1、1第二章 点、直线、平面之间的位置关系注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将准 考 证 号 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置 。2 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目的 答 案 标 号 涂 黑 ， 写 在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。3 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答
2、 题 区 域 内 。 写在 试 题 卷 、 草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无 效 。4 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1长方体 ABCD A1B1C1D1中，异面直线 AB， A1D1所成的角等于（ ）A30 B45 C60 D902已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l（ ）A平行 B相交 C垂直 D异面3下列命题中，错误的是（ ）A一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个
3、平面相交B平行于同一平面的两个不同平面平行C若直线 l 不平行于平面 ，则在平面 内不存在与 l 平行的直线D如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 4已知 、 是两个平面，直线 ll， ，若以 l ； l ； 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）A； B；C； D；5对于两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得（ ）A a ， b B a ， b C a ， b D a ， b 6设直线 l平面 ，过平面 外一点 A 与 l， 都成 30角的直线有（ ）A1 条 B2 条 C3 条 D4 条7如图， A 是平面 BCD 外一点，
4、 E、 F、 G 分别是 BD、 DC、 CA 的中点，设过这三点的平面为 ，则在图中的 6 条直线 AB、 AC、 AD、 BC、 CD、 DB 中，与平面 平行的直线有（ ）A0 条 B1 条 C2 条 D3 条8已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心 O，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为（ ）A 13 B 23C 3 D 239等腰 Rt ABC 中， AB BC1， M 为 AC 的中点，沿 BM 把它折成二面角，折后 A 与 C 的距离为 1，则二面角 C BM A 的大小为（ ）A30 B60 C90 D1
5、2010如图， ， l， ， B， A， B 到 l 的距离分别是 a 和b， AB 与 ， 所成的角分别是 和 ， AB 在 ， 内的射影长分别是 m 和n，若 a，则（ ）A mn， B mn，C ， D ，11如图，在三棱柱 ABC A B C中，点 E， F， H， K 分别为AC， CB， A B， B C的中点， G 为 ABC 的重心，从 K， H， G， B中取一2点作为 P，使得该三棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行，则点 P 为（ ）A K B H C G D B12如图，四边形 ABCD 中， AD BC， AD AB， BCD45， BAD90，将ABD 沿 BD
6、折起，使平面 ABD平面 BCD，构成四面体 ABCD，则在四面体 ABCD 中，下列结论正确的是（ ）A平面 ABD平面 ABC B平面 ADC平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC平面 ABC二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13直线 l 与平面 所成角为 30， l A， m ， ，则 m 与 l 所成角的取值范围是_14如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN 等于_15如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA底面 ABC
7、D，且底面各边都相等， M 是PC 上的一动点，当点 M 满足_时，平面 MBD平面 PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 16如图正方体 ABCD A1B1C1D1，棱长为 1， P 为 BC 中点， Q 为线段 CC1上的动点，过 A、 P、 Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S，则下列命题正确的是_ （写出所有正确命题的编号）当 102CQ时， S 为四边形当 CQ 时， S 为等腰梯形当 CQ 34时， S 与 C1D1交点 R满足 C1R1 3当 Q时， S 为六边形当 CQ1 时， S 的面积为 62三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明
8、过程或演算步骤）17 （10 分）如图，在三棱锥 P ABC 中， D、 E、 F 分别为棱 PC、 AC、 AB 的中点，已知 PA AC， PA6， BC8， DF5求证：（1）直线 PA面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC318(12 分)如下图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC3， BC4， AB5， AA14，点 D 是 AB 的中点（1）求证： AC BC1；（2）求证： AC1平面 CDB1；（3）求异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值19 （12 分）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，侧棱 AA1底面ABC， AB AC2 AA12， BAC120
