1、- 1 -山西省太原市第五中学 2018-2019 学年高二数学上学期 10 月月考试卷 理（含解析）一、选择题（每小题 4 分,共 40 分,每小题只有一个正确答案）1.已知 是两条平行直线，且 平面 ，则 与 的位置关系是（ ）A. 平行 B. 相交 C. 在平面 内 D. 平行或 在平面 内【答案】D【解析】【分析】根据线面平行的性质去判断 b 与 的位置关系即可【详解】因为 是两条平行直线，且 平面 ，所以 与 的位置关系是平行或 在平面 内.故选 D【点睛】本题主要考查了直线和平面位置关系的判断，比较基础2.若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，且此多面体的体积 ，则 （ ）A.
2、 9 B. 3 C. 6 D. 4【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，几何体为三棱锥，根据公式求解即可【详解】由三视图可知，几何体为三棱锥，高为 2，底边长为 a，底面高为 2，顶点在底面上的射影是等腰三角形的顶点，- 2 -所以 V= a 22=6，解得 a=9故选：A【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.3.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形 ，且 ，平行于 轴，则这个平面图
3、形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】 根据斜二测画法的规则可知：水平放置的图形 OABC 为一直角梯形，由题意可知上底为 OA=2，高为 AB=2 ，下底为 BC=2+1=3，该图形的面积为 故选：B【点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，是基础题4.已知圆柱的高等于 ，侧面积等于 ，则这个圆柱的体积等于（ ）A. B. C. D. - 3 -【答案】D【解析】分析：已知圆柱的高等于 ，侧面积等于 ，根据圆柱的侧面积公式，求出底面半径，即可得到圆柱的体积.详解：已知圆柱的高等于 ，侧面积等于 ，设圆柱的底面半径为 根据圆柱的侧面积公式，则圆柱的体积
4、故选 D.点睛：本题考查圆柱的侧面积和圆柱的体积，属中档题.5.若 表示空间中两条不重合的直线， 表示空间中两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则C. 若 ，则 D. 若 ，则【答案】C【解析】【分析】利用空间位置关系的判断及性质定理进行判断或举反例判断【详解】对于 A，若 n平面 ，显然结论错误，故 A 错误；对于 B，若 m，n，则 mn 或 m，n 异面，故 B 错误；对于 C，若 mn，m，n，则 ，根据面面垂直的判定定理进行判定，故 C 正确；对于 D，若 ，m，n ，则 m，n 位置关系不能确定，故 D 错误故选：C【点睛】本题考查了空间线面位置
5、关系的性质与判断，属于中档题6.如图，长方体 中， ， 为 上一点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ）- 4 -A. B. C. D. 随 点的移动而变化【答案】C【解析】【分析】根据图形，利用长方体的性质，三垂线定理推出 BPB 1C，得到选项【详解】 D 1C1面 BCC1B1，BC 1为 BP 在面 BCC1B1内的射影，又 BC1=B1C，BC 1B 1C，BPB 1C异面直线 PB 与 B1C 所成角的大小 90故选：C【点睛】本题主要考查长方体的性质和求异面直线所成角的求法，三垂线定理的应用，考查空间想象能力，计算能力7.如图，在正方体 中， 分别是 的中点，则下列说法错误的是（
6、 ）A. B. 平面C. D. 平面【答案】C【解析】【分析】- 5 -以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果【详解】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD 1的中点， 以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD 1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 2，则 B（2，2，0） ，C 1（0，2，2） ，M（1，2，1） ，D 1（0，0，2） ，C（0，2，0） ，N（0，1，1） ，MNCC 1，故 A 正确；MN平面 ACC1A
7、1，故 B 成立； MN 和 AB 不平行，故 C 错误；平面 ABCD 的法向量 又 MN平面 ABCD，MN平面 ABCD，故 D 正确故选：C【点睛】本题考查命题的真假判断，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题8.在正方体 中，直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 6 -连接 交于点 ，连接 ，可证A 1C1O 即为所求角，则在RtA 1C1O 中， ，即可得到答案.【详解】如图所示：连接 交于点 ，连接 ，在正方体中，AB平面 AD1，ABA 1D，又 A1DAD 1，且 AD
8、1AB=A，A 1D平面 AD1C1B，所以A 1C1O 即为所求角，在 RtA 1C1O 中， ，所以 A1C1与平面 ABC1D1所成角的正弦值为 ，故选 D【点睛】本题考查线面角的求法，属中档题.9.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上，底面 是边长为 的正方形，且 面，四棱锥 的体积为 ，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把四棱锥 P-ABCD 扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，求出外接球的半径 R，再计算外接球的体积【详解】四棱锥 扩展为长方体，则长方体的对角线的长是外接球的直径，由四棱锥的体积为 ，解得 ； ，解得；外接球的体积为
9、故选：B【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征与其外接球的应用问题，是基础题- 7 -10.在长方体 中， 分别在线段 和 上，则三棱锥 体积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，可知要使三棱锥 D-MNC1的体积最小，则 C1 到直线 MN 的距离最小，此时MN 在 AC 上，C 1 到直线 MN 的距离为 5，再由棱锥体积公式求解【详解】如图，D 到平面 MC1N 的距离为定值 ，MC 1N 的一边长 MN=2，要使三棱锥 D-MNC1的体积最小，则 C1 到直线 MN 的距离最小，此时 MN 在 AC 上，C1 到直线 MN 的距离为 5，则三棱锥
10、 D-MNC1的体积最小值为 故选：A【点睛】本题考查棱锥体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_.【答案】平行或异面【解析】【分析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交【详解】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交，- 8 -分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是平行或异面故答案为：平行或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是基础题12.某几何体
