1、1专题跟踪训练(四) 万有引力定律及其应用一、选择题1(2018全国卷)为了探测引力波， “天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍 P 与 Q 的周期之比约为( )A21 B41C81 D161解析 由开普勒第三定律得 k，故 ，C 正确r3T2 TPTQ (RPRQ)3 (164)3 81答案 C2(2018天津卷)(多选)2018 年 2 月 2 日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地
2、球的半径和地球表面处的重力加速度若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的( )A密度 B向心力的大小C离地高度 D线速度的大小解析 卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，则有 G m 2(R h)，Mm R h 2 (2T)无法计算得到卫星的质量，更无法确定其密度及向心力大小，A、B 项错误；又G m0g，联立两式可得 h R，C 项正确；由 v (R h)，可计算出卫星的Mm0R2 3gR2T24 2 2T线速度的大小，D 项正确答案 CD23(2018惠州市高三第三次调研)赤道平面内的某卫星自西向东飞行绕地球做圆周运动，该卫星离地高度为
3、h(h 小于地球同步卫星的高度)，赤道上某人通过观测，该卫星前后两次出现在人的正上方的最小时间间隔为 t，已知地球的自转周期为 T0，地球的质量为M，引力常量为 G，由此可知地球的半径为( )A. B. h3GMT204 2 3GM t T0 24 2C. D. h3 GMt2T204 2 t T0 2 3 GMt2T204 2 t T0 2解析 设该卫星的质量为 m，周期为 T，地球半径为 R，由万有引力提供向心力，则有 m(R h) 2，解得 R h，有 1，解得： T ，因此GMm R h 2 (2T) 3GMT24 2 tT tT0 tT0t T0R h，D 正确，ABC 错误3 GM
4、t2T204 2 t T0 2答案 D4(2018沈阳高三质检一)“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在距月球表面 200 km 的 P 点进行第一次“刹车制动”后被月球俘获，进入椭圆轨道绕月飞行然后卫星在 P 点又经过两次“刹车制动” ，最终在距月球表面 200 km 的圆形轨道上绕月球做匀速圆周运动，如图所示则下列说法正确的是( )A卫星在三个轨道上运动的周期关系为 T T TB不考虑卫星质量变化，卫星在三个轨道上的机械能关系为 E E EC卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等D不同轨道的半长轴(或者半径)的二次方与周期的三次方的比值都相等解析 设轨道、轨道的半
5、长轴分别为 R 、 R ，轨道的轨道半径为 R ，则它们的关系为 R R R ，根据开普勒第三定律，卫星在三个轨道上运动的周期关系为T T T ，选项 A 错误；卫星从高度较高的轨道转移到高度较低的轨道时需要制动减速，故不考虑卫星质量的变化，卫星运行的轨道半径越大，其机械能越大，则卫星在三个轨道3上的机械能关系为 E E E ，选项 B 错误；不同轨道上的 P 点，到地心的距离相同，所受万有引力相同，根据牛顿第二定律，卫星在不同轨道运动到 P 点(尚未制动)时的加速度都相等，选项 C 正确；根据开普勒第三定律，卫星在不同轨道上的半长轴(或者半径)的三次方与周期的二次方的比值都相等，选项 D 错
6、误答案 C52016 年 10 月 17 日， “神舟十一号”载人飞船发射升空，运送两名宇航员前往在2016 年 9 月 15 日发射的“天宫二号”空间实验室，宇航员计划在“天宫二号”驻留 30 天进行科学实验 “神舟十号”与“天宫二号”的对接变轨过程如图所示， AC 是椭圆轨道的长轴 “神舟十一号”从圆轨道先变轨到椭圆轨道，再变轨到圆轨道，与在圆轨道运行的“天宫二号”实施对接下列描述正确的是( )A “神舟十一号”在变轨过程中机械能不变B可让“神舟十一号”先进入圆轨道，然后加速追赶“天宫二号”实现对接C “神舟十一号”从 A 到 C 的平均速率比“天宫二号”从 B 到 C 的平均速率大D “
7、神舟十一号”在椭圆轨道上运动的周期与“天宫二号”运行周期相等解析 “神舟十一号”飞船变轨过程中轨道升高，机械能增加，A 选项错误；若飞船在进入圆轨道后再加速，则将进入更高的轨道飞行，不能实现对接，选项 B 错误；飞船轨道越低，速率越大，轨道比轨道的平均高度低，因此平均速率要大，选项 C 正确；由开普勒第三定律可知，椭圆轨道上的运行周期比圆轨道上的运行周期要小，D 项错误答案 C6(2018衡水中学六调)(多选)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度 v2， v2与 v1的关系是v2 v1.已知某星球半径是地球半径 R 的 ，其
8、表面的重力加速度是地球表面重力加速度213g 的 ，地球的平均密度为 ，不计其他星球的影响，则( )164A该星球上的第一宇宙速度为3gR3B该星球上的第二宇宙速度为gR3C该星球的平均密度为 2D该星球的质量为8 R381解析 该星球的半径 R ，星球上的重力加速度 g ，该星球的第一宇宙速度R3 g6v1 ，选项 A 错误；该星球的第二宇宙速度为g Rg6R3 2gR6v2 v1 ，选项 B 正确；由 g ， g ， M V ， V R3，联立2 22gR6 gR3 GMR 2 GMR2 43解得该星球的质量为 M ，选项 D 错误；该星球体积 V R3 ，该星球的平2 R381 43均密
