1、1湖南省师大附中 2019 届高三数学月考试题（五）理时量：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数 z 满足 z(13i)17i(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内对应的点位于(A)A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【解析】易得 z2i，则 z 对应的点为(2，1)故选 A.2设 m 为给定的一个实常数，命题 p：x R，x 24x2m0，则“m3”是“命题 p 为真命题”的(A)A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分且必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】若命题
2、p 为真，则对任意 xR，x 24x2m0 恒成立，所以168m0，即 m2.因为 m3m2 ，则“m3”是“命题 p 为真命题”的充分不必要条件选 A.3若等差数列a n的前 5 项之和 S525，且 a23，则 a7(B)A12 B13 C14 D15【解析】由 S55a 325a 35，所以公差 da 3a 22，所以 a7a 25d35213，故选 B.4已知某 7 个数的平均数为 3，方差为 s2，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为 x，方差为 ，则(B)72Ax3，s 22 Bx3，s 24 Cx3，s 228 Dx6，s 272【解析】这 7 个数的平均数为 3，
3、方差为 s2，现又加入一个新数据 3，此时这 8 个数的平均数为 x，方差为 ，722x 3，又由 8 4，得 s24.故选 B.73 38 72 175若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 r，则记为 Nr(mod m)，例如 133(mod 5)下列程序框图的算法源于我国古代算术中国剩余定理 ，则执行该程序框图输出的 i等于(C)A4 B8 C16 D32【解析】第一次执行循环体，得 i2，N18，此时 180(mod 3)，不满足第一条件；第二次执行循环体，得 i4，N22，此时 221(mod 3)，但 2225，不满足第二条件；第三次执行循环体，得 i8，N30，此时 300(m
4、od 3)，不满足第一条件；第四次执行循环体，得 i16，N46，此时 461(mod 3)，且 4625，退出循环所以输出 i 的值为 16.选 C.6如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，则下列结论正确的是(D)3APBAD B平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAE D直线 CD平面 PAC【解析】因为 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直，所以 A 答案不正确过点 A 作 PB 的垂线，垂足为 H，若平面 PAB平面 PBC，则 AH平面 PBC，所以AHBC.又 PABC，所以 BC平面 PAB，则 BCAB，这与底面是正六边
5、形不符，所以 B 答案不正确若直线 BC平面 PAE，则 BCAE，但 BC 与 AE 相交，所以 C 答案不正确故选 D.7在(x3y)(x2y) 5的展开式中，x 2y4的系数为(B)A320 B160 C160 D320【解析】(x2y) 5的展开式中第 r1 项为 Tr1 C x5r (2y) r，r5令 5r1，得 r4；令 5r2，得 r3.在(x3y)(x2y) 5展开式中 x2y4的系数为 C (2) 43C (2) 3160.故45 35选 B.8若函数 f(x)asin xbcos x(00，b0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，x2a2 y2b2若
6、AFBF，设ABF，且 ，则该椭圆的离心率 e 的取值范围是(A)12， 4A. B. C. D.22， 63 22， 33 12， 33 23， 63【解析】已知椭圆 1(a0，b0)上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右x2a2 y2b2焦点，设左焦点为 N，连接 AN，BN，因为 AFBF，所以四边形 AFBN 为长方形根据椭圆的定义： 2a，由题ABF，则ANF，所以 2a2ccos |AF| |AN|2csin ，利用 e ， ， ，2c2a 1sin cos 12sin( 4) 12， 4 3 4 2 ，即椭圆离心率 e 的取值范围是 ，故选 A.22 12sin( 4)
7、 63 22， 6312设平行于 x 轴的直线 l 分别与函数 y2 x和 y2 x1 的图象相交于点 A，B，若在函数 y2 x的图象上存在点 C，使得ABC 为等边三角形，则这样的直线 l(C)A至少一条 B至多一条 5C有且只有一条 D无数条【解析】设直线 l 的方程为 ya(a0)，由 2xa，得 xlog 2a，所以点A(log2a，a)由 2x1 a，得 xlog 2a1，所以点 B(log2a1，a)，从而|AB|1.如图，取 AB 的中点 D，连接 CD.因为ABC 为等边三角形，则 CDAB，且|AD| ，|CD| ，所以点 C .12 32 (log2a 12， a 32)
