1、1图形的相似与位似一.选择题1. （2018湖北随州3 分）如图，平行于 BC 的直线 DE 把ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）A1 B C 1 D【分析】由 DEBC 可得出ADEABC，利用相似三角形的性质结合 SADE =S 四边形 BCED，可得出 = ，结合 BD=ABAD 即可求出 的值，此题得解【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，（ ） 2= S ADE =S 四边形 BCED， = ， = = = 1故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢 记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键2.（2018江苏宿迁3 分）如图，菱形
2、 ABCD 的对角线 AC.BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，BAD60,则OCE 的面积是（ ）A. B. 2 C. D. 4【答案】A2【分析】根据菱形的性质得菱形边长为 4，ACBD，由一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形得ABD 是等边三角形；在 RtAOD 中，根据勾股定理得 AO=2 ，AC=2AO=4 ，根据三角形面积公式得 SACD = ODAC=4 ，根据中位线定理得 OEAD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出OCE 的面积.【详解】菱形 ABCD 的周长为 16，菱形 ABCD 的边长为 4，BAD60，ABD
3、 是等边三角形，又O 是菱形对角线 AC.BD 的交点，ACBD，在 RtAOD 中，AO= ，AC=2AO=4 ，S ACD = ODAC= 24=4 ，又O、E 分别是中点，OEAD，COECAD， ， ，S COE = SCAD = 4 = ，故选 A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（2018江苏无锡3 分）如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方形EFGH 的顶点 G、H 都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tanAFE 的值（ ）A等于 B等于C等
4、于 D随点 E 位置的变化而变化【分析】根据题意推知 EFAD，由该平行线的性质推知AEHACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答【解答】解：EFAD，AFE=FAG，AEHACD， = = 设 EH=3x，AH=4x，HG=GF=3x，tanAFE=tanFAG= = = 故选：A3【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求AFE 的正切值转化为求FAG 的正切值来解答的5.2018内蒙古包头市3 分）如图，在四边形 ABCD 中，BD 平分ABC，BAD=BDC=90，E为 BC 的中点，AE 与 BD 相交于点 F若 BC=4，CBD=30，则
5、 DF 的长为（ ）A B C D【分析】先利用含 30 度角的直角三角形的性质求出 BD，再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2，即：BDE=ABD，进而判断出 DEAB，再求出 AB=3，即可得出结论【解答】解：如图，在 RtBDC 中，BC=4，DBC=30，BD=2 ，连接 DE，BDC=90，点 D 是 BC 中点，DE=BE=CE BC=2，DCB=30，BDE=DBC=30，BD 平分ABC，ABD=DBC，ABD=BDE，DEAB，DEFBAF， ，在 RtABD 中，ABD=30，BD=2 ，AB=3， ， ，DF= BD= 2 = ，故选：D4【点评】此题主要考查了含 3
6、0 度角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，判断出 DE是解本题的关键6. （2018达州3 分）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC连接DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）A B C D1【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GHBC，推出BGHBAC，可得 =（ ） 2=（ ） 2= ， = ，由此即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，S ADC =SABC ，AE=CF= AC，AGCD，CHA
7、D，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHBC，BGHBAC， = =（ ） 2=（ ） 2= ， = ，5 = = ，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题7. （2018乌鲁木齐4 分）如图，在ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF 与DCB 的面积比为（ ）A B C D【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD，ABCD，根据相似三角形的判定得出BEFDCF，根据
