知：矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为 ，草坪的每平方米的造价为 （k 为正常数） 设总造价 T 关于 S 的函数为 T=f（S） ，37kS 12kS试问：如何选取|AM|的长，才能使总造价 T 最低【答案】 （1） （2）12 米或 18 米2003S2253【解析】试题分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可
12、，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题解：（1）在 RtPMC 中，显然|MC|=30x，PCM=60|PM|=|MC|tanPCM= （30x） ，2 分矩形 AMPN 的面积 S=|PM|MC|= x（30x） ，x10，204 分于是 200 S225 为所求6 分（2）矩形 AMPN 健身场地造价 T1=37k 7 分又ABC 的面积为 450 ，即草坪造价 T2= S）8 分由总造价 T=T1+T2，T=25k（ + ） ，200 S225 10
13、 分T=25k（ + ） ，200 S225 + 12 ，11 分14当且仅当 = 即 S=216 时等号成立，12 分此时 x（30x）=216 ，解得 x=12 或 x=18，所以选取|AM|的长为 12 米或 18 米时总造价 T 最低14 分考点：根据实际问题选择函数类型20.已知数列a n中，a 1=1，a 1+2a2+3a3+nan= （ nN *）n+12an+1（）证明当 n2 时，数列na n是等比数列，并求数列a n的通项 an；（）求数列n 2an的前 n 项和 Tn；（）对任意 nN *，使得 恒成立，求实数 的最小值n3n1an+1(n+6)【答案】 （） （） ()
14、 an= 1,n=123n-2n ,n2 (2n-1)3n-1+12 16【解析】【分析】（）要证明数列na n是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可。由等比数列通向公式可求得数列na n的通项公式，进而可求数列a n的通项 an；（）要求数列n 2an的前 n 项和 Tn，应根据（）的结果求其通项公式 ，由n2an= 1,n=12n3n2,n2通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第 n 项的和，再加第一项可得结果；（） 根据（）的结果，不等式 可变为 ，利用基本不等式，n3n-1an+1(n+6) 2n(n+1)(n+6)可求得不等式右边的最大值为 。可求实数 的最
15、小值为 。16 16【详解】 （）证明：由 a1+2a2+3a3+nan= ，得 a1+2a2+3a3+（n1）a n1 =（n2） ，： ，即 （n2） ，当 n2 时，数列na n是等比数列，又 a1=1，a 1+2a2+3a3+nan= ，得 a2=1，则 2a2=2， ， （n2） ， ；15（）解：由（）可知 ，T n=1+2230+2331+2432+2n3n2 ，则，两式作差得： ，得： ；(2n-1)3n-1+12（）解：由 （n+6），得 （n+6），即 对任意 nN *恒成立当 n=2 或 n=3 时 n+ 有最小值为 5， 有最大值为 ，故有 ，实数 的最小值为 【点睛】
16、已知数列的前 n 项和 ，求通项公式 ，应用 与 的关系 Sn an an Snan= S1,n=1SnSn1,n2；数列 为等差数列，数列 为等比数列，求数列 的前 n 项和应用错位相减法。an bn anbn证明数列为等比数列有两种方法：等比数列的定义；等比中项。21.已知函数 f（x）= ，g（x）=xlnx12x2+(k1)xk+32（）若函数 g（x）的图象在（1，0）处的切线 l 与函数 f（x）的图象相切，求实数 k 的值；（）当 k=0 时，证明：f（x）+g（x）0；【答案】 （1） （2）见解析k=1 2【解析】【分析】（）根据导函数的几何意义求得函数 g（x）的图象在（1
17、，0）处的切线 l 的方程，将其方程与函数 f（x）的解析式联立，得到关于 x 的一元二次方程，由条件可知此方程有一个解，判别式等于 0，可求得实数 k 的值；（）证法一：当 k=0 时，构造函数 F（x）=f（x）+g（x）= ，求导判断函数 F（x）在（0，+）上的单调性，进而xlnx+12x2x+3216得其最小值，判断最小值大于 0 即可。证法二：对于函数 g（x）=xlnx，求导判断其单调性，可求其最小值，当 k=0 时， ，配方可求其最小值。进而可得 f（x）f(x)=12x2x+32+g（x） 11e，可证明要证不等式。【详解】 （）g（x）的导数 g（x）=1+lnx，斜率为
18、g（1）=1，切点为（1，0） ，则直线 l：y=x1，联立 y= x2+（k1）xk+ ，可得 x2+2（k2）x2k+5=0，由 l 与 f（x）的图象相切，可得=4（k2） 24（52k）=0，解得 k=1 ；（）证法一：当 k=0 时，F（x）=f（x）+g（x）=xlnx+ x2x+ ，F（x）=lnx+x，x0，显然 F（x）在（0，+）递增，设 F（x 0）=0，即 lnx0+x0=0，易得 x0（0，1） ，当 x（0，x 0） ，F（x）0，F（x）递减，当 x（x 0，+） ，F（x）0，F（x）递增F（x）的最小值为 F（x 0） ，且为 x0lnx0+ x02x 0+
19、=x0（x 0+ x01）+= x02x 0+ = （x 0+3） （x 01） ，由 x0（0，1） ，F（x 0）0，故 F（x）0 恒成立，即 f（x）+g（x）0 恒成立；证法二：g（x）=1+lnx，x（0， ） ，g（x）0，g（x）递减，x（ ，+） ，g（x）0，g（x）递增，则 g（x）在 x= 处取得最小值 ，即g（x） ，又 k=0 时，f（x）= x2x+ = （x1） 2+11，则 f（x）+g（x）1 0 恒成立；【点睛】求函数 的图象在某一点 处的切线方程，应先求导函数 ，其切线方f(x) P(x0,y0) f(x)程为 ；yy0=f(x0)(xx0)直线与抛物线
20、相切，可将它们的方程联立，得到关于 x 的一元二次方程，方程应该一个交点，判别式等于 0 可解决问题。22.已知函数 .f(x)=2alnx2(a+1)x+x2(a1)17（1）讨论 的单调性；f(x)（2）若 在区间 上有两个零点，求的取值范围.f(x) 1e,e2【答案】 （1）详解见解析；（2） (12,2e12e(e+1)【解析】试题分析：(1)首先求得函数的导函数，然后分类讨论求得函数的单调区间即可；(2)结合(1)的结论，利用导函数与原函数的关系整理可得的取值范围是 .(-12,- 2e-12e(e+1)试题解析：（1） 的定义域为 ， ，f(x) (0,+) f(x)=2ax-2
21、(a+1)+2x=2(x-1)(x-a)x令 可得 或 .下面分三种情况.f(x)=0 x=1 x=a当 时，可得 ，由 得 ，由 得 ，此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .当 时，由 得 或 ，由 得 ，此时 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .当 时， ， 在区间 上单调递增.由（1）得，当 时， 在 处取得最小值 ，且 在区间 内先减后增，又 ，要使得 在区间 上有两个零点，必须有 且 ，由此可得 .当 时， ，显然 在区间 上不存在两个零点.当 时，由（1）得 在区间 内先减后增，又 ， ，故此时 在区间 上不存在两个零点. 18当 时，由（1）得 在区间 内先增，先减，后增.又 , ，故此时 在区间 上不存在两个零点.当 时，由（1）得 在区间 上单调递增，在区间 上不存在两个零点.综上，的取值范围是 .
