1、1山东省日照市 2019 届高三数学上学期期中试卷 文（含解析）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设命题 p： 0，均有 则 为A. 0，均有 B. 使得C. ”变“ ”即可得 为 使得，故选 D2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ )上单调递减的是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：根据偶函数的定义，可得 C，D 是偶函数，其中 C 在区间 上单调递减，D 在区间 上单调递增，故选：C考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明3.集合 ,则 M=x|x-1|b1 c=2log5
2、2=log540 x1 g(x) (1,+)由 ,得 ,即函数 在 上单调递减，g(x)0 f(x)0 B,D因函数 在 上单调递减，則函数 在 上递增，故排除 ,故选 A.g(x) (0,1) f(x) (0,1) C【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路5可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项x0+,x0,x+,x一一排除.10.小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当
3、问到四人谁得第一时，小方：“我得第一名” ；小明：“小红没得第一名” ；小马：“小明没得第一名” ；小红：“我得第一名”已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一名根据以上信息可以判断出得第一名的人是A. 小明 B. 小马 C. 小红 D. 小方【答案】A【解析】如果小方得第一名，那么小明说的也是真话，不符合要求；如果小红得第一名，那么小马说的也是真话，不符合要求；如果小明得第一名，那么小明说的也是真话，小马、小方、小红说的是假话，符合要求；所以得第一名的人是小明.故选 A.11.已知 ，则 sin2=13 cos2(-4)A. B. C. D. 13 16 23 89【答案】C【解析】【
4、分析】由 利用三角函数的诱导公式可得 ,然后根据二倍角余弦公式求解即可 .sin2=13 cos(22)=13【详解】 ，sin2=13,cos(22)=13，cos2(4)=13，2cos2(4)1=13，故选 C.cos2(4)=23【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值” ；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值” ，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角612.已知函数 若函数 有三个零点，则实数 b 的取值范围f(x)=4xx2,x0,3x,x43x3
5、x,x6即 ， ；b(14,0 b0,b0m3a+b3a+1b【答案】16【解析】【分析】不等式 恒成立，即为 ，将右边的式子化简,再由基本不m3a+b3a1b0 m(3a+b)(3a+1b)(a,b0)等式可得最小值，进而得到 的范围，即可得 的最大值.m m【详解】不等式 恒成立，m3a+b3a1b0即为 ，m(3a+b)(3a+1b)(a,b0)由 ，(3a+b)(3a+1b)=10+3ab+3ba10+23ab3ba=16当且仅当 ，即 ，取得等号，3ab=3ba a=b即有 ，则 的最大值为 16，故答案为 m16 m 16【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本
6、不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时 等号能否同时成立）.15.已知直线 与函数 与 的图象分别交于 A，B 两点，则线段 AB 的长y=a f(x)=3x g(x)= 53x度为_【答案】 log35【解析】【分析】求出直线 与函数 与 的图象交点 A，B 两点横坐标，两横坐标相减，y=a f(x)=3x g(x)= 53x利用对数的运算法则化简即可得结果.【详解】因为直线
7、 与函数 与 的图象分别交于 A，B 两点y=a f(x)=3x g(x)= 53x9由 ,3x=ax=log3a由 53x=ax=log3a5,的长度为 = ，故答案为 .AB log3alog3a5log35 log35【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及数形结合的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.定义在 R 上的奇函数 在区间 上单调递减，且 ，则不等式f(x) (,0) f(1)=0的解集是 _(x1)f(x1)0上， ，从而可得在区间 上， ，在 上， ，又由(1,0) f(x)0 (1,+) f(x)0 x10f(x1)0 (1,0) f(x)0 (
8、1,+) f(x)0=f(1) x10f(x1)1x11解可得 或 ，x2即 的取值范围为 ,故答案为 .x (,0)(2,+) (,0)(2,+)【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.在锐角 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 ABC 3a=2csinA(1)求角
9、 C；(2)若 ，求 的面积a=5,c=7 ABC10【答案】 （1） （2）3 103【解析】【分析】(1)由 ,利用正弦定理，结合 可得 ,结合 是锐角三角形3sinA=2sinCsinA sinA0 sinC=32 ABC可得结果；(2)由余弦定理可得： 代入 ,化简求出 ，再根c2=a2+b2-2abcosC a=5,c=7 b=8据三角形的面积公式计箅即可得出结果.【详解】 （1）由正弦定理得： ，3sinA=2sinCsinA因为 ，所以 ， sinA0 sinC=32又因为 ，故 . C(0,2) C=3（2）由余弦定理得， ，c2=a2+b2-2abcosC因为 ，所以有 ，a
10、=5,c=7 49=25+b2-5b解得 ，或 （舍去）. b=8 b=-3所以 .SABC=12absinC=103【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.设数列 满足 .an a1+3a2+(2n1)an=2n（1）求 的通项公式；an（2）求数列 的前 项和an2n+1 n【答案】 （1） ；（2）22n1 2n2n+1【解析】试题分析：(1)由题意结合递推公式可得数列的通