9、度为 ， R ，联立解得 ，选项 C 正确MV R3 2答案 BC7(2017河北保定一模)(多选) O 为地球球心，半径为 R 的圆为地球赤道，地球自转方向如图所示，自转周期为 T，观察站 A 有一观测员在持续观察某卫星 B.某时刻观测员恰能观察到卫星 B 从地平线的东边落下，经 的时间，再次观察到卫星 B 从地平线的西边升T2起已知 BOB ，地球质量为 M，引力常量为 G，则( )A卫星 B 绕地球运动的周期为 T2 B卫星 B 绕地球运动的周期为 T2 C卫星 B 离地表的高度为 R3GM4( T2 )25D卫星 B 离地表的高度为 R3GM4( T2 )2解析 当地球上 A 处的观测
10、员随地球转动半个周期时，卫星转过的角度应为2 ，所以 T 卫 ，解得 T 卫 ，A 错，B 对卫星绕地球转动过程中T2 2 2 T2 万有引力充当向心力， G m 卫 2r 卫 ，得 r 卫 ，则卫Mm卫r2卫 (2T卫 ) 3T2卫 GM4 2 3GM4( T2 )2星距地表的高度 h r卫 R R，C 错，D 对3GM4( T2 )2答案 BD8(2018汉中市高三质检一)2017 年 6 月 15 日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射硬 X 射线调制望远镜卫星“慧眼” “慧眼”的成功发射将显著提升我国大型科学卫星研制水平，填补我国空间 X 射线探测卫星的空白，实现我国在
11、空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越 “慧眼”研究的对象主要是黑洞、中子星和 射线暴等致密天体和爆发现象在利用“慧眼”观测美丽的银河系时，若发现某双黑洞间的距离为 L，只在彼此之间的万有引力作用下做匀速圆周运动，其运动周期为 T，引力常量为 G，则双黑洞总质量为( )A. B.4 2L3GT2 4 2L33GT2C. D.GL34 2T2 4 2T3GL2解析 两黑洞均由万有引力提供向心力，则有：G M1 2r1， G M2 2r2，解得： M1 ， M2 ，所以双黑洞M1M2L2 (2T) M1M2L2 (2T) 4 2r2L2GT2 4 2r1L2GT2总质量为 M1 M2
12、，选项 A 正确4 2L3GT2答案 A9如图所示， A 是地球同步卫星， B 是近地卫星， C 是在赤道上随地球一起转动的物体， A、 B、 C 的运动速度分别为 vA、 vB、 vC，加速度分别为 aA、 aB、 aC，下列说法正确的是( )6A C 受到的万有引力就是 C 的重力B vCvBvAC aBaAaCD A 在 4 h 内转过的圆心角是 6解析 重力是由于地球对物体的吸引而产生，重力在数值上等于物体对地面的压力，由于地球自转， C 受到的万有引力大于 C 的重力，A 错误同步卫星 A 和地面上物体随地球自转的角速度 相等，由线速度公式 v r ，可知 vAvC，B 错误由向心加
13、速度公式a 2r，可知 aAaC.由牛顿运动定律 G ma，可知 aBaA，C 正确根据同步卫星绕地球Mmr2运动一周 24 h 可知， A 在 4 h 内转过的圆心角是 ，D 错误 3答案 C二、非选择题10(2018河北保定联考)2017 年 9 月 12 日 23 时 58 分，中国“天舟一号”货运飞船顺利完成与“天宫二号”太空实验室的自主快速交会对接试验，此次试验将中国太空交会对接的两天的准备时间缩短至 6.5 小时，为中国太空站工程后续研制建设奠定更加坚实的技术基础如图是“天舟一号”与“天宫二号”对接过程示意图，已知“天舟一号”与“天宫二号”成功对接后，组合体沿圆形轨道运行经过时间
14、t，组合体绕地球转过的角度为 ，地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，引力常量为 G，不考虑地球自转求：7(1)地球质量 M；(2)组合体运动的周期 T；(3)组合体所在圆轨道离地面的高度 H.解析 (1)质量为 m 的物体在地球表面所受的万有引力等于重力G mgMmR2所以 MgR2G(2)设组合体角速度为 ，依题意有 t故周期 T 2 2 t(3)设组合体质量为 m0，根据牛顿第二定律有： G m0 2(R H)Mm0 R H 2解得 H R3gR2t2 2答案 (1) (2) (3) RgR2G 2 t 3gR2t2 211宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他
15、恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)；二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动若每个星体的质量均为 m，引力常量为 G.(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式(2)若相邻星球的最小距离为 a，求两种构成形式下天体运动的周期之比解析 (1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行的星球受到另三个星球的万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在8以中心星为中心的等边三角形的三个顶点上，如图甲所示(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为 a，所受合力等于向心力，因此有 2Gcos30 G m a，m2 3a 2 m2a2 4 2T21解得 T .212 3 3 2a3Gm对正方形模式，如图乙所示，四星的轨道半径均为 a，同理有222G cos45 G m a，m2a2 m2 2a 2 4 2T2 22解得 T .故 .24 4 2 2a37Gm T1T2 4 2 3 34答案 (1)见解析 (2) 4 2 3 34