11、的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为 的正方形，则该几何体的表面积为_. 【答案】【解析】【分析】该几何体是一个直三棱柱，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】如图所示，该几何体是一个直三棱柱，是以俯视图为底面是三棱柱，棱柱的底面是等腰直角三角形，腰长为 1，棱柱的高为 1，其左侧面与底侧面都是边长为 1 的正方形且相互垂直，其三棱柱的表面积 =故答案为： 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图及几何体的表面积的求法，属于基础题13.已知圆锥的表面积是 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为_.【答案】【解析】【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分
12、析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积，可得 S=r 2+r2r=a，求出半径，即可求这个圆锥的底面直径- 9 -【详解】设圆锥的底面半径为 ，母线为 ，因为圆锥的表面积是 ，所以 ， 又因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以 ，代入可得 ，所以圆锥的底面直径为. 即答案为 .【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算属中档题.14.如图所示，在正方体 中， 分别是棱 的中点，是 的中点，点 在四边形 及其内部运动，则 满足_时，有 平面 【答案】 在线段 上【解析】【分析】根据平面 FHN平面 B1BDD1，可知平面 FHN 内任意一条直线都与平面 B1BDD1平行，而点 M 在四边形 EF
13、GH 上及其内部运动，所以 M 满足条件 MFH【详解】HNDB，FHD 1D，面 FHN面 B1BDD1点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动，故 MFH故答案为：M 在线段 FH 上.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定、面面平行的性质，考查学生空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题15.如图，在直四棱柱 中，底面 是正方形， 记异面直线与 所成的角为 ，则 _.- 10 -【答案】【解析】【分析】由 BDB 1D1，得AB 1D1是异面直线 AB1，与 BD 所成的角（或所成的角的补角） ，由此利用余弦定理能求出 cos【详解】在直四棱柱 中，底面 是正方形， ， 是
14、异面直线 与 所成的角（或所成的角的补角） ，设 ，记异面直线 与 所成的角为 ，则 ，故答案为： 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题三、解答题（每小题 10 分，共 40 分）16.如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， 为的中点，过 的平面与 交于点 （1）求证：点 为 的中点；（2）四边形 是什么平面图形？说明理由，并求其面积- 11 -【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理，证明 A1B1平面 ABFE，A 1B1EF，可得点 F
15、为B1C1的中点；（2）四边形 ABFE 是直角梯形，先判断四边形 ABFE 是梯形；再判断梯形 ABFE 是直角梯形，从而计算直角梯形 ABFE 的面积【详解】 （1）证明：三棱柱 中， ， 平面 ，平面 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ， ，又 为 的中点，点 为 的中点；（2）四边形 是直角梯形，理由为：由（1）知， ，且 ，四边形 是梯形；又侧棱 B1B底面 ABC，B 1BAB；又 AB=6，BC=8，AC=10，AB 2+BC2=AC2，ABBC，又 B1BBC=B，AB平面 B1BCC1；又 BF平面 B1BCC1，ABBF；梯形 ABFE 是直角梯形；由 BB1=3，B 1
16、F=4，BF=5；又 EF=3，AB=6，直角梯形 ABFE 的面积为 S= （3+6）5= 【点睛】本题考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题17.如图，边长为 4 的正方形 中：（1）点 是 的中点，点 是 的中点，将 分别沿 折起，使 两点重合于点 .求证： ；- 12 -（2）当 时，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由正方形 ABCD 知DCF=DAE=90，得 ADAF 且 ADAE，所以 AD平面AEF结合 EF平面 AEF，得 ADEF；（2）由勾股定理的逆定理，得AEF 是以 EF 为斜边的直角三角形，而 AD 是三棱锥 D-AEF 的高
17、线，可以算出三棱锥 D-AEF 的体积，即为三棱锥 A-DEF 的体积【详解】 （1）证明：由正方形 可知： ，平面 ， .（2）正方形 边长为 4，故折叠后 ，故 的面积 ，由（1）知 ，可得三棱锥 的体积.【点睛】本题以正方形的翻折为载体，证明两直线异面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查空间垂直关系的证明和锥体体积公式等知识，属于中档题18.如图，在直三棱柱 中， ， ， 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明 A 1BOM 可；- 13 -（2） （可判断
18、BA，BC，BB 1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面 AMC1的法向量、直线 CC1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线 CC1与平面 AMC1所成角的正弦值；【详解】 （1）证明：连接 交 于 ,连接 .在三角形 中，是三角形 的中位线，所以 ,又因 平面 ，所以 平面 . （2）由 ABC-A1B1C1是直三棱柱，且ABC=90，故 BA，BC，BB 1两两垂直，如图以 所在的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴, 以 所在的直线为 轴，以 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.则 , , , ， , , .设直线 与平面 所成角为 ，平面 的法向量为 .则有 ,
19、 , ，令 ,得 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 .【点睛】本题考查线面平行，考查线面夹角，考查存在性问题的探究，解题的关键是掌握线面平行的判定定理，正确运用向量的方法解决线面角、线线角19.在四棱锥 中，底面 为正方形， .- 14 -（1）证明：面 面 ；（2）若 与底面 所成的角为 ， ，求二面角 的余弦值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设 AC 与 BD 交点为 O，则 POBD，而正方形中ACBD，于是可证得结论（2）由线面角的定义可得 ，以 A 为坐标原点， 为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面 BPC 和面 DPC 的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦【详解】 （1）证明：连接 AC,BD 交点为 O，四边形 ABCD 为正方形， ， , ,又 ,又 , .（2） ，过点 P 做 ,垂足为 E PA 与底面 ABCD 所成的角为 ， ,又 ，设 ,则如图所示，以 A 为坐标原点， 为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系- 15 -设面 法向量为 ，, ，同理 的法向量 ，求二面角 的余弦值【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角） 解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）
