1、1矩形菱形与正方形一.选择题1. （2018湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点将ABG 沿 AG 对折至AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是（ ）A1 B1.5 C2 D2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 RtAFERtADE；在直角ECG 中，根据勾股定理即可求出 DE 的长【解答】解：AB=AD=AF，D=AFE=90，在 RtABG 和 RtAFG 中， ，RtAFERtADE，EF=DE，设 DE=FE=x，则 EC=6xG 为 BC 中点，BC=6，CG=3，在 RtECG 中，根
2、据勾股定理，得：（6x） 2+9=（x+3） 2，解得 x=2则 DE=2故选：C【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理2.（2018江苏宿迁3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD的周长为 16，BAD60,则OCE 的面积是（ ）A. B. 2 C. D. 42【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，ACBD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得ABD是等边三角形；在 RtAOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根
3、据三角形面积公式得 SACD= ODAC=4 ，根据中位线定理得 OEAD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出OCE 的面积.【详解】菱形 ABCD 的周长为 16，菱形 ABCD 的边长为 4，BAD60，ABD 是等边三角形，又O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，ACBD，在 RtAOD 中，AO= ，AC=2AO=4 ，S ACD = ODAC= 24 =4 ，又O、E 分别是中点，OEAD，COECAD， ， ，S COE = SCAD = 4 = ，故选 A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解
4、题的关键.3.（2018江苏无锡3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形 EFGH 的顶点 G、H都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tanAFE 的值（ ）A等于 B等于C等于 D随点 E 位置的变化而变化【分析】根据题意推知 EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD， = = 设 EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tanFAG= = = 3故选：A【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求AF
5、E 的正切值转化为求FAG 的正切值来解答的4.（2018江苏淮安3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（ ）A20 B24 C40 D48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AOBO，则 AB= =5，故这个菱形的周长 L=4AB=20故选：A【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般5.（2018江苏淮安3
6、 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A1的坐标为（1，0） ，过点 A1作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D1，以 A1D1为边作正方形 A1B1C1D1；过点 C1作直线 l 的垂线，垂足为 A2，交 x 轴于点 B2，以 A2B2为边作正方形 A2B2C2D2；过点 C2作 x 轴的垂线，垂足为 A3，交直线 l 于点 D3，以 A3D3为边作正方形 A3B3C3D3，按此规律操作下所得到的正方形 AnBnCnDn的面积是 （ ） n1 4【分析】根据正比例函数的性质得到D 1OA1=45，分别求出正方形 A1B1C1D1的面积、正方形 A2B2C2
7、D2的面积，总结规律解答【解答】解：直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，D 1OA1=45，D 1A1=OA1=1，正方形 A1B1C1D1的面积=1=（ ） 11 ，由勾股定理得，OD 1= ，D 1A2= ，A 2B2=A2O= ，正方形 A2B2C2D2的面积= =（ ） 21 ，同理，A 3D3=OA3= ，正方形 A3B3C3D3的面积= =（ ） 31 ，由规律可知，正方形 AnBnCnDn的面积=（ ） n1 ，故答案为：（ ） n1 【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到D 1OA1=45，正确找出规律是解题的关键6.（2018
8、山东烟台市3 分）对角线长分别为 6 和 8 的菱形 ABCD 如图所示，点 O 为对角线的交点，过点 O折叠菱形，使 B，B两点重合，MN 是折痕若 BM=1，则 CN 的长为（ ）5A7 B6 C5 D4【分析】连接 AC.BD，如图，利用菱形的性质得 OC= AC=3，OD= BD=4，COD=90，再利用勾股定理计算出 CD=5，接着证明OBMODN 得到 DN=BM，然后根据折叠的性质得 BM=BM=1，从而有 DN=1，于是计算CDDN 即可【解答】解：连接 AC.BD，如图，点 O 为菱形 ABCD 的对角线的交点，OC= AC=3，OD= BD=4，COD=90，在 RtCOD
