1、120182019 学年度第一学期期中考试高三数学(理科)试题一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定出集合 ，再求 的交集即可。【详解】，故选【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解决本题的关键，属于基础题。2.在 中， “ ”是“ ”的 （ ）ABC A0log2(2x-1)0 即 x12x1 故函数的定义域为 1，+) 故选 B【点睛】本题主要考查了函数的定义域求法，在解答此类题目时注意限制条件，如根号、对数函数等
2、自身的限制条件，然后计算出结果。4.已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数a=(1, 3),b=(3,m) a,b6 m=A. B. C. 0 D. 23 3 - 3【答案】B【解析】【分析】运用向量的数量积表示出向量点乘结果，然后求出 的值m【详解】 ，ab=|a|b|cos3根据题意可得： (1, 3)(3，m)= 1+3 9+m2cos6即 3+ 3m= 1+3 9+m232两边平方化简可得 m= 3故选 B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，属于基础题。5.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）(an) n Sn S9=6 tana5=A. B. C. D. 33 3 3
3、 33【答案】C【解析】由等差数列的性质可得： ， ，则 ，故选 C.S9=6=9(a1+a9)2 =9a5 a5=23 tana5=tan23=36.已知 ， ， ，则 的大小关系为 （ ）a=log2e b=ln2 c=log213 a,b,cA. B. C. D. abc bac cba cab【答案】A【解析】【分析】运用对数计算出结果，结合 和 比较数的大小“1” “0”【详解】 a=log2elog22=10bc故选 A【点睛】本题主要考查了对数函数的计算，然后构造数比较大小，属于基础题。7.设两个平面 ，直线，下列三个条件： ； ； .若以其中两个作为前, l l/ 提条件，另一
4、个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )A. 3 B. 2 C. 1 D. 0【答案】C【解析】4【分析】列出 ， ， ，判断三者的正误即可得到答案 【详解】 即 ，正确 ll/ 即 ，可能是 平面内的直线，故不正确 l l/ 即 ，同样可能是 平面内的直线，故不正确 l/ l 故选 C【点睛】本题主要考查了命题以及线面位置关系和面面位置关系的相关定理，熟练掌握各个定义是解题的关键，属于基础题。8.如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为（ ）5A. B. C. D. 343 32 1【答案】B【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然
5、后求解其体积即可。【详解】易知该几何体是一个多面体，由上下两个全等的正四棱锥组成其中正四棱锥底面边长为 ，棱锥的高为 1，2则多面体的体积为： V=213( 2)21=436故选 B【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积，考查了学生的空间想象能力和运算求解能力，考查的核心素养是直观想象，数学运算。9.已知 为偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ f(x) x0f(x)=cosx,x0,122x1,x(12,+) f(x1)12）A. B. C. D. 34,1314,23 13,3443,74 34,1313,34【答案】A【解析】试题分析：先画出当 时，函数 的图象，又 为偶函数，故将
6、轴右侧的函数图象关x0 f(x) f(x) y于 轴对称，得 轴左侧的图象，如下图所示，直线 与函数 的四个交点横坐标从左到y y y=12 f(x)右依次为 ，由图象可知， 或 ，解得 ，选34,13,13,34 13x134 34x113 xA考点：、分段函数；2、函数的图象和性质；3、不等式的解集视频10.函数 的图象大致是 （ ）y=x22sinx7A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数 的解析式，根据定义在 上的奇函数图像关于原点对称可以排除 ，再y=x2-2sinx R A求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果【详解】当 时，x=