8、相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，E 为 AB 的中点，AB=DC=2BE ，ABCD，BEFDCF， = = ，DF=2BF， =（ ） 2= ， = ，S BEF = SDCF ，S DCB = SDCF ， = = ，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟 记相似三角形的性质是解此题的关键68. （2018杭州3 分）如图，在ABC 中，点 D 在 AB 边上，DEBC，与边 AC 交于点 E，连结BE，记ADE，BCE 的面积分别为 S1 ， S 2 ， （ ）A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若
9、，则 D. 若 ，则 【答案】D 【考点】三角形的面积，平行线分线段成比例 【解析】 【解答】解:如图，过点 D 作 DFAC 于点 F，过点 B 作 BMAC 于点 MDFBM，设 DF=h1 ， BM=h 2 DEBC 若 设 =k0.5（0k0.5）AE=ACk，CE=AC-AE=AC（1-k) ，h 1=h2kS 1= AEh1= ACkh1 ， S2= CEh2= AC（1-k）h 23S 1= k2ACh2 ， 2S 2=（1-K） ACh20k0.5 k2（1-K）3S 12S 2故答案为：D7【分析】过点 D 作 DFAC 于点 F，过点 B 作 BMAC 于点 M，可得出 D
10、FBM，设 DF=h1 ， BM=h2 ， 再根据 DEBC，可证得 ，若 ，设 =k0.5（0k0.5） ，再分别求出 3S1和 2S2 ， 根据 k 的取值范围，即可得出答案。9 （2018临安3 分.）如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与 ABC 相似的是（ ）A B C D【分析】根据正方形的性质求出 ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可【解答】解：由正方形的性质可知， ACB=18045=135，A.C.D 图形中的钝角都不等于 135，由勾股定理得， BC= ， AC=2，对应的图形 B 中的边长分别为 1 和 ， = ，图 B 中的三角形（阴影部分）
11、与 ABC 相似，故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键10 （2018临安3 分.）如图，在 ABC 中， DE BC， DE 分别与 AB， AC 相交于点 D， E，若AD=4， DB=2，则 DE： BC 的值为（ ）A B C D【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，8再根据相似三角形的对应边成比例解则可【解答】解： DE BC， ADE ABC， = = = 故选：A【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错11. （2018广西玉林3 分）两
12、三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）A ： B2：3 C4：9 D8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可【解答】解：两三角形的相似比是 2：3，其面积之比是 4：9，故选：C12. （2018黑龙江哈尔滨3 分）如图，在ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）A = B = C = D =【分析】由 GEBD.GFAC 可得出AEGABD.DFGDCA，根据相似三角形的性质即可找出 = = ，此题得解【解答】解：GEBD，GFAC，AE
13、GABD，DFGDCA， = ， = ， = = 故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 = = 是解题的关键13.（2018广东3 分）在ABC 中，点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积9之比为（ ）A B C D【分析】由点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，可得出 DE 为ABC 的中位线，进而可得出 DEBC及ADEABC，再利用相似三角形的性质即可求出ADE 与ABC 的面积之比【解答】解：点 D.E 分别为边 AB.AC 的中点，DE 为ABC 的中位线，DEBC，ADEABC， =（ ） 2= 故选：C【点评
14、】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出 DEBC 是解题的关键14.（2018广西贵港3 分）如图，在ABC 中，EFBC，AB=3AE，若 S 四边形 BCFE=16，则 SABC=（ ）A16 B18 C20 D24【分析】由 EFBC，可证明AEFABC，利用相似三角形的性质即可求出则 SABC 的值【解答】解：EFBC，AEFABC，AB=3AE，AE：AB=1：3，S AEF ：S ABC =1：9，设 SAEF =x，S 四边形 BCFE=16， = ，10解得：x=2，S ABC =18，故选：B【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定
15、的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目15.（2018贵州铜仁4 分）已知ABCDEF，相似比为 2，且ABC 的面积为 16，则DEF的面积为（ ）A32 B8 C4 D16【分析】由ABCDEF，相似比为 2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得ABC 与DEF 的面积比为 4，又由ABC 的面积为 16，即可求得DEF 的面积【解答】解：ABCDEF，相似比为 2，ABC 与DEF 的面积比为 4，ABC 的面积为 16，DEF 的面积为：16 =4故选：C16(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已