9、 中，CD= =5，ABCD，MBO=NDO，在OBM 和ODN 中，OBMODN，DN=BM，过点 O 折叠菱形，使 B，B两点重合，MN 是折痕，BM=BM=1，DN=1，CN=CDDN=51=4故选：D【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了菱形的性质7.（2018山东聊城市3 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA=5，OC=3若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1处，则点 C 的对应点C
10、1的坐标为（ ）6A （ ， ） B （ ， ） C （ ， ） D （ ， ）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出ONC 1三边关系，再利用勾股定理得出答案【解答】解：过点 C1作 C1Nx 轴于点 N，过点 A1作 A1Mx 轴于点 M，由题意可得：C 1NO=A 1MO=90，1=2=3，则A 1OMOC 1N，OA=5，OC=3，OA 1=5，A 1M=3，OM=4，设 NO=3x，则 NC1=4x，OC 1=3，则（3x） 2+（4x） 2=9，解得：x= （负数舍去） ，则 NO= ，NC 1= ，故点 C 的对应点 C1的坐标为：（ ， ） 故选：A【点评】此题主要考查了矩
11、形的性质以及勾股定理等知识，正确得出A 1OMOC 1N 是解题关键8.（2018上海4 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）AA=B BA=C CAC=BD DABBC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A.A=B，A+B=180，所以A=B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B.A=C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；7C.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；D.ABBC，所以B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理但需要注意的是本题的知识
12、点是关于各个图形的性质以及判定9. （2018遂宁4 分）下列说法正确的是（ ）A有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C矩形的对角线互相垂直平分D六边形的内角和是 540【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D.六边形的内角和是 720，故此选项错误故选：B【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多
13、边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键10. （2018资阳3 分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ）A12 厘米 B16 厘米 C20 厘米 D28 厘米【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形 EFGH 为矩形，那么由折叠可得 HF 的长即为边 AD 的长【解答】解：HEM=AEH，BEF=FEM，HEF=HEM+FEM= 180=90，同理可得：EHG=HGF=EFG=90，四边形 EFGH 为矩形，8AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF= = =20，AD=2
14、0 厘米故选：C【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形 EFGH 为矩形是解题关键11. （2018杭州3 分）如图，已知点 P 矩形 ABCD 内一点（不含边界） ，设 ， ， ， ，若 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【考点】三角形内角和定理，矩形的性质 【解析】 【解答】解：矩形 ABCDPAB+PAD=90即PAB=90-PABPAB=80PAB+PBA=180-80=10090-PAB+PBA=100即PBA-PAB=10同理可得：PDC-PCB=180-50-90=40由-得：PDC-PCB-（PBA-PAB）=30 故答案为：A【分析
15、】根据矩形的性质，可得出PAB=90-PAB，再根据三角形内角和定理可得出PAB+PBA=100，从而可得出PBA-PAB=10；同理可证得PDC-PCB=40，再将-，可得出答案。2. （2018嘉兴3 分）用尺规在一个平行四边形内作菱形 ,下列作法中错误的是（ ）9A. （A） B. （B） C. （C） D. （D）【答案】C【解析】分析：由作图，可以证明 A.B.D 中四边形 ABCD 是菱形， C 中 ABCD 是平行四边形，即可得到结论详解：A AC 是线段 BD 的垂直平分线， BO=OD， AOD= COB=90 AD BC， ADB= DBC， AOD COB， AO=OC，
16、四边形 ABCD 是菱形故 A 正确；B由作图可知： AD=AB=BC AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形 AD=AB，四边形 ABCD 是菱形故 B 正确；C由作图可知 AB.CD 是角平分线，可以得到 ABCD 是平行四边形，不能得到 ABCD 是菱形故 C 错误；D如图， AE=AF， AG=AG， EG=FG， AEG AFG， EAG= FAG AD BC， DAC= ACB， FAG= ACB， AB=BC，同理 DCA= BCA， BAC= DCA， AB DC AD BC，四边形 ABCD 是平行四边形 AB=BC，四边形 ABCD 是菱形故 D 正确故选 C点睛：本题
