1、1江苏省五校 2019 届高三数学上学期 12 月联考试题一、填空题:本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分，把答案填写在答题卡上相应位置上.1.已知集合 ，若 ，则 .3,21aBA1BABA2.函数 的定义域为 .)lg()xxf3.已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数zi z的模为 .4.右图是一个算法流程图，则输出的 的值是 .k5.已知函数 ，则 .0,log2)(xxf )2(f6.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则1|a实数 的取值范围为 .7.已知函数 的图象与直线 相切，则实数 的值为 .xyln1xya8.已知函数 在 时取得最大值，则 的值是 .)2
2、)(2si69.在平面直角坐标系 中，已知角 的终边经过点 ,将角 的终边绕原点按逆时O)2(A针方向旋转 与角 的终边重合 ,则 的值为 .sin(10.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围nanS156,31Sa12a是 .11.如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为 、xOy)0(2byax A，右焦点为 ，上顶点为 ，线段 的中点为 ，直线 与椭圆的另一个交点为BFCBMA，且 垂直于 轴，则椭圆离心率 的值为 .De12.如图，在 中， a、 b、 c 分别是角 所对的边， 是 上的两个三等AAC、 、 FE,B分点， 是 上的两个三等分点， ，则 的最小
3、HG, 910)()(HGCbcos值为 .213.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，直线 ，过直线 上点xOy1:2yxaxyl:l作圆 的切线 ，切点分别为 ，若存在点 使得 ，则实数PPBA, BA,PPOBA23的取值范围是 .a14.已知函数 （ 是自然对数的底数）恰有三个不同的零点 1,2|)(2xaxef e，则实数 的取值范围是 .二、解答题:本大题共 6 小题，共计 90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分 14 分)已知向量 ， 且a1,cos2()sin2,(b),0(（1）若 ，求 的值；b/（2）若 ，求 的值.5|16. (本小题满分 14
4、 分)已知函数 是定义在 的奇函数（其中 是自然对数的底数）.xemxf21,e（1）求实数 的值；（2）若 ，求实数 的取值范围. 2(1)()0fafa17. (本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右准线方程xOy:C)0(12bayx，离心率 ，左右顶点分别为 ，右焦点为 ，点 在椭圆上，且位于4:xl21eBA,FP轴上方.3（1）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的最小值；PA1kPB2k21（2）点 在右准线 上，且 ，直线 交 负半轴于点 ，QlQFxM若 ，求点 坐标.6MF18. (本小题满分 16 分)如图，港珠澳大桥连接珠海（ A 点）
5、、澳门（ B 点） 、香港（ C 点） 线段 长度为 ，线段 长B)(10kmC度为 ，且 .澳门（ B 点）与香港（ C 点）之间有一段海底隧道，连)(40km6接人工岛 和人工岛 ，海底隧道是以 为圆心，半径 的一段圆弧EFO)(310kmR，从珠海点 到人工岛 所在的直线 与圆 相切，切点为点 ， 记FAEAEE.)2,6,B（1）用 表示 、 及弧长 ；F（2）记路程 、弧长 及 四段长总和为 ，当 取何值时， 取得最小值？EA、BCll19. (本小题满分 16 分)已知函数 （ 是自然对数的底数）.xaxegxaxf )2()(,ln2 e（1）若 ，求函数 的单调增区间；)(f（
