1、1第 三 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对
2、应 的 答 题 区 域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知三棱锥 OABC，点 M， N分别为 AB， OC的中点，且 Auva，Buvb， c，用 a， b， c表示 uv，则 等于（ ）A 12bcaB 12abcC D2已知 cos,1ina、 sin,1cob，且 ab，则向量 ab与 的夹角是（ ）A90 B60
3、 C30 D03已知 A、B、C 三点的坐标分别为 4,13A、 2,51B、 3,7，若 ABuvuv，则 等于（ ）A28 B 28C14 D 144若向量 ,abc是空间的一个基底，则一定可以与向量 2pab，2q构成空间的另一个基底的向量是（ ）A B bC cD5在空间直角坐标系 Oxyz中，已知 2,0A、 ,20B、 ,C、1,2D，若 1S、 2、 3分别表示三棱锥 D在 xOy、 z、 x坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A 123B 231SC S D 16已知 a、 b是两异面直线， A、 a， C、 b， A， BDb且2AB， 1D，则直线 a、 b所成的角为（
4、）A30 B60 C90 D457如图所示，在平行六面体 1ADB中，点 E为上底面对角线 1AC的中点，若 1BExyuvuv，则（ ）A 12x， yB 12x， yC ， D ，8已知 1,、 ,01B，设 在直线 A上，且 Buv，设 ,3，若 CD，则 的值为（ ）A 6B 6C 12D 139如图，在长方体 1A中， AB， 12A， E、 F分别2是面 1ABCD、面 1B的中心，则 E、 F两点间的距离为（ ）A1 B 52C 62D 3210如图，在空间直角坐标系中有长方体 1ABD， 1AB， C，13，则点 到直线 1AC的距离为（ ）A 27B 2357C 357D11
5、1如图所示，在长方体 1ACD中， 1AD， 2AB，点 E是棱 AB 的中点，则点 E到平面 的距离为（ ）A 12B 2C 13D 1612如图所示，正方体 1ACD中， E、 F分别是正方形 1A和BCD的中心， G是 1的中点，设 G、 1与 AB所成的角分别为 ， ，则 等于（ ）A120 B60 C75 D90二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13已知 1,20A、 ,1B， P是 x轴上的动点，当 APBuv取最小值时，点P的坐标为_14已知正四棱台 1CDA中，上底面 1CD边长为 1，下底面ABCD边长为 2，侧棱与底面
6、所成的角为 60，则异面直线 A与 BC所成角的余弦值为_15三棱锥 P ABC 中， PA PB PC AB AC1， BAC90，则直线 PA 与底面 ABC 所成角的大小为_16已知矩形 ABCD 中， AB1， 3BC，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使平面 ABC 与平面 ACD 垂直，则 B 与 D 之间的距离为_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17 （10 分）在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 为平行四边形， AC 与 BD 交于 O， G 为 BD上一点， BG2 GD， Auva， Bb， PCuvc，试用
7、基底 ,abc表示向量 Puv318 （12 分）如图，在直三棱柱 1ABC中， 2ABC， D是棱 AC的中点，且 12ABC（1）求证： 平面 1D；（2）求异面直线 与 B所成的角19 （12 分）如图所示，在四面体 ABCD 中， AB、 BC、 CD 两两互相垂直，且1BCD（1）求证：平面 ACD平面 ABC；（2）求二面角 C AB D 的大小；（3）若直线 BD 与平面 ACD 所成的角为 30，求线段 AB 的长度20 （12 分）如图，在正四棱柱 1ABCD中，已知AB2， 15A， E、 F 分别为 1、 上的点，且 1EBF（1）求证： BE平面 ACF；（2）求点 E