17、考查了菱形的判定与平行四边形的性质解题的关键是弄懂每个图形是如何作图的13. （2018广西桂林3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB=3，点 M 在 CD 的边上，且 DM=1，AEM 与 ADM关于 AM 所在的直线对称，将 ADM 按顺时针方向绕点 A 旋转 90得到 ABF，连接 EF，则线段 EF 的长为（ ）10A. 3 B. C. D. 【答案】C【解析】分析：连接 BM.证明AFEAMB 得 FE=MB，再运用勾股定理求出 BM 的长即可.详解：连接 BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.四边形 ABCD 是正方形，AD=AB=BC=CD，BAD=C=90,AEM 与 A
18、DM 关于 AM 所在的直线对称，DAM=EAM.DAM+BAM=FAE+EAM=90,BAM=EAF,AFEAMBFE=BM.在 RtBCM 中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,BM= FE= .故选 C.2.14. （2018黑龙江哈尔滨3 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC.BD 相交于点11O，BD=8，tanABD= ，则线段 AB 的长为（ ）A B2 C5 D10【分析】根据菱形的性质得出 ACBD，AO=CO，OB=OD，求出 OB，解直角三角形求出 AO，根据勾股定理求出AB 即可【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，ACBD，AO=CO，OB=OD，AOB
19、=90，BD=8，OB=4，tanABD= = ，AO=3，在 RtAOB 中，由勾股定理得：AB= = =5，故选：C【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键15. （2018湖北省恩施3 分）如图所示，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长交 BC 边的延长线于 E 点，对角线 BD 交 AG 于 F 点已知 FG=2，则线段 AE 的长度为（ ）A6 B8 C10 D12【分析】根据正方形的性质可得出 ABCD，进而可得出ABFGDF，根据相似三角形的性质可得出 =2，结合 FG=2 可求出 AF、AG 的长度，由 C
20、GAB.AB=2CG 可得出 CG 为EAB 的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出 AE 的长度，此题得解【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，12AB=CD，ABCD，ABF=GDF，BAF=DGF，ABFGDF， = =2，AF=2GF=4，AG=6CGAB，AB=2CG，CG 为EAB 的中位线，AE=2AG=12故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出 AF 的长度是解题的关键16.（2018广西贵港3 分）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 ，BD=6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是AC，AB 上的动点
21、，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ）A6 B3 C2 D4.5【分析】作点 E 关于 AC 的对称点 E，过点 E作 EMAB 于点 M，交 AC 于点 P，由 PE+PM=PE+PM=EM知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点，利用 S 菱形 ABCD= ACBD=ABEM 求二级可得答案【解答】解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E，过点 E作 EMAB 于点 M，交 AC 于点 P，13则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值，其 PE+PM=PE+PM=EM，四边形 ABCD 是菱形，点 E在 CD 上，AC=6 ，BD=6，AB= =3 ，由 S
22、菱形 ABCD= ACBD=ABEM 得 6 6=3 EM，解得：EM=2 ，即 PE+PM 的最小值是 2 ，故选：C【点评】本题主要考查轴对称最短路线问题，解题的关键是掌握菱形的性质和轴对称的性质17.（2018贵州贵阳3分）如图，在菱形 ABCD 中， E 是 AC 的中点， EF CB ，交 AB 于点 F ，如果EF 3 ，那么菱形 ABCD 的周长为（ A ）（ A） 24 （ B） 18 （ C） 12 （ D） 9【 解 】 E.F 分别是 AC.AB 的中点且 EF 3 BC 2EF 6 四边形 ABCD 是菱形 AB BC CD DA 6 菱形 ABCD 的周长为 6 4
23、24 故选 A18.（2018贵州遵义3 分）如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EFBC，分别交 AB，CD于 E.F，连接 PB.PD若 AE=2，PF=8则图中阴影部分的面积为（ ）14A10 B12 C16 D18【分析】想办法证明 SPEB =SPFD 解答即可【解答】解：作 PMAD 于 M，交 BC 于 N则有四边形 AEPM，四边形 DFPM，四边形 CFPN，四边形 BEPN 都是矩形，S ADC =SABC ，S AMP =SAEP ，S PBE =SPBN ，S PFD =SPDM ，S PFC =SPCN ，S DFP =SPBE =