7、0 y=0-2sin0=0故函数图像过原点，排除 A又 ，令y=12-2cosx y=0则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除 B，D故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化结合四个选项，只有 符合要求C故选 C【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。11.如图,一个空间几何体的主视图、左视图均为直角边为 1 的等腰直角三角形，俯视图为8正方形,那么这个几何体的外接球表面积为（ ）. A. B. C. D. 312 32 16【答案】A【解析】【分析】由三视图得到几何体的
8、图形，然后将其补成正方体，求出外接球的半径，继而得到外接球表面积【详解】由三视图得几何体为四棱锥，可将几何体补成棱长为 1 的正方体则外接球半径 R=32几何体的外接球表面积为 S=4R2=4(32)2=3故选 A【点睛】本题主要考查了球的表面积，由已知条件根据三视图得到几何体，然后将其补成正方体即可求解，此类题目需要注意解题方法。12.已知函数 是定义在 R 上的偶函数，对任意 都有 ，当y=f(x) xR f(x+6)=f(x)+f(3)，且 时， ，给出如下命题：x1,x20,3 x1x2f(x1)-f(x2)x1-x2 0 ； f(3)=0直线 是函数 的图象的一条对称轴；x=-6 y
9、=f(x)函数 在 上为增函数；y=f(x) -9,-6函数 在 上有四个零点.y=f(x) -9,9其中所有正确命题的序号为（ ）A. B. C. D. 9【答案】D【解析】【分析】根据题意得到函数的奇偶性、周期性和单调性，然后逐一进行判定【详解】令 ，则由 ，函数 是定义在 上的偶函数，x=3 f(x+6)=f(x)+f(3) y=f(x) R可得： ，故 ，故正确f(3)=f(-3)+f(3)=2f(3) f(3)=0由 可得： ，故函数 是周期等于 6 的周期函数f(3)=0 f(x+6)=f(x) f(x)是偶函数， 轴是对称轴，故直线 是函数 的图象的一条对称轴，故正f(x) y
10、x=-6 y=f(x)确 当 ，且 时， ， x1,x20,3 x1x2f(x1)-f(x2)x1-x2 0故 在 上为增函数f(x) 0，3是偶函数，故 在 上为减函数f(x) f(x) -3，0函数 是周期等于 6 的周期函数 f(x)故 在 上为减函数，故 错误f(x) -9，-6 函数 是周期等于 6 的周期函数 f(x)f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0，故函数 在 上有四个零点，故正确y=f(x) -9,9综上所述，则正确命题的序号为故选 D【点睛】本题考查了函数的性质：奇偶性、周期性以及单调性，在求解过程中熟练运用各性质进行解题，注意零点问题的求解。二、填空题:本大题
11、共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.计算 .e1(2x+1x)dx=【答案】 e2【解析】试题分析： e2考点：定积分10点评：定积分用于求曲边梯形的面积。若 ，则 。F(x)=f(x) baf(x)dx=F(x)|ba14.设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是_.x y 2x+3y302x3y+30y+30 z=2x+y【答案】 15【解析】【分析】由约束条件画出可行域，然后运用线性规划来求解最小值【详解】由题意约束条件作出可行域，用阴影部分表示，如图所示当目标函数 过点 时取得最小值z=2x+y (-6，-3)最小值为 z=2(-6)-3=-15故答案为 -15【点睛】本题
