1、- 1 -2018-2019 学年度第一学期高一期中调研测试数学试题一.填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分. 不需写出解答过程请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】直接利用补集的运算法则求解即可.【详解】因为 ，所以，由补集的定义可得 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查补集的定义，意在考查对基本定义的掌握情况，属于简单题.2.已知 ，且 是第二象限角，则 _【答案】【解析】 是第二象限角， 。又 ， 。答案：3. _.【答案】【解析】【分析】由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可得结果.- 2 -【详解】由诱导公式可得 ，故
2、答案为 .【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.4.已知幂函数 的图象过点 ，则 _.【答案】【解析】【分析】设幂函数 ，把点 代入列方程求出 ，即可求出 .【详解】设幂函数 ，把点 代入得，解得 ，即 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查幂函数的定义，意在考查对基本定义的掌握与应用，属于简单题.5.已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形面积为_ .【答案】【解析】【分析】根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.【详解】 扇形的
3、半径为 ，圆心角为 ，弧长 ,这条弧所在的扇形面积为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.6.函数 的定义域为_.- 3 -【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数 有意义，必须满足 ，解得 ，函数 的定义域为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)
4、 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.7.已知 ，则 _.【答案】【解析】【分析】令 得 ，可得 ，从而可得到所求的函数解析式 .【详解】由题意 ，得 ，则 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.8.若函数 在区间 上存在零点，则 _.- 4 -【答案】2【解析】【分析】由
5、 及零点存在定理可得结果.【详解】因为 ，函数 为连续函数，且在 单调递增，由零点存在定理可得，的零点在区间 上， 零点所在的一个区间 是 ，故答案为 2.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用两点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.9.已知 ， ， ，则 大小顺序为_.（用“”连接）【答案】【解析】【分析】利用指数函数的性质 的范围，利用对数函数的性质判断 的取值范围，然后比较大小即可.【详解】由指数函数的性质可得，由对数函数的性质可得 ，所以 ,故答案为 .【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.
6、解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间） ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.10.已知函数 ， ，若 ，则 _.【答案】3【解析】- 5 -【分析】结合函数的奇偶性，利用整体代换求出 的值.【详解】因为函数 ，所以 ,故答案为 3.【点睛】本题考査了利用函数的奇偶性、结合整体代换的思想求值的方法，要注意这种“设而不求”的技巧的应用.11.已知奇函数 在 上单调递减，且 则不等式 的解集为_.【答案】【解析】【分析】不等式 等价于 ，可得 或 又利用奇函数的性质得出 ，从而得出 和 ，从而可得结果.【详解】 函数
7、 为奇函数，且在 上单调递减，在 上单调递减，即函数 为奇函数，且在 上单调递减，不等式 等价于 ，函数 为奇函数，且可变形为 （1）或 （2） ，不等式组（1）的解为 ；不等式组（2)的解为 ，不等式 的解集为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单- 6 -调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.12.函数 在 上为增函数，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据复
8、合函数单调性之间的关系以及对数函数的定义域，列不等式组即可得到结论.【详解】设 则函数 为减函数，要使函数 在 上为増函数，则等价为函数 在 上为减函数，且 ，即 ，解得 ，即 ，故答案为 .【点睛】在区间对于函数 ，可设内层函数为 ，外层函数为 ，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减” ，即内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相同，则函数 在区间 D 上单调递增；内层函数与外层函数在区间 D 上的单调性相反，则函数 D 上单调递减13.已知函数 ,正实数 满足 ,且 ,若 在区间 上的最大值为4,则 =_.【答案】【解析】【分析】由正实数 满足 ，且 ，可知 且 ,再由 在区间
9、上的最大值为 2，可得出 求出 、 ，从而可得 的值.【详解】 ，正实数 满足 ，且 ，由对数函数的性质知 ，可得 ，所以 ， - 7 -又函数在区间 上的最大值为 2 ,由于 ，故可得 ，即 ，即 ，即 ，可得 ，则 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及对数函数的图象、值域与最值，意在考查对基本性质掌握的熟练程度以及综合应用所学知识解答问题的能力，求解本题的关键是根据对数函数的性质判断出 ，以及 ，本题属于难题.14.下列叙述正确的序号是_（把你认为是正确的序号都填上).定义在 上的函数 ，在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 在 上是单调增函数；已知函数
10、的解析式为 = ，它的值域为 ，那么这样的函数有 9 个；若函数 = 在 上单调递增,则 ；已知 的定义域为 ,且满足对任意 ,有 ,则 为偶函数.【答案】【解析】【分析】讨论三种情况，利用函数单调性的定义判断；利用列举法求得不同定义域的情况总数可判断； 的单调递增区间是 ，可得 ，故 ，可得不正确；由定义域关于原点对称，先求得 ，可再令 ,即可得到 ，即为偶函数.【详解】任意两个数 ，若任意两个数 同号，由单调性的定义可得 ，若不同号，则 ， 函数 在区间 上是单调增函数，所以 ， 因为在区间 上也是单调增函数， ，所以 ，- 8 -对于定义域内的任意两个数 ，满足 ， 函数 在 上是单调増