24、28=8，S 阴 =8+8=16，故选：C19. （2018 湖南张家界 3.00 分）下列说法中，正确的是（ ）A两条直线被第三条直线所截，内错角相等B对角线相等的平行四边形是正方形C相等的角是对顶角D角平分线上的点到角两边的距离相等【分析】根据平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质逐个判断即可【解答】解：A.两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，错误，故本选项不符合题意；B.对角线相等的四边形是矩形，不一定是正方形，错误，故本选项不符合题意；C.相等的角不一定是对顶角，错误，故本选项不符合题意；D.角平分线上的点到角的两边的距离相等，正确，故本选项符合题意；
25、故选：D【点评】本题考查了平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质等知识点，能熟记平行线的性质、正方形的判定、矩形的判定、对顶角的性质、角平分线性质的内容是解此题的关键20. （2018 湖南湘西州 4.00 分）下列说法中，正确个数有（ ）对顶角相等；15两直线平行，同旁内角相等；对角线互相垂直的四边形为菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质，可得答案【解答】解：对顶角相等，故正确；两直线平行，同旁内角互补，故错误；对角线互相垂直且平分的四边形为菱形，故错误
26、；对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形，故正确，故选：B【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的判定、平行线的性质、对顶角的性质，熟记对顶角的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行线的性质是解题关键21.（2018上海4 分）已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）AA=B BA=C CAC=BD DABBC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案【解答】解：A.A=B，A+B=180，所以A=B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B.A=C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形 ABCD 是矩形，故正确；D.
27、ABBC，所以B=90，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定22. （2018遂宁4 分）下列说法正确的是（ ）A有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C矩形的对角线互相垂直平分D六边形的内角和是 540【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C.矩形的对角线相等且互相
28、平分，故此选项错误；D.六边形的内角和是 720，故此选项错误故选：B16【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键23. （2018资阳3 分）如图，将矩形 ABCD 的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12 厘米，EF=16 厘米，则边 AD 的长是（ ）A12 厘米 B16 厘米 C20 厘米 D28 厘米【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形 EFGH 为矩形，那么由折叠可得 HF 的长即为边 AD 的长【解答】解：HEM=AEH，BEF=FEM，HEF=HEM+FEM= 180=9
29、0，同理可得：EHG=HGF=EFG=90，四边形 EFGH 为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF= = =20，AD=20 厘米故选：C【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形 EFGH 为矩形是解题关键二.填空题1. （2018湖北随州3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD 且 BCAB，BD=8给出以下判断：AC 垂直平分 BD；四边形 ABCD 的面积 S=ACBD；顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形可能是正方形；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，该圆的半径为 ；17将ABD 沿直线 BD 对折，点 A
30、 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，当 BFCD 时，点 F 到直线 AB的距离为 其中正确的是 （写出所有 正确判断的序号）【分析】依据 AB=AD=5，BC=CD，可得 AC 是线段 BD 的垂直平分线，故正确；依据四边形 ABCD 的面积 S=，故错误；依据 AC=BD，可得顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故正确；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则 r2=（r3） 2+42，得 r= ，故正确；连接AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=D
31、O=4，依据 SBDE= BDOE= BEDF，可得 DF= ，进而得出 GF= ，再根据 SABF =S 梯形 ABFDS ADF ，即可得到 h=，故错误【解答】解：在四边形 ABCD 中，AB=AD=5，BC=CD，AC 是线段 BD 的垂直平分线，故正确；四边形 ABCD 的面积 S= ，故错误；当 AC=BD 时，顺次连接四边形 ABCD 的四边中点得到的四边形是正方形，故正确；当 A，B，C，D 四点在同一个圆上时，设该圆的半径为 r，则r2=（r3） 2+42，得 r= ，故 正确；将ABD 沿直线 BD 对折，点 A 落在点 E 处，连接 BE 并延长交 CD 于点 F，如图所