9、， D， D1分别是线段 BC， B1C1的中点， P 是线段 AD 上异于端点的点（1）在平面 ABC 内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；（2）设（1）中的直线 l 交 AC 于点 Q，求三棱锥 A1 QC1D 的体积 （锥体体积公式： V 3Sh，其中 S 为底面面积， h 为高）20 （12 分）如下图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PA平面 ABCD， AB4，BC3， AD5， DAB ABC90， E 是 CD 的中点（1）证明： CD平面 PAE；（2）若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 AB
10、CD 所成的角相等，求四棱锥P ABCD 的体积421 （12 分）如图，三棱锥 P ABC 中， PA平面ABC， PA1， AB1， AC2， BAC60，（1）求三棱锥 P ABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 AC BM，并求 PMC的值22 （12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知AB3， AD2， PA2， PD 2， PAB60（1）求证： AD平面 PAB；（2）求异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值；（3）求二面角 P BD A 的正切值512018-2019 学 年 必 修 二 第 二 章 训 练 卷点 、 直
11、 线 、 平 面 之 间 的 位 置 关 系 （ 一 ）答 案一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 【答案】D【解析】由于 AD A1D1，则 BAD 是异面直线 AB， A1D1所成的角，很明显 BAD90故选 D2 【答案】C【解析】1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2 l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3 l 时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无数条直线与 l 垂直故选 C3 【答案】C【解析】直线 l 不平行于平面 ，可能直线 l
12、 在平面 内，此时，在平面 内存在与 l 平行的直线故选 C4 【答案】A【解析】因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m ，又因为 l ，所以 l m又因为 l，所以 l ，即 ；因为 l ，所以过 l 可作一平面 n，所以 l n，又因为 l ，所以 n ，又因为 n ，所以 ，即故选 A5 【答案】B【解析】因为已知两条不相交的空间直线 a 和 b所以可以在直线 a 上任取一点A，则 b过 A 作直线 c b，则过 a， c 必存在平面 且使得 a ， b 6 【答案】B【解析】如图，和 成 30角的直线一定是以 A 为顶点的圆锥的母线所在直线，当 ABC ACB30且 BC l 时，
13、直线 AC， AB 都满足条件，故选 B7 【答案】C【解析】显然 AB 与平面 相交，且交点是 AB 中点， AB， AC， DB， DC 四条直线均与平面 相交在 BCD 中，由已知得 EF BC，又 EF ， BC， BC 同理， AD ，在题图中的 6 条直线中，与平面 平行的直线有 2条，故选 C8 【答案】B【解析】由题意知三棱锥 A1 ABC 为正四面体，设棱长为 a，则 AB1 3a，棱柱的高 A1O 2223a 6a（即点 B1到底面 ABC 的距离） ，故 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值为 1AOB 3故选 B9 【答案】C【解析】如图，由 A B BC1， A BC
14、90，知 A C 2 M 为 A C 的中点， MC AM 2，且 CM BM， AM BM， CMA 为二面角 C BM A 的平面角 AC1， MC MA 2， MC2 MA2 AC2， CMA90，故选 C10 【答案】D【解析】由勾股定理得 22=anbmAB又 ab， mn由已知得 sin AB，sin ，而 ， si，又 ， 0,2， 故选 D11 【答案】C2【解析】应用验证法：选 G 点为 P 时， EF A B且 EF AB，此时恰有 A B和 AB 平行于平面 PEF，故选 C12 【答案】D【解析】由平面图形易知 BDC90平面 ABD平面 BCD， CD BD， CD平
15、面 ABD CD AB 又 AB AD， CD AD D， AB平面 ADC又 AB平面 ABC，平面 ADC平面 ABC 故选 D二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）13 【答案】30，90【解析】直线 l 与平面 所成的 30的角为 m 与 l 所成角的最小值，当 m 在 内适当旋转就可以得到 l m，即 m 与 l 所成角的最大值为 9014 【答案】90【解析】因为 C1B1平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1，所以 C1B1 MN又因为 MN MB1， MB1， C1B1平面 C1MB1， MB1 C1B1 B1，所以 M
16、N平面 C1MB1，所以 MN C1M，所以 C1MN9015 【答案】 DM PC（或 BM PC）【解析】连接 AC，则 BD AC，由 PA底面 ABCD，可知 BD PA， BD平面PAC， BD PC 故当 DM PC(或 BM PC)时，平面 MBD平面 PCD16 【答案】【解析】设截面与 DD1相交于 T，则 AT PQ，且 AT2 PQDT2 CQ对于，当 02CQ时，则 01D，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以为真对于，当 CQ 1时， DT1， T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQD1，所以 AP D1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当 CQ 34，