16、知点 A（2，4） ，过点A 作 ABx 轴于点 B将AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到COD，则CD 的长度是（ ）A2 B1 C4 D2【分析】直接利用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 C 的坐标，即可得出答案【解答】解：点 A（2，4） ，过点 A 作 ABx 轴于点 B将AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到COD，C（1，2） ，则 CD 的长度是：2故选：A【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键17. （2018达州3 分）如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，A
17、E=CF= AC连11接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）A B C D1【分析】首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GHBC，推出BGHBAC，可得 =（ ） 2=（ ） 2= ， = ，由此即可解决问题【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形AD=BC，DC=AB，AC=CA，ADCCBA，S ADC =SABC ，AE=CF= AC，AGCD，CHAD，AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，AG：AB=CH：BC=1：3，GHBC，BGHBAC， = =（ ） 2=（ ） 2= ， = ， = =
18、，故选：C【点评】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴12题18. （2018乌鲁木齐4 分）如图，在ABCD 中，E 是 AB 的中点，EC 交 BD 于点 F，则BEF与DCB 的面积比为（ ）A B C D【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=CD，ABCD，根据相似三角形的判定得出BEFDCF，根据相似三角形的性质和三角形面积公式求出即可【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形，E 为 AB 的中点，AB=DC=2BE ，ABCD，BEFDCF， = = ，DF=2BF
19、， =（ ） 2= ， = ，S BEF = SDCF ，S DCB = SDCF ， = = ，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行四边形的性质，能熟 记相似三角形的性质是解此题的关键二.填空题1.（2018内蒙古包头市3 分）如图，在ABCD 中，AC 是一条对角线，EFBC，且 EF 与 AB 相交于点 E，与 AC 相交于点 F，3AE=2EB，连接 DF若 SAEF =1，则 SADF 的值为 13【分析】由 3AE=2EB 可设 AE=2A.BE=3a，根据 EFBC 得 =（ ） 2= ，结合 SAEF =1知 SADC =SABC = ，再由 = = 知 =
20、，继而根据 SADF = SADC 可得答案【解答】解：3AE=2EB，可设 AE=2A.BE=3a，EFBC，AEFABC， =（ ） 2=（ ） 2= ，S AEF =1，S ABC = ，四边形 ABCD 是平行四边形，S ADC =SABC = ，EFBC， = = = ， = = ，S ADF = SADC = = ，故答案为： 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理及平行四边形的性质2. （2018上海4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D.E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB.AC
21、上如果 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质14得 = ，然后解关于 x 的方程即可【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，AH= =3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC， = ，即 = ，解得 x= ，即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 【点评】本题考查了
22、相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质3. （2018资阳3 分）已知：如图，ABC 的面积为 12，点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为 【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE =12x，由题意知 DEBC 且 DE= BC，从而得=（ ） 2，据此建立关于 x 的方程，解之可得【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 SA