32、示，连接 AF，设点 F 到直线 AB 的距离为 h，由折叠可得，四边形 ABED 是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，AO=EO=3，S BDE = BDOE= BEDF，DF= = ，BFCD，BFAD，18ADCD，GF= = ，S ABF =S 梯形 ABFDS ADF ， 5h= （5+5+ ） 5 ，解得 h= ，故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是利用图形面积的和差关系进行计算2. （2018 湖北襄阳3 分）如图，将面积为 32 的矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 A 的对
33、应点为点 P，连接 AP 交 BC 于点 E若 BE= ，则 AP 的长为 【分析】设 AB=a，AD=b，则 ab=32 ，构建方程组求出 A.b 即可解决问题；【解答】解：设 AB=a，AD=b，则 ab=32 ，由ABEDAB 可得： = ，b= a2，a 3=64，a=4，b=8 ，设 PA 交 BD 于 O19在 RtABD 中，BD= =12，OP=OA= = ，AP= 故答案为 【点评】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3.（2018江苏苏州3 分）如图，在 RtABC 中，B=90，AB=2 ，BC= 将ABC 绕点 A
34、 按逆时针方向旋转 90得到ABC，连接 BC，则 sinACB= 【分析】根据勾股定理求出 AC，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，求出 BM、CM，根据勾股定理求出 BC，根据三角形面积公式求出 AN，解直角三角形求出即可【解答】解：在 RtABC 中，由勾股定理得：AC= =5，过 C 作 CMAB于 M，过 A 作 ANCB于 N，根据旋转得出 AB=AB=2 ，BAB=90，即CMA=MAB=B=90，CM=AB=2 ，AM=BC= ，BM=2 = ，20在 RtBMC 中，由勾股定理得：BC= = =5，S ABC = = ，5AN=2 2 ，解得：AN=4，
35、sinACB= = ，故答案为： 【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键4.（2018上海4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D.E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB.AC上如果 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形 DEFG 的边长为x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得 = ，然后解关于 x 的方程即可【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF
36、于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，AH= =3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC， = ，即 = ，解得 x= ，即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 21【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质5. （2018上海4 分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或
37、边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图 1） ，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高如图 2，菱形 ABCD 的边长为 1，边 AB 水平放置如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是 【分析】先根据要求画图，设矩形的宽 AF=x，则 CF= x，根据勾股定理列方程可得结论【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形 EAFC，设 AF=x，则 CF= x，在 RtCBF 中，CB=1，BF=x1，由勾股定理得：BC 2=BF2+CF2，解得：x= 或 0（舍） ，即它的宽的值是 ，故答案为： 22【点评】本题考查了新定义、矩形和菱形的性质、勾股定理，理解
38、新定义中矩形的宽和高是关键6. （ 2018达州3 分）如图，平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A（6，0） ，C（0，2 ） 将矩形OABC 绕点 O 顺时针方向旋转，使点 A 恰好落在 OB 上的点 A1处，则点 B 的对应点 B1的坐标为 【分析】连接 OB1，作 B1HOA 于 H，证明AOBHB 1O，得到 B1H=OA=6，OH=AB=2 ，得到答案【解答】解：连接 OB1，作 B1HOA 于 H，由题意得，OA=6，AB=OC2 ，则 tanBOA= = ，BOA=30，OBA=60，由旋转的性质可知，B 1OB=BOA=30，B 1OH=60，在AOB 和HB 1O，A
39、OBHB 1O，B 1H=OA=6，OH=AB=2 ，点 B1的坐标为（2 ，6） ，故答案为：（2 ，6） 23【点评】本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键7. （2018杭州4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上；把纸片展开并铺平；把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上，若 AB=AD+2，EH=1，则 AD=_。【答案】 或 3 【考点】勾股定理，矩形的性质，正方形的性