8、 到平面 ACF 的距离421 （12 分）如图所示， PD底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形， PD DC， E 是 PC的中点（1）证明： PA平面 BDE；（2）求二面角 B DE C 的余弦值22 （12 分）如图，在四棱柱 1ABCD中，侧棱 1A底面ABCD， AB AC， 1， 2， 5，且点 M 和 N 分别为1BC和 D的中点（1）求证： MN平面 ABCD；（2）求二面角 11ACB的正弦值；（3）设 E为棱 上的点若直线 NE和平面 ABCD所成角的正弦值为 13，求线段 1A的长512018-2019 学 年 选 修 2-1 第 三 章 训 练 卷空 间 向 量
9、 与 立 体 几 何 （ 二 ） 答 案一、选择题1 【答案】D【解析】 111222MNOCOABuvuvuvcabcab，故选 D2 【答案】A【解析】 2a， 2b， 20abab， b故选 A3 【答案】D【解析】 2,6ABuv， 1,63Cuv， C， 20，解得 14，故选 D4 【答案】C【解析】 14apq，所以 a、 p、 q共面，故 、 、 不能构成空间的一个基底，排除 A； 2b，所以 b、 、 共面，故 b、 p、 q不能构成空间的一个基底，排除 B； 314a，所以 a、 p、 q共面，故 、 、 不能构成空间的一个基底，排除 D；故选 C5 【答案】B【解析】由题
10、意可得 12S，21S， 3，故 31故选 B6 【答案】B【解析】由于 ACDBuvuv， 21ACDBCDuvuv1cos, ,602B，故选 B7 【答案】A【解析】 111122BEEABADBADuvuvuvuvuvuv22D， x， y故选 A8 【答案】B【解析】设 ,xyz，则 1,2ADuv， ,13ABuv， 1,DBxyzuv， 2Bv， 12xxyzz， 30y 103D， ， ， 13Cuv， ， ， ABv， 23=0， 16故选 B9 【答案】C【解析】以点 A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 1,2E、 2,1F，所以 22261EF，2故选 C10
11、【答案】B【解析】过点 作 BE垂直 1AC，垂足为 E，设点 的坐标为 ,xyz，则 10,3A， ,0， ,20， 1,23uv， 1,3AEuv，,BExyzuv因为 10ACBEuv ，所以3120xyz，解得571067xyz，所以216,7，所以点 B到直线 1AC的距离 2357BEuv，故选 B11 【答案】C【解析】如图，以 D为坐标原点，直线 DA、 C、 1分别为 x、 y、 z轴建立空间直角坐标系，则 10,、 1,0E、 ,、 0,2从而 1,DEuv、 1,20ACuv、 1,0ADuv，设平面 的法向量为 ,abcn，则 10Avun，即 20，得 2令 a，则
12、2,1n所以点 E到平面 1ACD的距离为 1213Ehuvn故选 C12 【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为 2，则 2,0B、 ,20A、 ,1G、 ,0F、 1,C、 1,2E则 ,uv、 ,Fuv、 ,2Euv， 1cos, 3BAGFuv， 112cos, 3BACEuv， 1s3， 2sin， 2s， sin， cos0， 90故选 D二、填空题13 【答案】 1,02【解析】设 ,Px，则 1,20APxuv， ,1BPxuv，7124ABuv，当 x时， APBuv取最小值 ，此时点 P的坐标为 1,0214 【答案】 14【解析】设上、下底面中心分别为 1O、
13、 ，则 1平面 ABCD，以 O为原点，直线 BD、 AC、 分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标3系 2AB， 1， 2ACBD， 112ACBD，平面 D平面 ， O为侧棱与底面所成的角， 160O，设棱台高为 h，则 tan602h， 6， 0,2A， 1,D， 1,02B， ,20C， 16,uv， 16,Cuv， 11cos, 4ADB，故异面直线 1与 C所成角的余弦值为 115 【答案】45【解析】由条件知，ABAC1，BAC90， 2BC，PBPC1，BPC90，取 BC 边中点 E，则 2PE， A，又 PA1，PEA90，故PAE45，E 为 BC 中点，PEBC，
14、AEBC，BC平面 PAE，平面 PAE平面 ABC，PAE 为直线 PA 与平面 ABC 所成角16 【答案】 102【解析】如图，过 B、D 分别向 AC 作垂线，垂足分别为 M、N则可求得 12AM、 3B、 12CN、 3D、 1MN由于 BDuvuv， 22DMNBMNDBMNvvuvuv22335102， 102三、解答题17 【答案】 23PGuvabc【解析】BG2GD， BDuv又 2BDACPuvvacb， 2133PGbacb418 【答案】 （1）见解析；（2） 3【解析】 （1）如图，连接 1BC交 1于点 O，连接 ODO 为 1BC的中点， D 为 AC 的中点，