6、2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；x0x（3）若函数 在 处取得极大值，求实数 的取值范围.)()(gfh1a)(310kmR)(10km（第 18 题）420. (本小题满分 16 分)已知数列 、 、 ，对于给定的正整数 ，记 ，nabnckknnab（ ）.若对任意的正整数 满足： ，且 是等差数列，则kncNn1c称数列 为“ ” 数列.)(H（1）若数列 的前 项和为 ，证明： 为 数列；na2Snna)(kH（2）若数列 为 数列，且 ，求数列 的通项公式；)1( 5,1,21cbana（3）若数列 为 数列，证明： 是等差数列. n)(江苏省启东中学、前黄中学、淮
7、阴中学等七校 2019 届高三 12 月月考数学试题数学试题（II）卷 2018.12.2121(本小题满分 10 分)已知矩阵 的逆矩阵 ，设曲线 在矩阵 对应的变换作用下372aAabA721 FA得到曲线 ，求曲线 的方程.xyF22(本小题满分 10 分)已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极latyx x轴建立极坐标系， 圆 的极坐标方程为 ，直线 与C)0(2)4sin(2l圆 相交于 、 两点.若弦长 ，求实数 的值.CABAa523. (本小题满分 10 分)已知点 是抛物线 上的一点，过点 作两条直线 与 ，分别与抛物线相交于 、Pxy2P1
8、l2A两点.B（1）已知点 且 ，求证：直线 恒过定点；)0,(21lAB（2）已知点 ，直线 所在直线方程为 ，且 的垂心 在 轴上，bxyPABHx求实数 的值.b24. (本小题满分 10 分)已知数列 满足 .na121nna（1） ，求 ，并猜想数列 通项公式；23,（2）若 ，用数学归纳法证明1 na .4221 nn6数学试卷（I）答案 2018.12.21一、填空题:1、1,2,3 2、 3、 4、 5 5、-2 6、 ),()1,(21a7、2 8、 9、 10、 11、 12、165,413、 14、,(,)2二、解答题:15、解（1）因为 ，所以 ，所以 3ba/ 1co
9、sin421sin分又因为 ，所以 ，所以 或 ，所以 或 ),0()2,0(65257 分（漏 1 解扣 2 分）（2）因为 ，所以 ，所以 105ba5sinco51sinco分所以 14 分170)si2()1s2(| 2（忘记开根号扣 2 分）16、解（1）因为 是定义在 的奇函数，所以 ，所以xemxf)(, 0)(fm=14 分当 m=1 时， ，所以 6 分fx21)( )(21)(xfefx（2） xe，所以 ，当且仅当 x=0 时 ，所以 在 单调递1xe0)(f 0)(xf)(xf1,增10 分所以 ，所以 14 分21a21a（忘记定义域扣 2 分）17、解（1） 2 分
10、134yx设点 P ，则 6 分),(02k02000 34yxyx因为 ，所以，当 时 的最小值为 7 分y31k（用结论 不证明扣 2 分）21abk7（2）设点 P ，则 QF： ，所以点 Q 9),(0yx)1(0xy)1(3,40yx分因为点 P、Q、M 三点共线，所以 ，所以 11 分QMPk)(5302y又因为 ，所以 或 ，因为 ，所以13420yx40x5,(0xP 14 分)57,(18.解（1）在 中，由正弦定理可知： 2 分ABE sin35sin160iAE在 中， 4 分OF32sinR6 分A320（2） 8 分26,sin4sin5 l 2322 sin)4co
11、s74co(5sin3)coco( 10 分即 12 分2 i)4s)(12(5l由 ，则 14 分3,0cost 042cot当 时， ；当 时，6ll在 上单调递减 ，在 上单调递增l)3,( )2,3(答：当 时， 取得最小值.16 分l19. 解（1）当 时，1a xxfxxf )1(21)(ln)(2 因为 ，所有 时， ； 时，0x0)(f0)(f则 在 上单调递增。 3 分)(f),（2） （法 1：不分参，分类讨论） )0(12)( xaxf 若 时， ，则 在 上单调递减，0a0)(ff,由 与 恒成立矛盾，所以 不合题意；5 分1)(f x0a8（不举反例扣 1 分） 若