11、项公式为 ；an=22n-1(nN+)(2)裂项求和可得求数列 的前 项和是 .an2n+1 n 2n2n+111试题解析：(1)当 时, ,当 时,由 , 得 ,即 ,验证 符合上式,所以.(2). , .19.己知命题 p：关于 的不等式 对任意的 x1，2恒成立；q：函数 在 R 上x x2xm0 f(x)是增函数， 成立，若 为真， 为假，求实数 m 的取值范围f(m2)f(m+2) pq pq【答案】 或 m2 -1m0 x1,2又函数 在 上是增函数，y=x2-x-m=(x-12)2-14-m 1,2所以其最小值为 ，因此只要 即可，所以 -m -m0 mf(m+2) m2m+2所
12、以 或 . m2 m2， m2因此 的范围是 ，或 .m m2 -1m0 f(x)=ab+12小正周期为 ； (1)求函数 的表达式；f(x)(2)将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，求 在 上的值f(x)4 y=g(x) y=g(x) 0,2域【答案】 （1） （2）(x)=22sin(2x+4)+1 12， 2+22【解析】【分析】(1)利用两个向量的数量积公式，二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数 化为 ，再根据正弦函数的周期性，求得 的值，可得f(x)22sin(2x+4)+1 的表达式；(2)利用函数 的图象变换规律，得到 的解析式，再利用正
13、f(x) y=Asin(x+) g(x)弦函数的定义域和值域，求得 在 上的值域.y=g(x) 0,2【详解】由向量 ，其中 ，a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx) 0记 得f(x)=ab+12f(x)=sinxcosx+cos2x+12=12sin2x+12(cos2x+1)+12，=22sin(2x+4)+1，T=22， =1所以 f(x)=22sin(2x+4)+113（）由已知 ， g(x)=22sin(2x-4)+1当 时， ，0x2 -42x-434所以 ，-22sin(2x-4)1故 ，即 的值域为 .12g(x)2+22 g(x) 12， 2+22【点睛】以三
14、角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.21.习近平指出：“绿水青山就是金山银山” 某市一乡镇响应号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇” 调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量 W(单位：千克)与肥料费用 10x(单位：元)满足如下关系： 其它成本投入(如培育管W(x)=5(x2+2),0x2,50x1+x,2x5, 理、施肥等人工费)20 x 元已知这种水果的市场
15、售价大约为 15 元千克，且供不应求记该单株水果树获得的利润为 (单位：元)f(x)(1)求 的函数关系式；f(x)(2)当投入的肥料费用为多少时，该单株水果树获得的利润最大?最大利润是多少?【答案】 （1） （2）当投入的肥料费用为 元时，种植该果树y=75x230x+150,0x2,750x1+x30x, 2x5. 40获得的最大利润是 元480【解析】【分析】(1)根据题意可得 ，分两种情况讨论f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x化为分段函数即可；(2)根据分段函数的解析式，分别利用二次函数的性 0x2, 0x2,质以及基本不等式求出两段函数的最值，从而可求出最大
16、利润.【详解】 （1）由已知 f(x)=15W(x)-20x-10x=15W(x)-30x=155(x2+2)-30x, 0x2,1550x1+x-30x, 2x5 =75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x, 2x5. 14（2）由（1） f(x)=75x2-30x+150,0x2,750x1+x-30x, 2x5 = 75x2-30x+150,0x2780-30251+x+(1+x),2x5, 当 时， ； 0x2 f(x)max=f(2)=390当 时， ，2x5 f(x)=780-30251+x+(1+x) 780-302 251+x(1+x)=480当且仅当 时，即
17、时等号成立 251+x=1+x x=4因为 ，所以当 时， 390480 x=4 f(x)max=480答：当投入的肥料费用为 元时，种植该果树获得的最大利润是 元40 480【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).22.已知函数 ， （为常数） f(x)=
18、xlnx g(x)=(x21)（1）若函数 与函数 在 处有相同的切线，求实数的值；y=f(x) y=g(x) x=1（2）若 ，且 ，证明： ；=12 x1 f(x)g(x)（3）若对任意 ，不等式恒 成立，求实数的取值范围x1,+) f(x)g(x)【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） .=12 12,+)【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得 ，因此先求导，再代入得： ，f(1)=g(1) f(1)=1，可得结果；（2）构造差函数 ，证明不等式转化为求其最g(1)=2=1 h(x)=xlnx-12(x2-1)小值小于零，利用导数求其最大值： ， ，所以 ，h(x)=lnx+1-x
19、h(x)=1x10 h(x)h(0)=0；（3）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为对应函数最值问题，也h(x)h(1)=0可直接构造差函数，分类讨论最值进行求解.试题解析：（1） ，则 且 f(x)=lnx+1 f(1)=1 f(1)=0所以函数 在 处的切线方程为： ，从而 ，即 y=f(x) x=1 y=x-1 g(1)=2=1 =1215（2）由题意知：设函数 ，则 h(x)=xlnx-12(x2-1) h(x)=lnx+1-x设 ，从而 对任意 恒成立，p(x)=lnx+1-x p(x)=1x-1=1-xx0 x1， +)所以 ，即 ，因此函数 在 上单调递p(x)=lnx+1-xp(1)=0 h(x)0 h(x)=xlnx-12(x2-1) 1， +)减，于是 ，所以当 时， 成立 （3）设 ，从而对任意 ，不等式 恒成立 当 时， 恒成立，此时函数 单调递增 于是，不等式对任意 恒成立，不符合题意。2）当 ，即 恒成立时， 单调递减 设 ，则 ， ，即 ，符合题意。3）当 时，设 ，则当 时， ， 单调递增，所以 ，故当 时，函数 单调递增于是当 时， 成立，不符合题意。综上所述，实数的取值范围为