15、 1ODAB A平面 1， 平面 1C， 平面 1CD（2）建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz则 0,B、 ,20A、 1,2C、 10,B 1,uv、 ,Buv1041cos, 22AC，设异面直线 1B与 所成的角为 ，则 cos， 0,2， 319 【答案】 （1）见解析；（2）45；（3）1【解析】解法一：（1）CDAB，CDBC，CD平面 ABC又CD平面 ACD，平面 ACD平面 ABC（2）ABBC，ABCD，AB平面 BCD，ABBDCBD 是二面角 CABD 的平面角在 RtBCD 中，BCCD，CBD45二面角 CABD 的大小为 45（3）过点 B 作 BHAC，垂足
16、为 H，连接 DH平面 ACD平面 ABC，BH平面 ACD，BDH 为 BD 与平面 ACD 所成的角BDH30在 RtBHD 中， 2BD， 2H又在 RtBHC 中，BC1，BCH45，在 RtABC 中，AB1解法二：（1）同解法一（2）设 ABa，建立如图所示的空间直角坐标系 Bxyz，则 0,、 ,0、 ,10C、 ,D， 1,0uv、 ,0Aauv平面 ABC 的法向量 1,0CDuv，设平面 ABD 的一个法向量为 ,xyzn，则有 Bxyuvn， BAazn， 0z，取 1，则 ， 1,0 2cos,CDvun，由图可知二面角 CABD 为锐角，二面角 CABD 的大小为 4
17、55（3） 0,1ACauv、 1,0Duv、 1,0Buv设平面 ACD 的一个法向量是 ,xyzm，则 0yazuvm， 0Cuv，令 1z， ，则 ,1a直线 BD 与平面 ACD 所成角为 30， 2cos cos601BDauvm，解得 1a，AB120 【答案】 （1）见解析；（2） 53【解析】 （1）证明：以 D 为原点，DA、DC、 1D所在直线分别为 x、 y、 z轴建立如图所示空间直角坐标系，则 0,D、 2,0A、 ,20B、 ,C、 10,5、 ,01E、2,4F 2,0ACuv、 ,24AFuv、 2,1BEuv、 2,01AEuv BE， 0， ， ，且 CAFI
18、BE平面 ACF（2）解：由（1）知， BEuv为平面 ACF 的一个法向量，点 E 到平面 ACF 的距离 53Ad故点 E 到平面 ACF 的距离为 5321 【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz设 PDCa，则 0,、 ,0Aa、 ,Pa、 ,0B、 ,2aE、0,， ,Aauv、 ,0Bauv、 ,2DEuv、 0,Cauv（1）设平面 BDE 的一个法向量为 11,xyzn，则有 10DBEuvn，即102axyz， 1z 1, 10APan， 1APuvn，又 平面 BDE，AP平面 BDE（2）设平面 CDE 的一个法向量为 2,123c
19、os,n，二面角 BDEC 的余弦值为 322 【答案】 （1）见解析；（2） 10；（3） 72【解析】如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得 0,、 ,10B、 2,C、 1,0D、 1,2A、1,2B、 1,2C、 ,D，6又因为 M、N 分别为 1BC和 D的中点，得 1,2M、 ,21N（1）依题意，可得 0,1n为平面 ABCD 的一个法向量， 50,2MNuv，由此可得， MNuv，又因为直线 MN平面 ABCD，所以 MN平面 ABCD （2） 1,2AD、 2,0AC，设 ,xyzn为平面 1D的法向量，则 10ACuv，即 120xyz，不妨设 1z，可得 1,n设 22,xyz为平面 1ACB的一个法向量，则 120ABCuvn，又 1,，得 20yzx，不妨设 21z，可得 20,1n 因此有 1212cos, 0n，于是 123sin,，所以二面角 11DACB的正弦值为 3（3）依题意，可设 Euv，其中 0,1，则 0,2E，从而 1,2N，又 0,1n为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得 2211cos 3NEuvn,，整理得 2430，又因为 ,1，解得 72，所以线段 AE的长为