11、函数，故正确；令 和 得 或 1 或 或 2，则定义域分别为共 9 种情况，故正确； 的单调增区间 ，结合函数 = 在 上单调递增,可得是 的子集， ，故 ，故不正确；由于 的定义域为 ， ，可令 ，则，故 为偶函数，故正确，故答案为.【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的单调性、函数的奇偶性、函数的定义域与值域，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输” ，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二.解答题：（本大题共 6
12、 小题，共 90 分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤）15.已知集合 ,集合 B=（1）当 时，求 ；（2）若 ，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)求出 时的集合 ,直接由交集的定义以及并集的定义可求得 ；(2)若,则 ，结合子集的定义可得到所求 的范围.【详解】 （1）当 时， - 9 -（2）由 得 【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想
13、的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图16.计算下列各式的值：（1）（2） .【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）直接利用根式与分数指数幂的运算法则求解即可,化简过程注意避免出现符号错误；（2）直接利用对数的运算法则求解即可，解答过程注意避免出现计算错误.【详解】 （1）原式 （2）原式 【点睛】本题主要考查函数的定义域、指数幂的运算，属于中档题. 指数幂运算的四个原则：- 10 -（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根
14、式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）17.已知角 的终边经过点 ，且 （1）求 的值；（2）求 的值【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由 利用任意角的三角函数的定义，列等式可求得实数 的值；（2）由（1）可得 ，利用诱导公式可得原式 ，根据同角三角函数的关系，可得结果.【详解】 （1）由三角函数的定义可知（2）由（1）知 可得 原式 - 11 -【点睛】本题主要考查诱导公式的应用以及三角函数的定义，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，同时还要加
15、强记忆几组常见的诱导公式，以便提高做题速度.18.高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过 40 人时，人均收费 100 元；超过 40 人且不超过 ( )人时，每增加 人，人均收费降低 元；超过 人时，人均收费都按照 人时的标准设景点接待有 名游客的某团队，收取总费用为 元（1）求 关于 的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据收费标准，分 ， 分别求出 与 的关系即可；(2)由（1)
16、当 时， ， ， 随 增大而增大 当 时，当时， ， 随 增大而增大，根据二次函数的性质，即可解决问题.【详解】 （1）当 时， ； 当 时， ； 当 时， （2） 当 时， ， 随 增大而增大， 当 时， ， 随 增大而增大 当 时， 当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小 ，- 12 -当 时， ， 随 增大而增大综上所述，当 时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题
17、意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).19.已知函数 是定义在 上的奇函数（1）求 的值；（2）判断并证明函数 的单调性，并利用结论解不等式（3）是否存在实数 ，使得函数 在 上的取值范围是 ，若存在，求出实数 的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】 （1）1；（2） ；（3）【解析】【分析】(1)由 是定义在 上的奇函数可得 ，从而得出 ,；(2) 设 ，再作差 ，通分合并，最后根据自变量范围确定各因子符号，得差的符号，结合单调性定义可得 是在 上单调增函数
18、，结合奇偶性原不等式化为 ，从而可得结果；(3) 问题等价于即方程 有两个不等的实根，即方程 有两个不等的正根，利用一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】 （1） 是定义在 上的奇函数，从而得出 - 13 -检验：满足（2）设任意 且是在 上单调增函数. 又 是定义在 上的奇函数且是在 上单调增函数（3）假设存在实数 ，使之满足题意由（2）可得函数 在 上单调递增为方程 的两个根，即方程 有两个不等的实根， 令 ，即方程 有两个不等的正根 ，【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于难题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取 ；（2）作差 ；（3）判
19、断- 14 -的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号） ， 可得 在已知区间上是增函数， 可得 在已知区间上是减函数.20.已知函数 .（1）求出函数 值域；（2）设 ， ， ，求函数 的最小值 ；（3）对（2）中的 ，若不等式 对于任意的 时恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3）【解析】【分析】（1）利用定义证明 是在 上单调增函数，可得函数 值域为 ；，令 ，分类讨论二次函数对称轴的位置，结二次函数的单调性即可得结果；（3）不等式 对于任意的时恒成立，等价于 对于任意的 时恒成立，分类讨论去绝对值符号，分离参数，分别利用单调性的定义判断单调性，利用单调性求最值
20、，从而可得结果.【详解】 （1）设任意是在 上单调增函数函数 值域为 令 ，- 15 -当当当（3）不等式 对于任意的 时恒成立对于任意的 时恒成立当 时， 恒成立即即令 ，设任意当 时， ， 当 时， ， 在 上单调递减，在 单调递增，当 时， 恒成立即即令 ，- 16 -设任意在 上单调递增，综上：【点睛】本题主要考查利用定义判断函数的单调性，利用单调性求最值以及不等式恒成立问题，分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想的常见类型 问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