8、因为点 C 在函数 y2 x的图象上，则 a 2log 2a ，32 12 a2解得 a ，所以直线 l 有且只有一条，选 C.32 2二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为14_2 _ 2【解析】由长方体长为 2，宽为 1，高为 1，则长方体的体积 V12112，圆柱的底面半径为 1，高为 1，则 圆柱体的体积 V2 1 21 ，14 14 4则该几何体的体积 VV 12V 22 . 214已知函数 f(x) 的值域为 R，则实数 a 的最大值log2（ x2 x a） ， x 0，1 x2， x
9、0，4m6.16已知数列a n满足：a11，a n1 (nN *)b n1 (n2) (nN *)，b 1，且数列b n是anan 2 (1an 1)单调递增数列，则实数 的取值范围是_ _( ，23)【解析】因为an1 1 12 1 2n1 2 n，anan 2 1an 1 2an 1an 1 (1an 1) 1an (1a1 1)所以 bn1 (n2)2 n，因为数列 是单调递增数列，所以当 n2 时，bnbn1 bn(n 2)2 n(n12)2 n1 n2 122 1b1(1 2)20；当 p(0.2，1)时，f(p)120，得 a 7.5，且 aN *，10514当种植基地要对每个不合
10、格水果支付的赔偿费用至少为 8 元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检测(12 分)20(本小题满分 12 分)10如图所示，在ABC 中，AB2，AB 的中点为 O，点 D 在 AB 的延长线上，且 BD 1.固2定边 AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D，记顶点 C 的轨迹为曲线 .以 AB 所在直线为 x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系()求曲线 的方程；()过点 P(2，0)的直线 l 与曲线 交于不同的两点 S，R，直线 SB，RB 分别交曲线 于点 E，F.设 ， ，求 的取值范围SB BE R
11、B BF 【解析】()依题意得 AB2，BD 1，设动圆 M 与边 AC 的延长线相切于 T1，与2边 BC 相切于 T2，则 ADAT 1，BDBT 2，CT 1CT 2.所以ADBDAT 1BT 2ACCT 1BT 2ACCT 2BT 2ACBCAB2BD2 AB2，2所以点 C 的轨迹 是以 A，B 为焦点，长轴长为 2 的椭圆，且挖去长轴的两个顶2点则曲线 的方程为 y 21 .(4 分)x22 (y 0)()设 S(x1，y 1)，R(x 2，y 2)，E(x 3，y 3)，由题意得 B(1，0)，则 (1x 1，y 1)， (x 31，y 3)SB BE 由 ，得y 1y 3，即
12、.SB BE y1y3当直线 SB 与 x 轴不垂直时，直线 SB 的方程为 y (x1)，y1x1 1即 x ，（ x1 1） y y1y1代入椭圆 方程并整理得(32x 1)y22y 1(x11)yy 0，21则有 y1y3 ，即 32x 1，于是 32x 1.y1y3当 SB 与 x 轴垂直时，点 S 的横坐标为 1，1，显然 32x 1成立同理可得 32x 2.(8 分)设直线 l 的方程为 yk(x2)，11代入椭圆方程并整理，得(2k 21)x 28k 2x8k 220，依题意有 解得 00， ) 12又 x1x 2 ，8k22k2 1则 32x 132x 262(x 1x 2)6
13、2 14 .(8k22k2 1) 82k2 1由 00，得 ln x0，即 0x1，所1 （ ln x 1）x2 ln xx2以 h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，从而 h(x)maxh(1)1.(4 分)因为当 0 时，h(x)0；当 x时，h(x)0，1e 1e所以 a 的取值范围是(0，1)(5 分)()因为 x1，x 2为 f(x)的两个极值点，则 x1，x 2为直线 ya 与曲线 yh(x)的两个交点的横坐标由()可知， x2时，a ，即 f(x)0，则 f(x)在(0，x 1)，(x 2，)上单调递减，在(x 1，x 2)上单调递增，所以 f(x)的极小值点为
14、x1，极大值点为 x2.(7 分)当 0x1 时，因为 ln x0，0a1，x 21，则 g(x)xln x x2 1，所以 g(e )e e (1e ) h(e2) .(11 分)3e2综上分析，当 00，故 tan .354所以直线 l 的斜率为 .(10 分)5423(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)|x1|x2|，g(x)|x1|xa|a.()当 a1 时，求不等式 f(x)g(x)6 的解集；()若对任意实数 x1，x 2，不等式 f(x1)g(x 2)恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】()当 a1 时，不等式化为|x2|x1|5.(1 分)则 或
15、或 (3 分)x 1，2x 35) 2 x 1，15 ) x 2， 2x 35， )即1x1 或2x1 或4x2，即4x1，所以不等式的解集是(4，1)(5 分)()因为 f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3，当(x1)(x2)0，即2x1 时取等号，所以 f(x)min3.(6 分)因为 g(x)|x1|xa|a|( x1)(xa)|a|a1|a，当xmaxa，1时取等号，所以 g(x)max|a1|a.(7 分)据题意，f(x) ming(x) max，则 3|a1|a，即|a1|3a，所以 3 a 0，（ a 1） 2 （ 3 a） 2， )解得 a1，所以 a 的取值范围是(，1(10 分)