12、主要考查了线性规划，解题步骤为：画出可行域、改写目标函数、运用几何意义求出最值，注意在判定可行域时的方法。15.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 _an n Sn a3=6 S4=20 nk=11Sk=【答案】nn+1【解析】【分析】根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差。进而表示出 ，再根据 即可求解。Sn1Sk= 1k(k+1)=1k- 1k+1【详解】设等差数列的首项为 ，公差为 ，由题意有 ，解得 ，a1 d a1+2d=64a1+432d=20 a1=2d=2 11数列的前 n 项和 ，Sn=na1+n(n-1)2 d=n2+n(n
13、-1)2 2=n(n+1)裂项可得 ，1Sk= 1k(k+1)=1k- 1k+1所以 nk=11Sk=(1-12)+(12-13)+(1n- 1n+1)=1- 1n+1= nn+1【点睛】本题考查了等差数列通项公式、求和公式的用法，裂项求和的综合应用，属于中档题。16.已知向量, 满足 , ,则 的最大值是 _b |a|=1|b|=2 |a+b|+|a-b|【答案】 25【解析】【分析】运用向量绝对值不等式，结合基本不等式求得结果【详解】 ，|a+b|+|a-b|2 |a+b|2+|a-b|22 = a2+b2= 5，|a+b|+|a-b|25当且仅当 时取等号，此时|a+b|=|a-b| a
14、b=0故当 时， 的最大值是ab |a+b|+|a-b| 25故答案为 25【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量绝对值不等式，利用基本不等式求最值，需要掌握解题方法。三、解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（1）已知函数 的图象经过点 ，如图所示，y=ax+b(b0) P(1,3)求 的最小值；4a-1+1b（2）已知 对任意的正实数 恒成立，求的取值范围.lnxx+cx2-2x+2 x【答案】 （1）最小值 ，当且仅当 时等号成立；（2）92 a=73,b=23 1c1412【解析】【分析】由函数图像经过点 ，代入后求得 ，结合基本不等
15、式求出结果P(1,3) (a-1)+b=2分别解出不等式左右两边的最值情况，即可求出结果【详解】 函数 的图象经过点 ， y=ax+b(b0) P(1,3)3=a+b，a1，b0(a-1)+b=24a-1+1b=12(a-1+b)( 4a-1+1b)=12(5+4ba-1+a-1b)12(5+2 4ba-1+a-1b)=92当且仅当 时取等号a-1=2b=43 lnxx+cx2-2x+2 lnx-xc令 ，f(x)=lnx-x，f(x)=1x-1=1-xx当 时， ， 递增00 f(x)当 时， ， 递减x1 f(x)0，2bcosA=acosC+ccosA，2sinBcosA=sinAcos
16、C+cosAsinC=sin(A+C)=sinB结合 为正数，可得sinB cosA=12，A(0,)则 A=3（) ，则 ，BAAC=-3 -bccosA=-3由可得 ，A=3 cosA=12，bc=6，cosA=b2+c2-a22bc =12，b2+c2-7=bc，(b+c)2-7=3bc (b+c)2=25则 b+c=5周长为ABC 5+ 7【点睛】本题主要考查了运用正弦定理、余弦定理解三角形，在求三角形周长时，运用余弦定理求出边长之间的关系，解题时需要掌握方法。20.已知数列 的前 项和为 ，且 = ， .递增的等比数列 满足an n Sn Snn2+2n nN+ bn15.b1+b3
17、=10，b22=16（）求数列 , 的通项公式； anbn（）求数列 的前 项和 anbn n Tn【答案】 （1） ；（2） .an=2n+1,bn=2n Tn=2+(2n1)2n+1【解析】【分析】（）由已知条件分别解出数列 , 的通项公式anbn（）运用错位相减法求出数列 的前 项和anbn n Tn【详解】 （）当 时，n=1 a1=S1=1+2=3当 时，n1 an=Sn-Sn-1=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1对 也成立，则n=1 an=2n+1(nN+)设等比数列 的公比为 ，且为递增等比数列bn q，则b22=16 b2=4，解得 ， （舍去） ，b1+b3=
18、4q+4q=10 q1=2 q2=1 b1=2b1=22n-1=2n（） anbn=(2n+1)2nTn=321+522+(2n+1)2n2Tn=322+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1- 可得：-Tn=321+222+22n-(2n+1)2n+1=2+2(21+22+2n)-(2n+1)2n+1=-2-(2n-1)2n+1则 Tn=2+(2n-1)2n+116【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式，由已知条件结合等差数列的前 项和推出通项n公式，在遇到形如 的形式求和时需要运用错位相减法得到结果。anbn21.如图，四边形 为矩形，四边形 为梯形，平面 平面PDCE ABCD PDCE