23、DE =12x，15点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，且 DE= BC，ADEABC，则 =（ ） 2，即 = ，解得：x=9，即四边形 BCED 的面积为 9，故答案为：9【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质4. （2018嘉兴4 分.）如图.直线 .直线 交 于点 ;直线 交 于点，已知 , _. 【答案】2【解析】 【分析】根据 ，可以知道， 即可求得 .【解答】 ,根据 ，故答案为：2.【点评】考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键.5. 如图，点 ，
24、， ， 均在坐标轴上，且 ， ，若点 ， 的坐标分别为 ， ，则点 的坐标为_16【答案】【解析】分析：根据相似三角形的性质求出 P3D 的坐标，再根据相似三角形的性质计算求出OP4的长，得到答案详解：点 P1，P 2的坐标分别为（0，-1） ， （-2，0） ，OP 1=1，OP 2=2，RtP 1OP2RtP 2OP3， ，即 ，解得，OP 3=4，RtP 2OP3RtP 3OP4， ，即 ，解得，OP 4=8，则点 P4的坐标为（8，0） ，故答案为：（8，0） 点睛：本题考查的是相似三角形的判定和性质以及坐标与图形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键6. （2018贵
25、州安顺4 分）正方形 、 、 、按如图所示的方式放置.点 、 、 、和点 、 、 、分别在直线 和轴上，则点 的坐标是_ （为正整数）【答案】【解析】分析：由图和条件可知 A1（0，1）A 2（1，2）A 3（3，4） ，B 1（1，1） ，B 2（3，2） ，17Bn 的横坐标为 An+1的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标，又 An的横坐标数列为 An=2n-1-1，所以纵坐标为（2 n-1） ，然后就可以求出 Bn 的坐标为A（n+1）的横坐标，An 的纵坐标详解：由图和条件可知 A1（0，1）A 2（1，2）A 3（3，4） ，B 1（1，1） ，B 2（3，2） ，Bn 的横坐标为 A
26、n+1的横坐标，纵坐标为 An 的纵坐标又 An的横坐标数列为 An=2n-1-1，所以纵坐标为 2n-1，Bn 的坐标为A（n+1）的横坐标，An 的纵坐标=（2 n-1，2 n-1） 故答案为：（2 n-1，2 n-1） 点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论7.（2018贵州黔西南州3 分）如图，已知在ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F，且BAC=45，BD=6，C
27、D=4，则ABC 的面积为 60 【分析】首先证明AEFBEC，推出 AF=BC=10，设 DF=x由ADCBDF，推出= ，构建方程求出 x 即可解决问题；【解答】解：ADBC，BEAC，AEF=BEC=BDF=90，BAC=45，AE=EB，EAF+C=90，CBE+C=90，EAF=CBE，AEFBEC，AF=BC=10，设 DF=xADCBDF， = ， = ，整理得 x2+10x24=0，解得 x=2 或12（舍弃） ，AD=AF+DF=12，S ABC = BCAD= 1012=6018故答案为 60【点评】 本题考查勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等
28、三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型8.（2018贵州贵阳4分）如图， 在 ABC 中， BC 6 ， BC 边上的高为 4， 在 ABC 的内部作一个矩形 EFGH ， 使 EF 在 BC 边上， 另外两个顶点分别在 AB.AC 边上， 则对角线 EG 长12 13的最小值为 .13【解 】 作 AM BC 于点 M ， 交 DG 于点 N ， 设 DE x ， 由 题 意 知 ： AM 4， BC 6如图 ： 四 边 形 DEFG 是矩 形 DG EF ADG ABC AN DG 即AM BC4 x DG DG 12 3x194 6 2EG DE 2
29、DG 2 x 2 (12 3x )2 在 Rt EDG 中13 ( x 24 )2 1442 9 13 13 当 x 24时， EGmin 13 ( 24 24 )2 144 144 12 1313 9 13 13 13 13 13209（2018 年湖南省娄底市）如图，已知半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD.AB.BC 都相切，切点分别为 D.E.C，半径 OC=1，则 AEBE= 1 【分析】想办法证明AEOOEB，可得 = ，推出 AEBE=OE2=1【解答】解：如图连接 OE半圆 O 与四边形 ABCD 的边 AD.AB.BC 都相切，切点分别为 D.E.C，OEAB，ADCD，
30、BCCD，OAD=OAE，OBC=OBE，ADBC，DAB+ABC=180，OAB+OBA=90，AOB=90，OAE+AOE=90，AOE+BOE=90，EAO=EOB，AEO=OEB=90，AEOOEB， = ，AEBE=OE 2=1，故答案为 1【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题10(2018 湖南省邵阳市)（3 分）如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF写出图中任意一对相似三角形： ADFECF 21【分析】利用平行四边形的性质得到 ADCE
31、，则根据相似三角形的判定方法可判断ADFECF【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，ADCE，ADFECF故答案为ADFECF【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了平行四边形的性质11. （2018上海4 分）如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D.E 在ABC 的边 BC 上，顶点G、F 分别在边 AB.AC 上如果 BC=4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH=3，设正方形 DEF