17、 QC1 ， DT 32， D1T ，利用三角形相似解得，C1R1 ，所以为真对于，当 314Q时， 32T，截面 S 与线段 A1D1， D1C1相交，所以四边形 S 为五边形，所以为假对于，当 CQ1 时， Q 与 C1重合，截面 S 与线段 A1D1相交于中点 G，即即为菱形 APC1G，对角线长度为 2和 3， S 的面积为 62，所以为真，综上，选三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】 （1）在 PAC 中， D、 E 分别为 PC、 AC 中点，则 PA DE， PA面 DEF， D
18、E面 DEF，因此 PA面 DEF（2） DEF 中， DE 12PA3， EF 12BC4， DF5， DF2 DE2 EF2， DE EF，又 PA AC， DE AC DE面 ABC，面 BDE面 ABC18 【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3） 25【解析】 （1）证明：在直三棱柱 ABC A1B1C1中，底面三边长 AC3， BC4，AB5， AC BC 又 C1C AC AC平面 BCC1B1 BC1平面 BCC1B， AC BC1（2）证明：设 CB1与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四边形 BCC1B1为正方形 D 是 AB 的中点， E 是 BC1的中点， DE
19、 AC1 DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1， AC1平面 CDB1（3）解： DE AC1， CED 为 AC1与 B1C 所成的角在 CED 中， ED 2AC1 5， CD 2AB 5， CE 2CB1 ， cosCED异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值为 2519 【答案】 （1）见解析；（2） 36【解析】 （1）在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l 和 BC 平行理由如下：由于直线 l 不在平面 A1BC 内， l BC，故直线 l 与平面 A1BC 平行3在 ABC 中， AB AC， D 是线段 AC 的中点， AD BC， l AD又 AA1底面 ABC，
20、 AA1 l而 AA1 AD A，直线 l平面 ADD1A1（2）过点 D 作 DE AC 于点 E侧棱 AA1底面 ABC，三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C在 Rt ACD 中， AC2， CAD60， AD ACcos601， DE ADsin60 3 S QA1C1 2A1C1AA1 2211，三棱锥 A1 QC1D 的体积 111336AQDQsVDE 20 【答案】 （1）见解析；（2） 285【解析】 （1）证明：如下图所示，连接 AC，由 AB4， BC3， ABC90，得 AC5又 AD5， E 是 CD 的中点，所以 CD AE PA平面
21、 ABCD， CD平面 ABCD，所以 PA CD而 PA， AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE（2）过点 B 作 BG CD，分别与 AE， AD 相交于 F， G，连接 PF由（1） CD平面 PAE 知， BG平面 PAE于是 BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BG AE由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角由题意，知 PBA BPF，因为 sinPBA， sinBPF ，所以PA BF由 DAB ABC90，知 AD BC，又 BG CD，所以四边形 BCDG 是平行四边形，故 GD BC3于是 AG
22、2在 Rt BAG 中， AB4， AG2， BG AF，所以25ABG， 21685ABGF于是 PA BF 85又梯形 ABCD 的面积为 S 12(53)416，所以四棱锥 P ABCD 的体积为 V 13SPA 131685 1221 【答案】 （1） 36；（2）见解析， 【解析】 （1）在 ABC 中， AB1， AC2， BAC60S ABC 2ABACsin BAC 12sin60 32又 PA面 ABC， PA 是三棱锥 P ABC 的高， 113=326ABCPABCVS三 棱 锥 （2）过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NM PA 交 PC 于 M，则
23、 MN面面 B面 面 AC BM，此时 M 即为所找点，在 ABN 中，易知AN 12CP A32 4 PMC 1322 【答案】 （1）见解析；（2） 7；（3） 94【解析】 （1）证明：在 PAD 中， PA2， AD2， PD 2， PA2 AD2 PD2， AD PA 在矩形 ABCD 中， AD AB PA AB A， AD平面 PAB（2） BC AD， PCB 是异面直线 PC 与 AD 所成的角在 PAB 中，由余弦定理得 PB 2cos=7PABAPB由（1）知 AD平面 PAB， PB平面 PAB， AD PB， BC PB，则 PBC 是直角三角形，故 tan PCB
24、C 72异面直线 PC 与 AD 所成的角的正切值为 （3）过点 P 作 PH AB 于点 H，过点 H 作 HE BD 于点 E，连结 PE AD平面 PAB， PH平面 ABCD， AD PH又 AD AB A， PH平面 ABCD又 PH平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD4又平面 PHE平面 ABCD HE， BD HE， BD平面 PHE而 PE平面 PHE， BD PE，故 PEH 是二面角 P BD A 的平面角由题设可得， PH PAsin60 3， AH PAcos601， BH AB AH2，BD 2=13ABD， HE ABBH 41在 Rt PHE 中，tan PEH PHE 39二面角 P BD A 的正切值为 4