19、， ， , 为 中点.ABCD,BAD=ADC=900 AB=AD=12CD=a PD= 2aMPA()求证： 平面 ；AC/ MDE()求直线 与平面 所成角的正弦值ME PBC【答案】 （1）略；（2） .53819【解析】【分析】()连接 ，交 于 ，连接 ，则 ，再根据线面平行的判定定理即可得到答PC DE N MN MNAC案()建立空间坐标系，求出法向量，运用空间向量求出结果【详解】()连接 ，交 于 ，连接 ，PC DE N MN在 中，PAC分别为两腰 ， 的中点M，N PA PCMNAC又 面 ， 面 ，AC MDE MN MDE平面AC/ MDE()17以 为空间坐标系原点
20、，分别以 ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系D DA，DC DP x，y，z则 ， ， ， ，P(0，0，2a) B(a，a，0) C(0，2a，0) A(a，0，0)，M(a2，0，2a2) E(0，2a，2a)，PB=(a，a，- 2a) BC=(-a，a，0)设平面 的法向量为PBC n=(x，y，z)则 (x，y，z)(a，a，- 2a)=0(x，y，z)(-a，a，0)=0 即 ，取 ，则x+y- 2z=0-x+y=0 z=1 n=(22，22，1)，ME=(-a2，2a，22a)设直线 与法向量的夹角为ME，cos=|MEn|ME|n|= 524a192a2=53819直线 与平
21、面 所成角的正弦值为 ME PBC53819【点睛】本题主要考查了线面平行及运用空间向量求出线面夹角问题，在求解过程中熟练掌握解题方法，然后运用法则来求出结果。22.已知函数 ，对任意的 ，满足 ，其中 为常f(x)=lnxax+bx x(0,+) f(x)+f(1x)=0 a,b数（）若 ,求 在 处的切线方程；a=2 f(x) x=1（）已知 ,求证 ；00（）当 存在三个不同的零点时，求的取值范围f(x)18【答案】 （） ；（）详见解析；（） .y=5x-5 (0,12)【解析】【分析】（）代入 ，然后求出函数 在 处的切线方程a=-2 f(x) x=1（）写出 的表达式，令 ，根据的
22、取值范围，得到 的单调f(a22) g(x)=2lnx+2x-x32-ln2 g(x)性，即可得证（）对 求导，讨论在不同的的取值范围下 的单调性，进而讨论其零点的个数，即f(x) f(x)可求出存在三个不同零点时的取值范围。【详解】 （）在 中，取 ，得 ，f(x)+f(1x)=0 x=1 f(1)=0又 ,所以 .f(1)=ln1-a+b=-a+b b=a从而 ，f(x)=lnx-ax+ax=lnx+2x-2x, ，f(x)=1x+2(1+1x2) f(1)=5又切点为 ，所以切线方程为 .(1,0) y=5x-5（）证明： f(a22)=lna22-a32+2a=2lna+2a-a32-
23、ln2令 ，g(x)=2lnx+2x-x32-ln2则 g(x)=2x-2x2-3x22=-3x4+4（x-1）2x2所以， 时， ， 单调递减，x(0,1) g(x)g(1)=2-12-ln21-lne=0所以 时，00（） f(x)=1x-a(1+1x2)=-ax2+x-ax2当 时，在 (0，)上， ， 递增，a0 f(x)0 f(x)所以， 至多有一个零点，不合题意；f(x)当 时，在(0，)上， ， 递减，a12 f(x)0 f(x)所以， 也至多有一个零点，不合题意；f(x)当 时，令 ，01此时， 在 上递减， 上递增， 上递减，f(x) (0,x1) (x1,x2) (x2，+)所以， 至多有三个零点f(x)因为 在 上递增，所以 .f(x) (x1,1) f(x1)0 x0(a22,x1) f(x0)=0又 ，f(1x0)=-f(x0)=0,f(1)=0所以 恰有三个不同的零点： .f(x) x0,1,1x0综上所述，当 存在三个不同的零点时，的取值范围是 .f(x) (0,12)【点睛】本题主要考查了导数的知识：极值，零点，单调性等，在解题过程中一定要掌握各知识点，结合已知条件进行分类讨论，然后求出结果。