32、G 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，再证明AGFABC，则根据相似三角形的性质得 = ，然后解关于 x 的方程即可【解答】解：作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，ABC 的面积是 6， BCAH=6，AH= =3，设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3x，GFBC，AGFABC， = ，即 = ，解得 x= ，22即正方形 DEFG 的边长为 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三
33、角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长也考查了正方形的性质12. （2018资阳3 分）已知：如图，ABC 的面积为 12，点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为 【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE =12x，由题意知 DEBC 且 DE= BC，从而得 =（ ） 2，据此建立关于 x 的方程，解之可得【解答】解：设四边形 BCED 的面积为 x，则 SADE =12x，点 D.E 分别是边 AB.AC 的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，且 DE= BC，ADEABC，则 =（ ） 2，即 = ，解得：x=9
34、，即四边形 BCED 的面积为 9，故答案为：9【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质23三.解答题1.（2018江苏无锡10 分）已知：如图，一次函数 y=kx1 的图象经过点 A（3 ，m）（m0） ，与 y 轴交于点 B点 C 在线段 AB 上，且 BC=2AC，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为点 D若 AC=CD（1）求这个一次函数的表达式；（2）已知一开口向下、以直线 CD 为对称轴的抛物线经过点 A，它的顶点为 P，若过点 P 且垂直于 AP 的直线与 x 轴的交点为 Q（ ，0） ，求这条抛物线的函数表达
35、式【分析】 （1）利用三角形相似和勾股定理构造方程，求 AC 和 m（2）由APQ=90，构造PQDAPE 构造方程求点 P 坐标可求二次函数解析式【解答】解：（1）过点 A 作 AFx 轴，过点 B 作 BFCD 于 H，交 AF 于点 F，过点 C 作CEAF 于点 E设 AC=n，则 CD=n点 B 坐标为（0，1） ，CD=n+1，AF=m+1CHAF，BC=2AC，即：整理得：n=RtAEC 中，CE 2+AE2=AC2， 5+（mn） 2=n2把 n= 代入5+（m ） 2=（ ） 2解得 m1=2，m 2=3（舍去） ，n=124把 A（3 ，2）代入 y=kx1 得 k=y=
36、x1（2）如图，过点 A 作 AECD 于点 E设点 P 坐标为（2 ，n） ，由已知 n0由已知，PDx 轴PQDAPE，解得 n1=5，n 2=3（舍去）设抛物线解析式为 y=a（xh） 2+k，y=a（x2 ） 2+5把 A（3 ，2）代入 y=a（x2 ） 2+5，解得 a=抛物线解析式为：y=【点评】本题综合考查二次函数和一次函数性质在解答过程中，应注意利用三角形相似和勾股定理构造方程，求出未知量2.（2018江苏淮安12 分）如果三角形的两个内角 与 满足 2+=90，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形” （1）若ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，则B= 15 ；
37、（2）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=5若 AD 是BAC 的平分线，不难证明ABD 是“准互余三角形” 试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D） ，使得ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求出 BE 的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BDCD，ABD=2BCD，且ABC 是“准互余三角形” ，求对角线 AC 的长25【分析】 （1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明CAECBA，可得 CA2=CECB，由此即可解决问题；（3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCF只要证明FCB
38、FAC，可得CF2=FBFA，设 FB=x，则有：x（x+7）=12 2，推出 x=9 或16（舍弃） ，再利用勾股定理求出 AC 即可；【解答】解：（1）ABC 是“准互余三角形” ，C90，A=60，2B+A=60，解得，B=15，故答案为：15；（2）如图中，在 RtABC 中，B+BAC=90，BAC=2BAD，B+2BAD=90，ABD 是“准互余三角形” ，ABE 也是“准互余三角形” ，只有 2A+BAE=90，A+BAE+EAC=90，CAE=B，C=C=90，CAECBA，可得 CA2=CECB，CE= ，26BE=5 = （3）如图中，将BCD 沿 BC 翻折得到BCFCF