12、时，令 ，则0a0)(xf a481所以 当 时， ；当 时，0f0x0)(f则 在 单调递减，在 单调递增 7 分)(xf), ),(0所以 的最小值为 （*） ，02ln)xaxf又 带入（*）得： ，)1(012020xa 0021ln)(xf由 恒成立，所以 ，记)(f 2l0xxf xm又 ，则 在 单调递减，020 xm001ln)(m),(又 ，所以 )1(1010 分20xa),0所以实数 的取值范围是 ,1附：（法 2：分参）对 恒成立，0lnxa2lnxa令5 分)()(2m31)(xm设 ， ， 在 单调递xxFl10 FxFln1)(),0(减，又 7 分0)(当 时，
13、 ，即 ；当 时， ，即1x0)(xF0)(xm10)(xF0)(xm在 上递增，在 上递减 )(m,1)(ma综上，实数 的取值范围是 10 分a)（3） ，2)( xexh0)1(h设 ，0,1)eG2 xeG9则 在 上单调递减，)(xG),0 当 时，即121ea， ，则x)(0)(xh在 单调递减与“ 在 处取得极大值”矛盾)(h,01不合题意；12 分21ea 当 时，即)(G2ea则 0)(21211aeaee由 ， ，使得 14 分0)(0),(0x0)(xG当 时， ，则1x)(xG12) eah当 时， ，则 )( xx在 单调递增，在 单调递减，则 在 处取得极大值)(x
14、h,0),1(h1综上 符合题意。 16 分21ea20. 解（1）当 时， 2 分n2)(21nnSan当 时， 符合上式， 则1 )1(a24,kckbnn则 1对任意的正整数 满足 ，且 是公差为 4 的等差数列， 为 数列.1nbncna)(kH4 分（3） 2,1aa由数列 为 数列，则 是等差数列，且 n)(Hnc5,321c12n即 6 分21aann)(10则 是常数列 9 分nana01验证： ， 对任意正整数 都成立 1nbnb10 分n附： 21a321an- 得： nkkkk )1(,)(212 na（3）由数列 为 数列可知： 是等差数列，记公差为 na2Hncdba
15、c nn 2)()(242 dbn231则 0)(31dbbnn又 13 分1数列 为常数列，则n 12bann12bac由 16 分2)(11 ddnnn 是等差数列.a注意：请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤21(本小题满分 10 分)解：3 分10723aba134027ab，则 5 分,535A设曲线 上任一点 变换为 则F),(yxP),(yx，7 分xy372511代入曲线 得曲线 的方程 10 分xy2Fxy3（不设任意点 变换为 扣 1 分）),(P),(22(本小题满分 10 分)解：解：直线 ，圆 ，4 分axyl: 4)()(:22yxC由弦长
16、 6 分AB2dr所以圆心 C（1，-1）到直线 的距离 ， 10 分l21a40或（漏解扣 2 分）25. (本小题满分 10 分)解（1）由题可知直线 、 的斜率都存在，设 ，1l2 kxyl:1 xkyl1:22 分kxy2),(2kA同理可得 ,B则直线 所在的直线方程为 1),(12kxy当 时，直线 所在的直线方程为1kA综上，直线 恒过定点 5 分)0,(（不讨论 值扣 1 分）（2）由 可知垂心BPH),2(设点 ),(),(21yxA由 得： yb2 0)1(22bx04122bx由 )()(2211yxPBHA即 7 分0)(21 bbx将 带入 得： ，又042410 分
17、（忘记 扣 1 分）01226. (本小题满分 10 分)解（1） ，猜得 1 分4,3,21a1n（3）证明 ：（i）当 时， ，命题成立；1n3（ii）假设 命题成立，即),(Nk2ka则 时，1kn 31)(21 akk时，命题也成立综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。4 分nNn（忘记 扣 1 分）),(Nk 先用数学归纳法证明 2na（i）当 时， ，命题成立；n31（ii）假设 命题成立，即),(Nk12ka则 时，k )(121 kkkka时，命题也成立n综合（i） （ii）可知 对一切正整数 都成立。8 分21n Nn10 分42)1()()(3221 nakn（不用数学归纳法，用放缩扣 3 分）