40、质，翻折变换（折 叠问题） 【解析】 【解答】当点 H 在线段 AE 上时把ADE 翻折，点 A 落在 DC 边上的点 F 处，折痕为 DE，点 E 在 AB 边上四边形 ADFE 是正方形AD=AEAH=AE-EH=AD-1把CDG 翻折，点 C 落在直线 AE 上的点 H 处，折痕为 DG，点 G 在 BC 边上DC=DH=AB=AD+2在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2+（AD-1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3+2 ，AD=3-2 （舍去）AD=3+2 当点 H 在线段 BE 上时则 AH=AE-EH=AD+1在 RtADH 中，AD 2+AH2=DH2AD 2
41、+（AD+1） 2=（AD+2） 2解之：AD=3，AD=-1（舍去）故答案为： 或 3【分析】分两种情况：当点 H 在线段 AE 上；当点 H 在线段 BE 上。根据的折叠，可得出四边形 ADFE 是正方形，根据正方形的性质可得出 AD=AE，从而可得出 AH=AD-1（或 AH=AD+1） ，再根据的折叠可得出DH=AD+2，然后根据勾股定理求出 AD 的长。8. （2018湖州4 分）如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC，BD 相交于点 O若 tanBAC= ，AC=6，则 BD的长是 2 24【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得 ACBD，OA= AC=3，BD=2OB再解 Rt
42、OAB，根据tanBAC= = ，求出 OB=1，那么 BD=2【解答】解：四边形 ABCD 是菱形，AC=6，ACBD，OA= AC=3，BD=2OB在 RtOAB 中，AOD=90，tanBAC= = ，OB=1，BD=2故答案为 2【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键9.（2018湖州4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx（a0）的顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a0）交于点 B若四边形 ABOC 是正方形，则 b 的值是 2 【分析】根据正方形
43、的性质结合题意，可得出点 B 的坐标为（ ， ） ，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于 b 的方程，解之即可得出结论【解答】解：四边形 ABOC 是正方形，点 B 的坐标为（ ， ） 抛物线 y=ax2过点 B，25 =a（ ） 2，解得：b 1=0（舍去） ，b 2=2故答案为：2【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 b 的方程是解题的关键10. （2018黑龙江龙东地区3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，添加一个条件 AB=BC 或 ACBD 使平行四边形 ABCD 是菱
44、形【分析】根据菱形的判定方法即可判断【解答】解：当 AB=BC 或 ACBD 时，四边形 ABCD 是菱形故答案为 AB=BC 或 ACBD【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是记住菱形的判定方法11. （2018黑龙江龙东地区3 分）如图，已知正方形 ABCD 的边长是 4，点 E 是 AB 边上一动点，连接CE，过点 B 作 BGCE 于点 G，点 P 是 AB 边上另一动点，则 PD+PG 的最小值为 2 【分析】作 DC 关于 AB 的对称点 DC，以 BC 中的 O 为圆心作半圆 O，连 DO 分别交 AB 及半圆 O 于P、G将 PD+PG 转化为 DG
45、找到最小值【解答】解：如图：取点 D 关于直线 AB 的对称点 D以 BC 中点 O 为圆心，OB 为半径画半圆26连接 OD交 AB 于点 P，交半圆 O 于点 G，连 BG连 CG 并延长交 AB 于点 E由以上作图可知，BGEC 于 GPD+PG=PD+PG=DG由两点之间线段最短可知，此时 PD+PG 最小DC=4，OC=6DO=DG=2PD+PG 的最小值为 2故答案为：2【点评】本题考查线段和的最小值问题，通常思想是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短12. (2018广东3 分）如图，矩形 ABCD 中，BC=4，CD=2，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，
46、连接BD，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）【分析】连接 OE，如图，利用切线的性质得 OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，先利用扇形面积公式，利用 S 正方形 OECDS 扇形 EOD计算由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积，然后利用三角形的面积减去刚才计算的面积即可得到阴影部分的面积【解答】解：连接 OE，如图，以 AD 为直径的半圆 O 与 BC 相切于点 E，OD=2，OEBC，易得四边形 OECD 为正方形，由弧 DE.线段 EC.CD 所围成的面积=S 正方形 OECDS 扇形 EOD=22 =4，阴影部分的面积= 24（4）=故答案为 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出
