1、1山东省胶州市第一中学 2019 届高三数学 10 月月考试卷 理（含解析）一、选择题1.若复数 为纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则，纯虚数的定义，即可得出答案.【详解】复数 为纯虚数，所以 且 ，解得 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、纯虚数的定义的应用，其中根据复数的运算法则，准确化简复数是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于基础题.2.设全集 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合 或 ，先求解 ，再由集合M=x|y=lg(x21)=x|x1,N=x|01,
2、N=x|00（3） “ ”是“ 恒成立”的充分条件a5 x1,2x2a0（4）在 中， “ ”是 “ ”的必要不充分条件ABC ab sinAsinB（5）命题“若 则 ”的否命题为：“若 则 ”x2=1 x=1 x2=1 x1A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】（1）中，若 为真命题，则 至少有一个为真命题，因此不正确；（2）中，利用命题pq p,q的否定的定义，即可判定；（3）中， 恒成立，所以 ，即可求x1,2,x2a0 a(x2)max解；（4）中，由正弦定理，即可作出判定；（5）中，利用否命题的定义，即可作出判定.【详解】由题意， （1）中，若 为真命题，
3、则 至少有一个为真命题，因此不正确；pq p,q（2）中，命题“ ”的否定是“ ”，所以正确；x0R,2x00 x0R,2x00（3）中， 恒成立，所以 ，所以“ ”是“x1,2,x2a0 a(x2)max=4 a5”恒成立的充分不必要条件，所以正确；x1,2,x2a0（4）在 中，由正弦定理可得 “ ”，因此在 中， “ABC absinAsinB ABC”的充要条件，所以不正确；absinAsinB（5）命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，所以不正确，x2=1 x=1 x21 x1综上可知，正确命题的个数为 2 个，故选 C.【点睛】本题主要考查了简易逻辑的综合应用，其中解答中熟记
4、命题的否定、否命题、充4要条件判定方法，复合命题的真假判定等知识点是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.6.将函数 的图象向左平移 （ 0)个单位，所得图象对应的函数恰为y=2sin(x+3)sin(6x) 奇函数，则 的最小值为( )A. B. C. D. 6 12 4 3【答案】A【解析】【分析】由题意，化简函数 ，由图象的变换得到 ，由函数为奇函数，y=sin(2x+23) y=sin(2x+2+23)得 ，即可求解 .sin(2+23)=0【详解】由题意，函数 ，y=2sin(x+3)sin(6-x)=2sin(x+3)cos(x+3)=sin(2x+23)将函数的图象向左平移 个单
5、位后，可得函数 ， y=sin2(x+)+23=sin(2x+2+23)又由函数为奇函数，则 ，所以 ，sin(2+23)=0 2+23=k,kZ当 时， ，故选 A.k=1 =6【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据三角函数的图象变换得到 ，再利用函数的图象与性质求解是解答y=sin(2x+2+23)的关键，着重考查了推理与运算能力.7.已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是（ P y=4ex+1 P ）A. B. C. D. 0,4) 4,2) (2,34 34,)【答案】D【解析】【分析】由题意，函数 ，求得到时
6、，利用基本不等式求得导函数的取值，求得y=4ex+1，进而求解直线的倾斜角的取值范围.k=tan-1,0)5【详解】由题意，函数 ，则 ，且 y=4ex+1 y= -ex(ex+1)2= -exe2x+2ex+1= -1ex+1ex+2-1 y0,0,|m2+2m m)A. B. (,2)4,+) (,42,+)C. (-4,2) D. (-2,4)【答案】C【解析】【分析】由题意，利用基本不等式可得 的最小值，再由恒成立可得 的不等式，解不等式可得x+2y m的范围.m【详解】因为正实数 满足 ，x,y2x+1y=1所以 ，2x+1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy4+24yx
7、xy=8当且仅当 时，即 时取得最小值 8，4yx=xy x=4,y=2因为 恒成立，所以 ，即 ，x+2ym2+2m 8m2+2m m2+2m8f(sinB) f(sinA)f(cosB)C. D. f(cosA)2 B2A所以 ，即 ，所以 ，0cosB 00,an+12=4Sn+4n+1对任意的正整数 恒成立，则整数 的最大值为（ ）4n28n+32n32n n=2 bn此时最大值为 ，即可求解.14【详解】由题意，数列满足 ，则当 时， ，an+12=4Sn+4n+1 n2 an2=4Sn1+4(n1)+1两式相减可得 ，an+12an2=4(SnSn1)+4=4an+4所以 ，又由