39、=CD=12，BCF=BCD，CBF=CBD，ABD=2BCD，BCD+CBD=90，ABD+DBC+CBF=180，A.B.F 共线，A+ACF=902ACB+CAB90，只有 2BAC+ACB=90，FCB=FAC，F=F，FCBFAC，CF 2=FBFA，设 FB=x，则有：x（x+7）=12 2，x=9 或16（舍弃） ，AF=7+9=16，在 RtACF 中，AC= = =20【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、 “准互余三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解决问题，属于中考压轴题
40、3.（2018江苏宿迁12 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=（x-a） （x-3）（0a3）的图象与 x 轴交于点 A.B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 D，过其顶点 C 作直线 CPx 轴，垂足为点 P，连接 AD.BC.27（1）求点 A.B.D 的坐标；（2）若AOD 与BPC 相似，求 a 的值；（3）点 D.O、C.B 能否在同一个圆上，若能，求出 a 的值，若不能，请说明理由.【答案】 （1） （1）A（a，0） ，B（3,0） ，D（0,3a）.（2）a 的值为 .（3）当 a= 时，D.O、C.B 四点共圆. 【分析】 （1）根据二次函数的图象与
41、x 轴相交，则 y=0，得出 A（a，0） ，B（3，0） ，与 y轴相交，则 x=0，得出 D（0，3a）.（2）根据（1）中 A.B.D 的坐标，得出抛物线对称轴 x= ，AO=a，OD=3a，代入求得顶点 C（ ，- ） ，从而得 PB=3- = ，PC= ；再分情况讨论：当AODBPC 时，根据相似三角形性质得 ， 解得：a= 3（舍去） ；AODCPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a 1=3（舍） ，a 2= ；（3）能；连接 BD，取 BD 中点 M，根据已知得 D.B.O 在以 BD 为直径，M（ ， a）为圆心的圆上，若点 C 也在此圆上，则 MC=MB，根据两点间的距离公式
42、得一个关于 a 的方程，解之即可得出答案.【详解】 （1）y=（x-a） （x-3） （0a3）与 x 轴交于点 A.B（点 A 在点 B 的左侧） ，A（a，0） ，B（3，0） ，当 x=0 时，y=3a，D（0，3a） ；（2）A（a，0） ，B（3，0） ，D（0，3a）.对称轴 x= ，AO=a，OD=3a，当 x= 时，y=- ，C（ ，- ） ，PB=3- = ，PC= ，28当AODBPC 时， ，即 ， 解得： a= 3（舍去） ；AODCPB， ，即 ，解得：a 1=3（舍） ，a 2= .综上所述：a 的值为 ；（3）能；连接 BD，取 BD 中点 M，D.B.O 三点共
43、圆，且 BD 为直径，圆心为 M（ ， a） ，若点 C 也在此圆上，MC=MB， ，化简得：a 4-14a2+45=0，（a 2-5） （a 2-9）=0，a 2=5 或 a2=9，a 1= ，a 2=- ，a 3=3（舍） ，a 4=-3（舍） ，0a3，a= ，当 a= 时，D.O、C.B 四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.4.（2018江苏徐州10 分）如图 1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，ABC=DEF=90，EDF=30操作：将三角板 DEF 的直角顶点 E 放置于
44、三角板 ABC 的斜边 AC 上，再将三角板 DEF 绕点 E旋转，并使边 DE 与边 AB 交于点 P，边 EF 与边 BC 于点 Q探究一：在旋转过程中，（1）如图 2，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明；（2）如图 3，当 时，EP 与 EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由；29（3）根据你对（1） 、 （2）的探究结果，试写出当 时，EP 与 EQ 满足的数量关系式为 EP：EQ=1：m ，其中 m 的取值范围是 0m2+ （直接写出结论，不必证明）探究二：若 且 AC=30cm，连接 PQ，设EPQ 的面积为 S（cm 2） ，在旋转过程中：（1）S 是否存在最大
45、值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由（2）随着 S 取不同的值，对应EPQ 的个数有哪些变化，求出相应 S 的值或取值范围【分析】探究一：（1）连接 BE，根据已知条件得到 E 是 AC 的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明 BE=CE，PBE=C根据等角的余角相等可以证明BEP=CEQ即可得到全等三角形，从而证明结论；（2）作 EMAB，ENBC 于 M、N，根据两个角对应相等证明MEPNWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到 EM：EN=AE：CE；（3）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求 m 的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析探究二：（1）设 EQ=x，结合上述结论，用 x 表示出三角形的面积，根据 x 的最值求得面积的最值；（2）首先求得 EQ 和 EB 重合时的三角形的面积的值，再进一步分情况讨论【解答】解：探究一：（1）连接 BE，根据 E 是 AC 的中点和等腰直角三角形的性质，得BE=CE，PBE=C，又BEP=CEQ，则BEPCEQ，得 EP=EQ；（2）作 EMAB，ENBC 于 M，N，EMP=E