8、，所以 ，an+12=an2+4an+4=(an+2)2 an0 an+1=an+2即 ，所以数列 表示首项 ，公差为 2 的等差数列，所以 ，an+1an=2 an a1=1 an=2n1又由 ，即 ，4n28n+32n32n设 ，则 ，bn=2n32n bn+1bn=2n12n+12n32n=2n+52n+1所以 ，当 时， 求得最大值，此时最大值为 ，b1b214 m2n32n能力，属于中档试题.12.在锐角三角形 ABC 中， ，则 的取值范围是（ ）b2cosAcosC=accos2B BA. B. C. D. (3,2) 3,2) 4,2) 6,2)【答案】B【解析】【分析】在三角
9、形中，利用正弦定理的边角互化，求得 ，再由等比数列的性质和两tan2B=tanAtanC9角和的正切函数，利用基本不等式求得 ，进而可求得结果，得到答案.tanB 3【详解】在锐角 中，由 ，ABC b2cosAcosC=accos2B根据正弦定理可得 ，即 ，sin2BcosAcosC=sinAsinCcos2Bsin2Bcos2B=sinAsinCcosAcosC即 ，所以 构成等比数列，tan2B=tanAtanC tanA,tanB,tanC设公比为 ，则 ，q tanA=tanBq,tanC=qtanB又由 ，tanB=tan(A+C)=tanA+tanC1tanAtanC=tanB
10、(q+1q)1tan2B所以 ，当 时取得等号，tan2B=1+q+1q1+2q1q=3 q=1所以 ，所以 ，又由锐角三角形，所以 ，tanB 3 B3 B0 m(x)0 m(x) x1,2所以函数的最小值为 ，即 ，所以 ，m(1)=1 k11 k2所以实数 的取值范围是 .k k12,2【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题的求解，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中把不等式的恒成立问题转化为函数的最值，创立新函数，利用导数求解函数的单调性与最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题17.已知三角形 ABC， ，点 在 BC 边上，且 D AC=22
11、（1）若 ，求 ABCD= 2,AD=2（2）求三角形 ABC 的周长的取值范围【答案】 （1） AB=423（2） .(42，62【解析】【分析】（1）由题意，在 中，利用余弦定理求解 ，再由正弦定理，即可求解；ABC cosC（2）利用正弦定理，进而转化为 ，进而求得三角形的边长的表达式，BC=463sin(1200A)利用三角函数的性质，即可求解.【详解】 （1） 中， ,点 D 在 BC 边上，且 ,ABC B=60 AC=22,CD= 2,AD=2则 cosC=AC2+DC2-AD22ACCD =34所以 sinC= 1-cosC2=74在 中，由正弦定理得ABC AB=ACsinC
12、sinB =42313（2）利用正弦定理得： ，ABsinC=BCsinA=ACsinB=463所以： ，BC=463sinA,BA=463sinC=463sin(120-A)由于： ，00,aR（1）若 是 上的单调递增函数，求实数的取值范围；f(x) (0,+)（2）当 时，证明：函数 有最小值，并求函数 最小值的取值范围.a(0,12) f(x) f(x)【答案】 （） （）a12 (2e,2)【解析】试题分析: （）先将单调性转化为不等式恒成立：当 时，函数 恒成立，再变x0 f(x)0量分离转化为对应函数最值： 的最小值，最后根据导数求函数 最-2a(2x-2)exx+2 g(x)=
13、(2x-2)exx+2值， （）利用二次求导，确定导函数为单调递增函数，再利用零点存在定理确定导函数有且仅有一个零点，根据导函数符号变化规律得函数在此零点（极小值点）取最小值.最后利用导函数零点表示函数最小值，并根据导函数零点取值范围，利用导数方法确定最小值函16数的值域.试题解析: （） ，f(x)=2ex+(2x4)ex+2a(x+2)=(2x2)ex+2a(x+2)依题意：当 时，函数 恒成立，即 恒成立，x0 f(x)0(2x2)exx+22a记 ，则 ，g(x)=(2x2)exx+2 g(x)=2xex(x+2)(2x2)ex(x+2)2 = (2x2+2x+2)ex(x+2)2 0
14、所以 在 上单调递增，所以 ，所以 ，即 ；g(x) (0,+) g(x)g(0)=1 2a1 a12（）因为 ，所以 是 上的增函数，f(x)=2xex+2a0 y=f(x) (0,+)又 ， ，所以存在 使得f(0)=4a20 t(0,1) f(t)=0且当 时 ，当 时 ，所以的取值范围是 a 0 t 1 a12 t 0 (0,1)又当 ， ，当 时， ，x(0,t) f(x)0所以当 时， 且有x=t f(x)min=f(t)=(2t4)et+a(t+2)2 f(t)=0a=(t1)ett+2 f(x)min=f(t)=(2t4)et(t1)(t+2)et=et(t2+t2)记 ，则
15、，h(t)=et(t2+t2) h(t)=et(t2+t2)+et(2t+1)=et（-t2t1) 0(3)当 存在三个不同的零点时，求的取值范围f(x)【答案】(1) .（2）见解析a=2（3） .(0,12)【解析】【分析】(1)由题意，求得 ，依题意，当 时，函数 恒成立，即f(x)=(2x2)ex+2a(x+2) x0 f(x)0恒成立，令 ，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解；a(x1)exx+2 g(x)=(x1)exx+2(2)利用导数，求得函数的单调性与函数的最值，借助函数的最值，即可得到不等式的证明.（3）因为 ，所以 是 上的增函数，存在 使得 ，进而求f(x)0 y
16、=f(x) (0,+) t(0,1) f(t)=017得函数的最小值，则 ，记 ， 利用函数的最值，f(x)min=（t2+t2)et h(t)=（t2+t2)et,t(0,1)即可求解.【详解】(1)在 中，取 x1，得 f(1)0，f(x)+f(1x)=0又 ,所以 .f(1)=ln1-a+b=-a+b b=a从而 ，f(x)=lnx-ax+ax, ，f(x)=1x-a(1+1x2) f(1)=1-2a又 ，所以 .f(1)=-5-f(1)0-1 =5 1-2a=5,a=-2（2）证明： f(a22)=lna22-a32+2a=2lna+2a-a32-ln2令 ，g(x)=2lnx+2x-
17、x32-ln2则 g(x)=2x-2x2-3x22=-3x4+4（x-1）2x2所以， 时， ， 单调递减，x(0,1) g(x)g(1)=2-12-ln21-lne=0所以 时，00(3)f(x)=1x-a(1+1x2)=-ax2+x-ax2当 时，在 (0，)上， ， 递增，a0 f(x)0 f(x)所以， 至多有一个零点，不合题意；f(x)当 时，在(0，)上， ， 递减，a12 f(x)0 f(x)所以， 也至多有一个零点，不合题意；f(x)当 时，令 ，01此时， 在 上递减， 上递增， 上递减，f(x) (0,x1) (x1,x2) (x2，+)所以， 至多有三个零点f(x)因为
18、在 上递增，所以 .f(x) (x1,1) f(x1)0 x0(a22,x1) f(x0)=0又 ，f(1x0)=-f(x0)=0,f(1)=0所以 恰有三个不同的零点： .f(x) x0,1,1x0综上所述，当 存在三个不同的零点时，的取值范围是 .f(x) (0,12)【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解
19、问题，同时注意数形结合思想的应用.22.选修 44：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 中，直线的参数方程是 (是参数， 是常数)，以原点 为xOy x=3ty=m+ 3t m O极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ，点 M 的极坐x =asin(+3)标为 ，且点 在曲线 C 上(4,6) M(1)求的值及曲线 C 的直角坐标方程；(2)若点 关于直线的对称点 在曲线 C 上，求 的长M N |MN|【答案】(1) ，曲线 C 的直角坐标方程为a=4 x2+y223x2y=0(2)|MN|=23【解析】【分析】（1）将点 的极坐标代入曲线的极坐标方程，即可求解 ，在利
20、用极坐标与直角坐标的M a=4互化公式，即可得到曲线 C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程化为普通方程，利用圆的弦长公式，即可求解.【详解】(1)将点 的极坐标 代入方程 得 ，M （4,6) =asin(+3) 4=asin(6+3) .a=4由 得 ，=4sin(+3) =2sin+23cos 2=2sin+23cos将 代入化简得x=cosy=sin x2+y2-23x-2y=019曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-23x-2y=0(2)由 配方得x2+y2-23x-2y=0 (x- 3)2+(y-1)2=4曲线 C 是圆，且圆心坐标为( ，1)3易知点 在圆 C 上，由点
21、关于直线的对称点 N 在圆 C 上，得直线经过圆 C 的圆心，M M ，m2.3=-t1=m+ 3t 这时直线的参数方程是 x=-3ty=2+ 3t 消去参数 t 得 ，x+ 3y-23=0易知点 M 的直角坐标为(2 ，2)，3点 到直线的距离为 .M 3 |MN|=23【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，以及直线的参数方程的应用，其中熟记直线的参数中参数的几何意义，以及直角坐标与极坐标的互化公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.23.选修 45：不等式选讲已知函数 .f(x)=|2xa|+|2x+3|,g(x)=|x1|+2(1)解不等式 |g(x)|5(2)若对任意 ，都
22、存在 ，使得 成立，求实数的取值范围x1R x2R f(x1)=g(x2)【答案】(1) x|2x4(2) (，51，)【解析】【分析】（1）由题意得到不等式 ，得到 ，进而去掉绝对值号，即可求|x1|+2|5 5|x1|+25解不等式的解集；（2）由对任意 ，都有 ，使得 成立，转化为 ，利用绝对值的三角不等式和绝对值的性质，求得 的最值，即可求解.【详解】(1)由 得 ，得不等式的解集为 20(2)因为对任意 ，都有 ，使得 成立，所以又 ，所以 ，解得 或所以实数的取值范围为(，51，)【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向
